抽象代数/群论/子群/循环子群/循环子群的定义

设G为一个群。设g为G的一个元素。

由g生成的循环子群为

$\forall \;g\in G:\langle g\rangle =\lbrace g^{n}\;|\;n\in \mathbb {Z} \rbrace$

其中$g^{n}={\begin{cases}\underbrace {g\ast g\cdots \ast g} _{n},&n\in \mathbb {Z} ,n\geq 0\\\underbrace {g^{-1}\ast g^{-1}\cdots \ast g^{-1}} _{-n},&n\in \mathbb {Z} ,n<0\end{cases}}$

通过归纳法，我们有

$\forall g\in G:\forall n,m\in \mathbb {Z} :g^{m+n}=g^{m}\ast g^{n}{\text{ and }}g^{mn}=[g^{m}]^{n}$