抽象代数/群论/循环群/循环群定义

• 由 g 生成的循环群 是

• $\langle g\rangle =\lbrace g^{n}\;|\;n\in \mathbb {Z} \rbrace$

• 其中$g^{n}={\begin{cases}\underbrace {g\ast g\cdots \ast g} _{n},&n\in \mathbb {Z} ,n\geq 0\\\underbrace {g^{-1}\ast g^{-1}\cdots \ast g^{-1}} _{-n},&n\in \mathbb {Z} ,n<0\end{cases}}$

• 归纳法表明：$g^{m+n}=g^{m}\ast g^{n}{\text{ and }}g^{mn}=[g^{m}]^{n}$

定理

设 C_m 为阶为 m 的循环群，由 g 生成，其运算为 $\ast$

设 $(\mathbb {Z} /m,+)$ 为模 m 的整数加法群

C_m 同构于 $(\mathbb {Z} /m,+)$

引理

设 n 为使得 gⁿ = e 成立的最小正整数

$g^{i}=g^{j}\leftrightarrow i=j~{\text{mod}}~n$

引理证明

设 i > j。设 i - j = sn + r，其中 0 ≤ r < n，且 s、r、n 都是整数。

1. $g^{i}=g^{j}\;$
2. $e=g^{i-j}=g^{sn+r}=[g^{n}]^{s}\ast g^{r}=[e]^{s}\ast g^{r}=g^{r}$	因为 i - j = sn + r，且 gn = e
3. $g^{r}=e$
4. $r=0$	其中 n 是使得 gn = e 成立的最小正整数 并且 0 ≤ r < n
5. $i-j=sn$	0 和 7.
6. $i=j~{\text{mod}}~n$

证明

0. 定义   ${\begin{aligned}f\colon C_{m}&\to \mathbb {Z} /m\\g^{i}&\mapsto i~{\text{mod}}~m\end{aligned}}$

引理表明 f 是良定义的（对于每个输入只有一个输出）。

f 是同态

$f(g^{i})+f(g^{j})=i+j~{\text{mod}}~m=f(g^{i+j})=f(g^{i}\ast g^{j})$

f 根据引理是单射的

f 是满射的，因为 $\mathbb {Z} /m$ 和 $C_{m}$ 都有 m 个元素，并且 f 是单射的