相对论/质量膨胀的过山车之旅

质量膨胀

如果两个质量相等为m的完全弹性物体以相等且相反的速度u相互靠近，它们将以相同但相反的速度相互反弹。这是能量守恒和动量守恒定律的直接结果。但是如果其中一个物体也以速度v穿过碰撞线运动呢？碰撞看起来像这样

在牛顿动力学中，一个物体的侧向运动无关紧要，也不会改变两个球在垂直方向上的行为。即使v是光速的相当大的部分，在狭义相对论中也不应该这样。问题在于我们考虑如何赋予物体侧向速度u（假设远小于v）。

从B的角度来看，推动球A侧向的机制由于时间膨胀而运行缓慢，并且u_A似乎小于u_B，比例系数为 $\gamma$ 。自然，从A的角度来看，u_B似乎小于u_A。在所有其他因素相等的情况下，A和B将预测不同的结果。事实上，由于整个情况必须关于A和B对称，我们知道实际发生的事情是球体以不变的速度相互反弹。

那么解决方案是什么？显然，虽然两个球的速度看起来不同，但球体的动量必须相同。现在，动量等于质量×速度，如果速度显然降低了 $\gamma$ 的倍数，因为时间膨胀，质量必须增加 $\gamma$ 的倍数来补偿。这种现象被称为质量膨胀，适当的公式是

$M=\gamma M_{0}={M_{0} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

其中M₀是物体的静止质量 - 即在静止状态下测量的质量。同样，以相对论速度v运动的物体的动量p等于

$p=mv=\gamma M_{0}v$

这给了我们另一个解释，说明为什么1g火箭的速度永远不会超过光速。从地球上观察者的角度来看，火箭的速度越快，它的质量就越大。由于我们假设火箭的推力是恒定的，有效加速度（从飞船外部的静止观察者看来）必须越来越小。事实上，当我们在直线加速器中加速电子超过数百万伏时，我们观察到的正是这种情况。当它们的速度达到光速的99%时，额外的电压不会让它们更快，但它们确实会给电子传递额外的动量，当然还有能量。

好的，我接受质量会增加，并且静止质量为M₀以速度v运动的粒子的动量是 $\gamma M_{0}v$ 。动能呢？我想是 ${\tfrac {1}{2}}\gamma M_{0}v^{2}$ 。对吗？'

嗯，这是一个很好的猜测。在低速情况下， $\gamma$ = 1，因此公式简化为 ${\tfrac {1}{2}}\gamma M_{0}v^{2}$ ，这是正确的，在高速情况下， $\gamma$ 趋于无穷大，因此动能也变得无穷大，这再次是正确的。然而，我担心它仍然不太正确。正确答案是

$KE_{r}=M_{0}c^{2}(\gamma -1)$

其中KE_r是相对论动能。（有关此方程的证明，请参阅附录F）

当将这两个函数绘制在一起时，您可以看到它们之间的差异有多小

区分的重要性不在于产生的数值上的细微差异，而在于该方程对质量和能量本质的全新视角。

让我们以以下方式重写方程

$KE_{r}=M_{0}c^{2}(\gamma -1)$
$KE_{r}=\gamma M_{0}c^{2}-M_{0}c^{2}$
$KE_{r}=Mc^{2}-M_{0}c^{2}$
$Mc^{2}=M_{0}c^{2}+KE_{r}$

将一个方程以不同的方式改写并不能证明任何东西，但它可以引发一些想法。让我们给这些术语起一些有意义的名称。

Mc² 是由总相对论质量M 形成的一种能量项。因此，将该项称为运动物体的总相对论能量 E 似乎合乎情理。

类似地，由于M₀ 是物体的静止质量，M₀c² 应该恰当地称为物体的静止质量能量 E₀。

这允许我们说以下内容：

总相对论能量 = 静止质量能量 + 相对论动能

或者用符号表示：

$E=E_{0}+KE_{r}=\gamma M_{0}c^{2}$

爱因斯坦天才地发现，E = Mc² 和 E₀ = M₀c² 这两个术语不仅仅是数学上的垃圾，它们实际上具有物理意义。静止的物体确实在其内部蕴藏着巨大的能量。狭义相对论并没有证明静止质量具有能量，因为该理论所处理的任何过程都不可能释放这种能量，但爱因斯坦推测，有一天可能发现这样的过程，这种推测在他的一生中变成了现实。

