抽象代数/理想

动机

在环中，我们看到偶数整数集 $2\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z}$ 是整数的子环。

我们也可以很容易地看到整数 $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}$ 在通常的加法和乘法运算下是理性数的子环。

偶数整数作为整数的子环时，具有整数作为有理数的子环时所没有的性质。偶数整数作为有理数的子环时，也缺乏这种性质。

这种性质是，偶数整数作为整数的子环时，吸收乘法。为了方便表示，我们将偶数整数称为 $I=2\mathbb {Z}$ 。

考虑以下情况：对于所有 $i\in I$ ，我们可以从 $I$ 的定义中看到 $i=2k$ ，其中 $k\in \mathbb {Z}$ 。

对于所有 $a\in \mathbb {Z}$ ，可以看到 $ai=a(2k)=2ak\in I$ 。

在数学中，无论选择哪个偶数整数，用任何整数乘以它都会得到一个不同的偶数整数。

理想的定义

定义：给定一个环 $R$ ，一个子集 $I\subseteq R$ 被称为 $R$ 的左理想，如果它从左侧吸收乘法；也就是说，如果 $\forall i\in I,\forall r\in R,ri\in I$ 。

定义： 给定一个环 $R$ ，一个子集 $I\subseteq R$ 被称为 $R$ 的右理想，如果它从右边吸收乘法；也就是说，如果 $\forall i\in I,\forall r\in R,ir\in I$ 。

定义： 我们定义一个理想 $I$ 为同时是左理想和右理想的东西。我们还要求 $(I,+)$ 是 $(R,+)$ 的一个子群。

我们写 $I\triangleleft R$ 作为此的简写。

为了验证环的子集是否是理想，只需检查它是否在减法下封闭，以及它是否吸收乘法；这是因为来自抽象代数/群论/子群的子群准则。

定义： 一个理想 $I\triangleleft R$ 是真理想，如果 $I\subsetneq R$ 。

定义： 一个理想 $I\triangleleft R$ 是平凡的，如果 $I=\{0\}$ 。

引理： 一个理想 $I$ 是真理想当且仅当 $1\notin I$ 。

证明： 如果 $1\in I$ 那么 $r=r1\in I$ 所以 $I=R$ 。

反之是显然的。

定理： 在除环中，唯一真理想是平凡的。

证明： 假设我们在一个除环中有一个具有非零元素 a 的理想。取除环中的任何元素 b。然后 a⁻¹b 也在除环中，并且 aa⁻¹b = b 在理想中。因此，它不是真理想。

定义： 令 S 是环 R 的一个非空子集。则由 S 生成的理想定义为包含 S 的 R 中最小的理想，即所有此类理想的交集。我们可以通过所有有限和的集合来表征这个理想

$\left\{\sum _{i=1}^{n}r_{i1}s_{i}r_{i2}|r_{i1},r_{i2}\in R,s_{i}\in S\right\}$

很容易验证这是一个理想，并且包含S的所有理想都必须包含这个理想。如果它是可交换的，那么可以简单地将其表征为

$\left\{\sum _{i=1}^{n}r_{i}1s_{i}|r_{i}\in R,s_{i}\in S\right\}$

由单个元素 a 生成的理想称为主理想。如果环是可交换的，那么它包含环中所有形式为 ra 的元素，其中 r 是环中的任何元素。

示例：令 $R=\mathbb {Z}$ 是整数环。主理想 $(n)$ 是 $\mathbb {Z}$ 的子集，包含 $n$ 的正负倍数。例如 $(2)$ 是偶数的子集。然后可以将商环 $\mathbb {Z} /(n)$ 简单地视为集合 $\{0,1,\ldots ,n-1\}$ ，在模 $n$ 的加法和乘法下。

理想的运算

给定一系列理想，我们可以生成其他理想。例如，很容易检查任何理想族的交集仍然是理想。我们简单地将其写为 $\bigcap _{j\in J}I_{j}$ .

给定任意集合 $S\subset R$ ，我们可以构造 $R$ 中包含 $S$ 的最小理想，记作 $\langle S\rangle$ 。它由 $\langle S\rangle =\bigcap _{S\subset I\triangleleft R}I$ 确定，尽管通常我们可以比这更明确。

如果 $I_{j\in J}$ 是理想的集合，我们可以确定和，记作 $\sum _{j\in J}I_{j}$ ，作为包含所有理想 $I_{j}$ 的最小理想。可以明确地检查其元素是形式 $\sum _{j\in J}x_{j}$ 的有限和。

最后，如果 $I,J$ 是 $R$ 中的两个理想，我们可以确定理想理论的乘积，作为包含集合理论乘积 $\{ij\mid i\in I,j\in J\}$ 的最小理想。请注意，理想理论的乘积一般严格大于集合理论的乘积，并且它仅仅由形式 $\sum i_{r}j_{r}$ 的有限和组成，其中 $i_{r}\in I\;j_{r}\in J$

