抽象代数/群论/子群/循环子群/循环子群的阶

定理

定义 元素的阶 g 在 有限 群 G 中

o(g) = 使 gⁿ = e 成立的最小正整数 n

定义 循环子群的阶 由 g 生成的

$o(\langle g\rangle )$ = $\langle g\rangle$ 中的元素数

o(g) = $o(\langle g\rangle )$

证明

由于 $\langle g\rangle$ 是循环的，并且有 $o(\langle g\rangle )$ 个元素。

$g^{o(\langle g\rangle )}=e$

通过图表，

0. $g^{o(\langle g\rangle )}=e=g^{o(g)}$.

1. 令 n = o(g)，m = $o(\langle g\rangle )$

2. gⁿ = g^m

3. g^{n – m} = e

4. 令 n – m = sn + r 其中 r，n，s 为整数，且 0 ≤ s < n。

5. g^{sn + r} = e

6. $[g^{n}]^{s}\ast g^{r}=e$

根据 n = o(g) 的定义

7. g^r = e

因为 n 是使 gⁿ = e 成立的最小值，并且 0 ≤ r < n。

8. r = 0

引理： 令 $k,m\in \mathbb {Z}$.
$g^{k}=g^{m}$ 当且仅当 $k\equiv m(\,{\bmod {\ }}o(g))$.
证明： 令 $n=o(g)$.
$g^{k}=g^{m}$ 当且仅当 $g^{k-m}=e$.
根据欧几里得除法：$k-m=qn+r$，其中 $q,r$ 为整数，且 $0\leq r<n$.
我们有 $g^{r}=g^{k-m-qn}=g^{k-m}{(g^{n})}^{-q}=g^{k-m}$，因此 $g^{r}=e$ 当且仅当 $g^{k}=g^{m}$.
但 $g^{r}=e$ 当且仅当 $r=0$（即当且仅当 $n\mid k-n$），
因为，根据定义，$n=o(g)$ 是满足 $g^{n}=e$ 的最小正整数。
因此得出结论。 $\square$

根据定义：$\langle g\rangle =\{g^{r}:r\in \mathbb {Z} \}$.
因此，$g,g^{2},\ldots ,g^{n}$（其中 $n=o(g)$）都属于 $\langle g\rangle$ - 此外，根据以上引理，它们彼此不同。
最后，任何形式为 $g^{r}$ 的元素，其中 $r\in \mathbb {Z}$，都等于 $g,g^{2},\ldots ,g^{n}$ 中的一个（再次由引理得出）。
我们得出结论，$g,g^{2},\ldots ,g^{n}$ 正好是 $\langle g\rangle$ 的元素，
所以，$o(\langle g\rangle )=n=o(g)$，如需要的那样。
- Q.E.D. -