所以我们现在得到了：

重大结论 13
所有有质量的物体都包含能量，根据著名的关系： $E=Mc^{2}$

这个方程的重要性无法夸大。它与万有引力定律的发现、零是一个数字的概念、语言的发明以及火的发现一样，都是人类历史上的转折点——作为 20 世纪成就的象征，它无与伦比。

几乎不需要说，由于光速非常大，一公斤物质的静止质量能量非常大。实际上它等于 90,000,000,000,000,000 焦耳。普通人以大约 100 瓦的速度转换能量，因此这种能量将使你存活约 2800 万年！更现实地说，它相当于一座大型现代发电站在连续运行 2 年中的总能量输出。

另一方面，太阳（其输出功率高达 4 x 10²⁶ 瓦）每秒吞噬 400 万吨物质！

请注意，这仅仅是已知宇宙中最具能量的天体——类星体——所吞噬物质的一小部分，类星体的能量输出可能约为 10³⁹ 瓦，并且每秒吞噬相当于月球质量的物质！

难以置信！所以所有有质量的物体都具有能量，是吗？

完全正确。但这仅仅是故事的一半。爱因斯坦的方程也能反过来，所有具有能量的物体也具有质量。我的意思是，一块新电池的质量比一块旧的没电的电池更大，上紧的发条的质量比松散的发条更重，一杯热茶的重量比一杯冷茶更大。而失去能量的东西会变得更轻：放热化学反应的产物的总质量比反应物的总质量更小（在热量散失后），两个粘在一起的磁铁的重量比两个分开放置的磁铁的重量更小，最重要的是，原子的质量明显小于所有组成粒子的质量之和。

即使是光子，由于它们以光速传播，因此静止质量为零，它们也必须通过所含的能量具有（相对论）质量。不仅如此，它们还有动量，但在我们计算出动量之前，我们还需要陈述一个对所有物体在所有情况下都绝对成立的重要结论。它将物体的相对论能量E 与其动量p 联系起来，看起来像这样：

重大结论 14
物体的总相对论能量 E 与其相对论动量 p 之间的关系可以用以下方程式表示： $E^{2}-p^{2}c^{2}=M_{0}^{2}c^{4}$

（您将在附录 G 中找到简单的证明）

正如我们之前提到的，这种关系对光子（其静止质量为零，并且对它们而言，能量和动量的常用方程式是未定义的）特别重要。令M₀ = 0，我们得到：

重大结论 15
光子的总能量 E 与其动量之间的关系可以用以下方程式表示： $E=pc$

你说光子有动量是什么意思？难道没有质量的东西就不能有动量吗？

嗯，是的，可以。如果你愿意，可以把它看作是光子携带的能量质量的动量。可以肯定的是，光子的动量并不大。如果你将一个 1 瓦的激光束（或一个普通的火炬）照射到一个黑色表面，那么每秒钟该表面吸收 E/c 个动量单位，即 3.3 x 10⁻⁹ 牛顿秒。由于动量的变化率等于力，因此激光束对该表面施加了 3.3 纳牛顿的力。这相当于一罐烤豆的重量的万亿分之一。并不多！

另一方面，地球上太阳辐射的能量密度约为 3000 瓦每平方米，因此对一面太阳帆卫星（其帆的尺寸为 30 米×30 米）的力将为 9 毫牛顿（9 x 10⁻³ 牛顿）。这听起来也不多，但太阳对距离太阳相同距离的 1 公斤质量的重力仅为 6 毫牛顿（6 x 10⁻³ 牛顿）。

