抽象代数/群论/子群

子群

我们即将见证数学的一个普遍方面。也就是说，无论何时我们有任何结构，我们都会问自己：它是否允许子结构？在群的情况下，答案是肯定的，我们马上就会看到。

定义 1： 令 $G$ 是一个群。那么，如果 $H\subseteq G$ 是 $G$ 的一个子集，并且在与 $G$ 相同的操作下自身是一个群，我们称 $H$ 是 $G$ 的一个子群，并写成 $H\leq G$ 。

示例 2： 任何群 $G$ 至少有 2 个子群； $G$ 本身和平凡群 $\{e\}$ 。它们分别称为 $G$ 的非真子群和平凡子群。

当然，我们希望有一种方法来确定一个群的给定子集是否是子群。以下两个定理提供了这种方法。由于 $H$ 自然地从 $G$ 继承了结合律，我们只需要检查封闭性。

定理 3： 群 $G$ 的一个非空子集 $H$ 是一个子群当且仅当

(i)

H

在

G

上的操作下是封闭的。也就是说，如果

a,b\in H

，则

ab\in H

，

(ii)

e\in H

，

(iii)

H

在取逆运算下是封闭的。也就是说，如果

a\in H

，那么

a^{-1}\in H

。

证明：左边的蕴含直接由群公理和子群的定义得到。对于右边的蕴含，我们需要对 $H$ 验证每一个群公理。首先，由于 $H$ 是封闭的，它是一个二元结构，如所要求的那样，并且如前所述， $H$ 从 G 继承了结合律。此外， $H$ 具有单位元和逆元，所以 $H$ 是一个群，证毕。 ∎

然而，存在一个更有效的方法。上面列出的三个条件中的每一个都可以浓缩成一个条件。

定理 4： 设 $G$ 是一个群。那么一个非空的子集 $H\subseteq G$ 是一个子群当且仅当 $a,b\in H\,\Rightarrow \,ab^{-1}\in H$ 。

证明：左侧蕴含关系是直接的。对于右侧蕴含关系，我们需要验证之前定理中的 (i)-(iii)。首先，假设 $a\in H$ 。然后，令 $b=a$ ，我们得到 $aa^{-1}=e\in H$ ，满足 (ii)。现在，由于 $e,a\in H$ ，我们有 $ea^{-1}=a^{-1}\in H$ ，因此 $H$ 对取逆运算封闭，满足 (iii)。最后，假设 $a,b\in H$ 。然后，由于 $b^{-1}\in H$ ，我们得到 $a(b^{-1})^{-1}=ab\in H$ ，因此 $H$ 对 $G$ 的运算封闭，满足 (i)，至此证明完毕。 ∎

好的，现在我们知道如何识别给定的子群。接下来，我们看看如何在一个给定的群中找到子群。下面的定理基本解决了这个问题。

定理 5：令 $G$ 是一个群， $g\in G$ 。那么子集 $\{g^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}$ 是 $G$ 的一个子群，记作 $\langle g\rangle$ ，称为由 $g$ 生成的子群。此外，这是包含 $g$ 的最小子群，也就是说，如果 $H$ 是一个子群，并且 $g\in H$ ，那么 $\langle g\rangle \leq H$ 。

证明：首先我们证明 $\langle g\rangle$ 是一个子群。为了看到这一点，请注意，如果 $h,k\in \langle g\rangle$ ，则存在整数 $n,m\in \mathbb {Z}$ 使得 $h=g^{n}\,,\,k=g^{m}$ 。然后，我们观察到 $hk^{-1}=g^{n}g^{-m}=g^{n-m}\in \langle g\rangle$ ，因为 $n-m\in \mathbb {Z}$ ，所以 $\langle g\rangle$ 是 $G$ 的子群，如所声称。为了表明它是包含 $g$ 的最小子群，请观察，如果 $H$ 是包含 $g$ 的子群，那么根据对积和逆的封闭性， $g^{n}\in H$ ，对于所有 $n\in Z$ 。换句话说， $\langle g\rangle \subseteq H$ 。那么自动地 $\langle g\rangle \leq H$ ，因为 $\langle g\rangle$ 是 $G$ 的子群。 ∎

定理 6： 令 $H$ 和 $H^{\prime }$ 是群 $G$ 的子群。那么 $H\cap H^{\prime }$ 也是 $G$ 的子群。

证明：由于 $H$ 和 $H^{\prime }$ 都包含单位元，它们的交集非空。令 $a,b\in H\cap H^{\prime }$ 。则 $a,b\in H$ 且 $a,b\in H^{\prime }$ 。由于 $H$ 和 $H^{\prime }$ 都是子群，我们有 $ab^{-1}\in H$ 且 $ab^{-1}\in H^{\prime }$ 。因此， $ab^{-1}\in H\cap H^{\prime }$ 。从而 $H\cap H^{\prime }$ 是 $G$ 的子群。 ∎

定理 6 可以很容易地推广到任意交集 $\bigcap _{i\in I}H_{i}$ ，其中 $H_{i}$ 是任意索引集 $I$ 中每个 $i$ 的子群。推理是相同的，这个推广的证明留给读者形式化。

定义 7: 令 $G$ 为一个群， $H$ 为 $G$ 的一个子群。则 $gH=\{gh\mid h\in H\}$ 被称为 $H$ 的左陪集。 $H$ 在 $G$ 中的所有左陪集的集合记为 $G/H$ 。同样地， $Hg=\{hg\mid h\in H\}$ 被称为右陪集， $H$ 在 $G$ 中的所有右陪集的集合记为 $H\backslash G$ .

引理 8: 令 $G$ 为一个群， $H$ 为 $G$ 的一个子群。则每个左陪集具有相同数量的元素。

证明: 令 $g\in G$ ，并定义函数 $f\,:\,H\rightarrow gH$ 为 $h\mapsto gh$ 。我们证明 $f$ 是一个双射。首先，根据左消去律， $gh=gh^{\prime }\,\Rightarrow \,h=h^{\prime }$ ，所以 $f$ 是单射。其次，令 $h^{\prime }\in gH$ 。那么存在某个 $h\in H$ 使得 $h^{\prime }=gh$ ，并且 $f(h)=h^{\prime }$ ，所以 $f$ 是满射，也是双射。因此， $|H|=|gH|$ ，证毕。∎

引理 9：由 $a\sim b\,\Leftrightarrow \,a^{-1}b\in H$ 定义的关系 $\sim$ 是一个等价关系。

证明: 自反性和对称性是显然的。为了证明传递性，令 $a\sim b$ 且 $b\sim c$ 。那么 $a^{-1}b,b^{-1}c\in H$ ，所以 $a^{-1}c\in H$ ，证毕。∎

引理 10： 令 $G$ 为一个群， $H$ 为 $G$ 的一个子群。那么 $H$ 的左陪集划分 $G$ 。

证明：注意 $aH=bH\Leftrightarrow ah=bh^{\prime }\,\Leftrightarrow a^{-1}bh^{\prime }=h\,\Leftrightarrow a^{-1}b\in H$ 对于某些 $h,h^{\prime }\in H$ 。由于 $a\sim b\,\Leftrightarrow \,a^{-1}b\in H$ 是一个等价关系，等价类就是 $H$ 的左陪集，这些陪集会自动划分 $G$ 。 ∎