示例： 令 $(m)$ 和 $(n)$ 是 $\mathbb {Z}$ 中给出的主理想。那么可以明确地检查到 $(m)\cap (n)=(r)$ ，其中 r 是 m 和 n 的最小公倍数。此外 $(m)(n)=(mn)$ ，且 $(m)+(n)=(s)$ ，其中 s 是 m 和 n 的最大公约数。观察到 $(m)(n)=(m)\cap (n)$ 当且仅当 s = mn 当且仅当 m 和 n 互质当且仅当 $(m)+(n)=(1)$ 。

同态与理想

环，类似于群，也具有作为同态核的因子对象。令 $f:R\to S$ 为环同态。让我们确定 f 的核的结构，它被定义为所有映射到恒等元素的元素。

如果 a 和 b 属于 f 的核，即 $f(a)=f(b)=0$ ，且 r 是 R 中的任意元素，那么

f(a-b)=f(a)-f(b)=0

,

f(ar)=f(a)f(r)=0

,

f(ra)=f(r)f(a)=0

.

因此 $\ker(f)$ 是 R 的一个理想。

还要注意，当核仅包含恒等元素时，同态将是单同态，即它是单射或一对一。

我们还有以下内容
定理：如果 R 的唯一真理想是平凡理想 {0}，那么如果 f 是从 R 到 S 的同态，且它不会将 R 的所有元素映射到 S 的恒等元素，那么它是单射。
证明：同态的核必须是一个理想，并且由于唯一的理想是 R 和平凡理想，这两个理想之一必须是核。然而，由于 R 的所有元素都不映射到 S 的恒等元素，所以 R 不是核，因此平凡理想必须是核。

由于所有除环都满足此条件，因此它对所有除环都成立。

下一节中对因子环的构造将证明，对于任何理想 I，都存在一个以 I 为核的同态。

因子环

定义： 给定一个环 $R$ 和一个理想 $I\subseteq R$ ， $R$ 的陪集环，记为 $R/I$ ，其中每个陪集定义为集合 {r+i|i 是 I 中的元素}，根据拉格朗日定理，它对 R 进行划分。这组陪集称为 $R$ 模 $I$ 的因子环（或商环）是一个环，其加法定义与群的加法定义相同（因为环在加法下构成一个群），其乘法定义如下

$(a+I)(b+I)=ab+I$ .

为了证明这与 a 和 b 的选择无关（或者说，这些运算定义良好），假设 a' 和 b' 是同一个陪集中的元素。那么 a'=a+j 和 b'=b+k，其中 j、k 是 I 中的某些元素。然后 a'b'=ab+ak+jb+jk，由于 ak、jb 和 jk 是 I 中的元素，所以 a'b' 和 ab 必须属于同一个陪集，因此 ab+I=a'b'+I。显然陪集在加法下构成一个群，因为之前已经证明了因子群，而且因子环在加法下构成一个阿贝尔群，因为环在加法下构成一个阿贝尔群。由于乘积 rs+I 与环中的乘法类似，因此它显然具有环的所有性质。此外，如果环是交换的，那么因子环也将是交换的。

观察到存在一个规范环同态 $\pi :R\rightarrow R/I$ 由 $\pi (r)=r+I$ 确定，称为投影映射。我们将在同构定理的下一节中记录此同态的一些性质。

环同构定理

我们已经证明了群的同构定理。现在我们可以使用类似的参数来证明环的同构定理，用理想代替“正规子群”的概念。

因子定理

令 I 为环 R 的一个理想，令 $\pi (x)=x+I$ 为从 R 到 R/I 的通常同态。现在令 f 为从 R 到 S 的同态。观察到如果 ${\tilde {\phi }}:R/I\rightarrow S$ 是一个环同态，那么复合 $\phi ={\tilde {\phi }}\circ \pi :R\rightarrow R/I\rightarrow S$ 是一个环同态，使得 $I\subset \ker {\phi }$ （因为 $x\in I\Rightarrow \phi (x)={\tilde {\phi }}\circ \pi (x)={\tilde {\phi }}(0_{R/I})=0_{S}$ ）。这在以下意义上表征了所有此类态射

因式定理：令 $\phi :R\rightarrow S$ 为一个环同态，使得 $I\subset \ker {\phi }$ 。那么存在唯一的同态 ${\tilde {\phi }}:R/I\rightarrow S$ 使得 $\phi ={\tilde {\phi }}\circ \pi$ 。此外， ${\tilde {\phi }}$ 是一个满同态当且仅当 $\phi$ 是一个满同态， ${\tilde {\phi }}$ 是一个单同态当且仅当其核为 I。