这意味着，如果你能制造一个足够大（而且足够轻）的反射“帆”，你就可以平衡重力与太阳风的力，并“免费”地在太阳系中航行！

光子具有动量的一个更重要的结论是，太阳本身是由所有这些试图逃逸的光子产生的巨大压力支撑的。当太阳核心中的核燃料耗尽时，光子压力将消失，太阳内部将坍缩，导致一场巨大的爆炸，称为超新星，它将吞噬地球并消灭地球上所有生命的痕迹。

听起来不太好。我们还有多少时间？

别担心。这要再过 40 亿年才会发生！

第二个过山车

最后，过山车在车站里猛地停了下来，你从车上跌跌撞撞地走了下来，你的脑海里充满了重要的原则和奇怪的结论。

好吧，我活下来了！你惊呼道，但是我的头晕乎乎的！

然而，我恐怕我们还没有完全结束。我轻轻地扶着你，把你带到一个拐角处，我们停在一个巨大的门户前，门户上用可怕的字母写着一个字：遗忘。

这是什么？你问道。

这是另一个过山车。

我的天哪！它和另一个一样糟糕吗？

嗯，其实没那么糟糕——但我不得不承认它有点作弊。还有另一个过山车，它的旅程非常颠簸，几乎没有人能忍受，但这个过山车是专门设计来让你体验真实过山车的感觉的。你准备好了吗？

我想是的。但为什么它叫作“遗忘”？

等着瞧吧！但首先，在我们排队等候的时候，我必须告诉你爱因斯坦的第二个伟大思想。狭义相对论的基本原理（爱因斯坦的第一个伟大思想）涉及匀速运动的观察者。第二个基本原理（广义相对论的基础）涉及加速运动的观察者。这就是它。

广义相对论的基本原理
在匀加速参考系中，物理定律与在重力场中的物理定律相同。

或者，换句话说

不可能在一个封闭的实验室里进行任何实验来确定实验室是在匀加速还是位于一个均匀的重力场中。

这太荒谬了。你一定可以随时判断是否有重力。你只需要做的是扔下东西。如果它掉下来——就说明有重力！

并非如此。假设你在深空中，正在前往一颗遥远的恒星。你可能在移动，也可能静止不动，这并不重要。重要的是附近没有恒星或行星，所以没有重力。你刚刚读完你最喜欢的书——《银河系漫游指南》——的一章，按照你的习惯，你把它放在你面前，由于飞船内部的失重状态，它乖乖地漂浮着。突然，它掉到飞船的后面，加速着。同时你感觉到自己的身体被压在躺着的沙发上。你会怎么想？你是否突然到达了目的地，那里重力又恢复正常了？这可能吧。但更可能是飞船的船长启动了火箭发动机，你与火箭一起加速了。书本不是因为重力而掉落的。实际上，它根本没有真正掉落。它只是停留在那里，火箭向前加速，追上了它。同样，你也不是因为重力的作用而被压到沙发上的，不，只是火箭发动机的推力，通过沙发传递给你，让你和火箭一起向前加速。

因此，加速的效果看起来，表面上，与重力的效果一样。但真的是这样吗？有没有办法区分它们？为了回答这个问题，我们必须仔细看看我们对“质量”的定义。

你是否曾经发现两个不同质量的物体在重力场中以相同的加速度下降是件很奇怪的事情？如果没有，那么你一定是非常聪明或者根本没有想过这个问题。毕竟，伟大的希腊科学家和哲学家亚里士多德认为，重的物体比轻的物体下落速度快，这是一个不言自明的真理，他在长达两千多年的时间里一直占据着知识界的主流意见。伽利略是第一个发现亚里士多德理论中逻辑矛盾的人。他的论证是这样的。

“根据亚里士多德的说法，一块石头会比一块轻石头下落速度快两倍。现在，如果你把一块石头绑在另一块轻石头上，重的石头会把轻的石头拉得更快，而轻的石头会阻止重的石头移动得那么快。因此，组合后的石头会以一种介于两者单独下落速度之间的速度下落。但等等——如果你把一块轻石头绑在一块石头上，你肯定会得到一块比两者都重的石头，因此，根据这个理论，它应该比两者下落速度更快？这里存在矛盾，因此最初的前提是错误的。”

