相对论/引力时间膨胀的过山车之旅
假设你在加速的火箭里玩你的红色激光笔，但你不是把它照射到火箭的另一侧，而是直接照射到火箭的前端。那么，光线会发生什么变化吗？
我知道答案！它会以光速笔直向前运动！
做得很好！你显然学得很好。但无论如何，有些事情发生了。
什么？
它的颜色改变了。你看，当光线在火箭中向上移动了距离h（相对于你在火箭中的位置而言）时，火箭的速度增加了δv = ah/c。这意味着，实际上，火箭前端的接收器正在以速度ah/c不断远离光源。现在，如果我们限制自己处于较低高度和较低加速度的情况下（即如果ah << c），这会产生一个多普勒频移，等于
现在我们知道引力的作用与加速度的作用完全相同，因此我们必须得出结论，当光线穿过引力场向上攀升时，它的波长会根据以下公式增加
其中g是引力场强度（假设在距离h范围内是均匀的）
我相信你知道质量为m的物体在引力场强度为g中被提升高度h的引力势能为mgh。你也可能知道引力势 () 定义为单位质量的引力势能。因此，当你在引力场g中向上移动距离h时，引力势的变化 等于
这意味着我们可以更一般地这样写多普勒频移的方程
光线需要攀升的引力势能差越大，产生的多普勒频移就越大。另一方面，由于c2项，频移实际上非常小。半径为R、质量为M的恒星表面的引力势能等于
（负号是必需的，因为引力势能定义为距恒星无限远时的零。在表面上，它小于零。有关此公式的证明，请参见附录 H）
从恒星上升时，一束光线穿过引力势能变化，等于
因此，由质量为 M、半径为 R 的恒星表面发射的光束所经历的引力红移公式为
对于太阳，M = 2 × 1030 kg，R = 7 × 108 m，因此表达式GM/Rc2 计算结果为 2 × 10−6。小于百万分之一的多普勒频移非常小，对应于仅 600 ms−1 的后退速度——远小于太阳表面原子热运动引起的波长多普勒频移，这使得效应难以探测。然而，这种效应是真实的，并且在更重的恒星的情况下，不应忽略。目前更重要的是这种分析对火箭两端时间流逝速率的影响。
假设你用激光笔指向火箭的前部，而不是照射激光笔，你用它向位于前部的宇航员发送时间信号。如果你根据你的手表每 T0 秒发送时间信号，这些信号将像光束一样发生多普勒频移，你的朋友将每 T 秒收到时间信号，其中
这意味着（加速）火箭尾部的时钟比前部的时钟走得慢！这也意味着井底的时钟比井口的时钟走得慢！更重要的是，这种效应已经被证明了！尽管可能看起来令人难以置信，但在 1960 年的哈佛大学，在 22.5 m 的距离内观察到了这种效应。（如果你想知道为什么是这么奇怪的距离，那是因为那是杰弗逊物理实验室楼梯井的高度！）快速计算表明，在这个距离上的多普勒频移等于 2.5 × 10−15。哈佛大学的科学家庞德和雷布卡所做的是建造了一个伽马射线源和一个伽马射线探测器，这两个探测器都经过了精确的校准，如果源的频率仅改变了这个量，探测器就会拒绝信号。源和探测器一起放在井底，并完全匹配。然后将探测器搬到楼上，正如预期的那样，信号被拒绝。为了完全确认这种效应，源以稳定的速度向上移动到探测器。速度引起的蓝多普勒频移恰好足以抵消重力场引起的红移，探测器又重新开始工作。这个速度是多少？当然，是光速的 2 × 10−15 倍。你想让我帮你算吗？好的。结果是每小时 2.7 毫米！
这种效应也可以用高空飞行的飞机上的原子钟来测量。你可能还记得，一架以 200 ms−1 的速度飞行 10 小时的喷气式飞机的速度时间膨胀效应慢了 8 ns。现在假设飞机在这段时间内以 10,000 m 的高度飞行。这个高度与地面之间的重力势能变化大约为 gh = 10 × 10,000 = 100,000 J kg−1，因此飞机上的时钟比地面的时钟快 gh/c2 倍。在 10 小时的周期内，这相当于 40 ns，因此在这种情况下重力时间膨胀的影响实际上更大，并且与速度时间膨胀的影响方向相反。
目前提出的重力时间膨胀公式的推导有两个缺点。首先，我使用了多普勒频移的近似公式，该公式仅适用于 h 和 a 的较小值。更严重的是，它忽略了狭义相对论的二阶效应，这是因为火箭在时间 t 内的速度增加（无论如何时间 t 是多少？）并不完全等于 at。为了生成适用于 ah 较大的情况的公式，我们需要考虑另一种产生人造重力的方法。
科幻作家喜欢将大型未来主义的空间站描述成一个大型辐条轮，缓慢地绕其轴旋转。