五十年后，艾萨克·牛顿通过提出一个基于两个核心思想的精彩力学理论，为伽利略的理论提供了佐证——力的概念和质量的概念。这两个概念在中心关系中结合在一起

$F=ma$

原则上，你可以通过对物体施加一个标准力（例如使用“标准”烟花）并测量其加速度来测量物体的质量。

质量越大，其惯性就越大，因此加速度就越小。以这种方式测量的质量应该被称为惯性质量。

但牛顿并没有止步于解释所有动力学定律。像他之后的爱因斯坦一样，他也继续使用相同的“力”和“质量”基本概念来解释万有引力定律。他的第二个伟大思想是：在两个（小的）质量 M 和 m 之间，相隔距离为 r，存在一个吸引力 F，它与质量的乘积成正比，与距离的平方成反比。用符号表示

$F=G{Mm \over r^{2}}$

其中 G 是一个常数，等于 6.67 x 10⁻¹1 kg⁻¹m³s⁻²。这个方程为我们提供了一种替代的、完全独立的测量质量的方法。我们所要做的就是测量一个标准重力场中的质量上的重力（例如，把它挂在一个标准弹簧上）。（例如地球的重力场。）

以这种方式测量的质量应该被称为引力质量。

按理说（虽然这并不明显也不一定正确），如果你把两个相同的物体绑在一起，你会使惯性质量和引力质量都增加一倍——而伽利略的论证的核心正是基于这一假设。重的石头受到的重力是轻石头的两倍——但它也需要两倍的力才能产生相同的加速度！

虽然按理说，两个具有相同惯性质量的相同物体将具有相同的引力质量，但牛顿理论中绝对没有任何东西可以阻止两个具有相同惯性质量但由不同材料制成的物体具有不同的引力质量。例如，可以想象，像铅或金这样的致密材料的重量会比其惯性质量所暗示的要重（或轻）。

太神奇了！也许存在我们不知道的物质，它们具有惯性质量，但却没有重量！

就牛顿的理论而言，这当然有可能，但我们迄今为止获得的所有证据都强烈表明，无论物体是由什么物质构成的，惯性质量和引力质量都完全相同。即使存在微小的差异，我们也会立即注意到。例如，这意味着巨型气态行星绕太阳运行的速度会与较小的岩石行星不同（当然，除了正常的差异之外）；这意味着铝制卫星的轨道周期将不同于发射它的钛合金航天飞机的轨道周期；这意味着地球绕太阳运行的轨道将不同于其自身的海洋，因此海洋将自行飞入太空！很明显，这些情况都没有发生。

因此，有充分的证据表明，惯性质量与引力质量的比率对于所有材料，在任何地方都是相同的。但是为什么？根据牛顿的理论，没有为什么——它们就是。但根据爱因斯坦的理论，有一个非常好的理由：它就是广义相对论的基本原理——在匀加速参考系中，物理定律与在均匀重力场中的物理定律相同。

因此，正如狭义相对论的基本原理解释了光速的恒定性，广义相对论的基本原理解释了所有物体在重力场中以相同的加速度下落这一现象。我们可以将这一结论总结如下

令人放心的正常结果第 16 条
惯性质量和引力质量是同一个东西。

但是，你不可能花那么多钱给过山车公司，只是为了发现令人放心的正常结果，所以现在我们已经到达了第一个山顶，准备出发了，这里还有下一个奇怪的结果

奇怪的结果第 17 条
重力会弯曲光线。

太荒谬了。光线不能弯曲。我也可以告诉你为什么！当我们说“光线沿直线传播”时，我们并不是在陈述一个实验事实；光线的传播方式定义了我们对直线的理解！

嗯……是的……你说的有道理……

但我还没来得及想出一个合适的回答，过山车的卡扣突然松开了，我们便自由落体地坠入一个巨大的黑洞。

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