当空间站旋转时，位于外围的宇航员会主观地感觉到向外的力，这种力通常被称为离心力（并且正确地称为离心力），对他们来说就像重力一样。从等待对接到空间站中心的航天飞机观察者的角度来看，我们可以看到，实际上发生的事情是空间站的金属结构对宇航员施加了向内的力，使他们产生了向内的向心加速度，导致他们以圆周运动。
更正。我不允许说这实际上就是发生的事情。广义相对论告诉我们，宇航员的观点和我们的观点一样有效。那么，从空间站上宇航员的角度来看，宇宙究竟是什么样的？对他们来说，空间站当然静止不动。但空间站正在产生一种相当奇怪的重力，这种重力在空间站的中心为零，并且随着你向边缘移动而稳步增加。此外，重力的方向是向外的，而不是向内的。
现在你知道，质量为 m 的物体以角速度 ω 在半径为 r 的圆周内旋转的向心加速度等于 rω2，因此边缘的重力强度为：g = Rω2（其中 R 是空间站的半径），中心和边缘之间的重力势能差由下式给出
放置在中心和边缘的时钟怎么样？从我们在空间站外观察者的角度来看，我们可以看到边缘的时钟比中心的时钟走得慢，因为边缘的时钟在移动，而中心的时钟没有移动。实际上，我们可以使用狭义相对论时间膨胀公式写下中心时钟测量的 Tcentre 时间与边缘时钟测量的 Trim 时间之间的关系，如下所示
更一般地说，通过将 代入，我们可以写下以下广义公式，用于在存在重力势能差的两个点之间进行相对论时间膨胀
（如果你将此公式与我们在本页前面推导的类似公式进行比较，你会发现后者只是此公式的二项式展开，近似到第二项。）
现在，空间站上的宇航员会观察到与我们完全相同的时钟膨胀效应——只是他们会用不同的方式解释它。
（非常重要的是要注意，与速度时间膨胀一样，重力时间膨胀是一种相对现象，它不依赖于重力的局部强度，而是依赖于两个点之间的重力势能差。例如，在地球的中心，没有重力——但那里的时钟仍然比地表的时钟走得慢。）
关于时钟就说这么多——尺子呢？事情开始变得困难起来。假设，从我们在航天飞机上的静止鸟瞰角度来看，我们看到其中一名宇航员用米尺测量空间站的半径。由于尺子始终与其运动方向垂直，我们可以看到它保持相同长度，他测量的半径与我们的一致，即 R。
但是当他测量周长时会发生什么呢？我们看到他的尺子由于速度而收缩了，因此他最终得到的答案不是预期的 2πR，而是比这个更大的数字！他该如何解释呢？引力会改变像π这样的基本数学常数吗？不，我认为这太过了。我们可以说，引力以这样的方式扭曲了空间结构，在非均匀引力场中，圆的周长不再等于 2π 乘以半径。事实上，这是一个如此重要的结论，以至于它应该放在一个单独的框中。
| 奇怪的结果第 19 个 |
|---|
| 在非均匀引力场中，空间是非欧几里得的；单位圆的周长不等于 2π，三角形的角度不再加起来等于 180°。 |
那么，在引力场中尺子会发生什么？尺子会缩小吗？
嗯，我发现很难对这个问题给出直接的答案。如果我用米尺测量一颗大恒星的半径和周长（！），我发现周长小于 2π 乘以半径，这是真的。（它之所以小于而不是大于，是因为真实的引力是吸引力，不像空间站内部的离心力，它是一种向外的力。）这似乎表明，当您将尺子带入恒星内部越来越深的地方——即引力势越来越低的地方——尺子会缩小。由于引力势是一个标量，因此尺子必须向所有方向收缩，而不仅仅是平行或垂直于局部引力场。但是，如果尺子向所有方向收缩，说它收缩还有意义吗？事实是，引力的影响远比尺子收缩更微妙。不，引力实际上扭曲了尺子存在的空间。但是要在这条路上走得更远，需要用到远超出我能力的数学概念。
哇！这有点奇怪你喊着，过山车冲上下一座山的山顶。我们现在去哪里？你问。
我没时间告诉你最后一个奇怪的结果，因为我们前面的过山车轨道水平延伸了几米，然后——就停止了！
当列车到达轨道尽头时，它倾斜了 90°，我们瞬间悬停在一个最可怕的景象之上。在我们下方是一条深不可测的竖井。沿着竖井的两侧是等距排列的电灯，但当我们向下看时，远处的光线越来越红，直到完全消失。在竖井的底部——不，没有底部——只有无尽的黑暗。
突然，我们处于自由落体状态；灯光在我们面前越来越快地闪烁；当我们抬头时，我们留下的闪耀的蓝天，先是变成了紫色，然后是紫外线，现在开始用 X 射线甚至伽马射线照射我们；然后，我们从上面看到的无尽的黑暗似乎在扩大，直到它包围了我们，甚至在我们的上方。曾经是我们地球家园的那一片明亮的伽马射线光斑正在迅速消失，突然，它不见了。我们完全孤独地沉浸在黑暗中，除了开始体验一种非常不舒服的被拉伸和挤压的感觉，我们没有任何东西可以告诉我们身处何处或移动速度有多快。拉伸和挤压迅速增加到我们的身体被肢解并拉成长长的细丝的程度，但我们已经超越了疼痛——我们已经进入了虚无......