证明我们用与群相同的证明方法。定义 ${\tilde {\phi }}(x+I)$ 为 $\phi (x)$ 。要证明这是良定义的，设 a+I=b+I，从而 a-b 是 I 的元素，所以 $\phi (a-b)=0_{S}$ ，所以 $\phi (a)=\phi (b)$ 。现在 $\phi$ 是一个同态，这意味着 ${\tilde {\phi }}$ 也是。关于额外语句的证明可以从群的商定理额外语句的证明中引申过来。

第一同构定理

设 R 为一个环，设 f 为从 R 到 S 的同态，核为 K。那么 f 的像与 R/K 同构。

证明
利用商定理，我们可以找到从 R/K 到 S 的同态，由于核与形成商群所用的理想相同，而且 f 是关于其像的满射，所以该同态是一个同构。

第二同构定理

设 R 为一个环，设 I 为一个理想，设 S 为一个子环。

S+I，所有形式为 s+i 的元素的集合，其中 s 在 S 内，i 在 I 内，是 R 的子环。
I 是 S+I 的一个理想。
S 和 I 的交集是 S 的一个理想。
(S+I)/I 与 $S/(S\cap I)$ 同构。

证明

可以验证它包含 1，并且对乘法封闭。
当然，由于 I 是 R 的一个理想，那么它必须是在任何子环下的一个理想。
从对群的类似论证中，它只能包含 I 的元素，但限制在 S 内，所以它一定是 S 的一个理想。
设 $f:R\rightarrow R/I$ 是限制在定义域 S 上的函数，并定义 $f(x)=x+I$ 。很明显，它的核是 $S\cap I$ ，它的像是 (S+I)/I。

第三同构定理

设 I 为环 R 的一个理想，设 J 为同一个环 R 的包含 I 的理想。J/I 是 R/I 的一个理想，并且 R/J 与 (R/I)/(J/I) 同构。

证明定义函数 $f:R/I\rightarrow R/J$ 为 $f(a+I)=a+J$ ，它是良定义的，因为 I 是在 J 内的理想。它显然也是一个同态。它的核是所有映射到 J 的元素，因此是所有 a+I，其中 a 在 J 内，或者 J/I。此外，它的像是 R/J，因此我们可以使用第一同构定理来证明该结果。

对应定理

设 I 为环 R 的一个理想。定义函数 $\pi$ 将包含 I 的所有环和理想映射到 R/I 的所有环和理想，其中 $\pi (X)$ = 所有形如 x+I 的陪集的集合，其中 x 是 X 的一个元素。该函数是一对一的，并且包含 I 的环或理想的像是在 R/I 中的环或理想。

证明定义从包含 I 的环或理想到 R/I 的环或理想的函数 f，由 f(A)=A/I。我们已经证明了对应于加法的结论，因为环在加法下构成阿贝尔群。因此，我们只需要检查乘法。假设 S 是包含 I 的 R 的子环。S/I 很明显在加法和减法下封闭。对于乘法，假设 x 和 y 是 S 的元素。那么 (x+I)(y+I)=xy+I 也是 S/I 的元素，这证明了它在乘法下封闭。单位元 1 在 S 中，我们有 1+I 也在 S/I 中。因此，S/I 是 R/I 的子环。现在假设 S/I 是 R/I 的子环。那么很明显 S 在加法、减法和乘法下封闭，这证明了 S 是 R 的子环。现在假设 J 是包含 I 的 R 的理想。然后根据第三同构定理，J/I 是 R/I 的理想。现在假设 J/I 是 R/I 的理想。令 r 为 R 的任何元素，令 j 为 J 的任何元素。由于 J/I 是 R/I 的理想，(r+I)(j+I)=rj+I 必须是 J/I 的元素。这表明 rj 必须是 J 的元素，证明了 J 是 R 的理想。

中国剩余定理

定义

定义： 两个元素 $a,b$ 在理想 $I$ 中被称为同余当且仅当它们属于 R/I 中的同一个陪集。当且仅当 a-b 在 I 中时，这是成立的。写成 $a=b{\bmod {I}}$ 来表示 $a$ 模 $I$ 同余于 $b$ 。

引理： 给定一个理想 $I\subseteq R$ ，环 $R$ 的一个子集，元素 $r\in R$ 模 $I$ 的同余类 $[r]$ 是 $[0]$ 当且仅当 $r\in I$ 。要看到这一点，只需注意 $a=b{\bmod {I}}$ 意味着 $a-b\in I$ ；代入得到 $r-0\in I$ 。

定义： 当存在整数 x 和 y 使得 ax+by=1 时，两个自然数互质。我们对环也进行同样的操作 - 当存在环元素 a、b 和元素 i（属于 I）和元素 j（属于 J）使得 ai+bj=1 时，两个理想 I 和 J 互质。换句话说，如果两个理想的和包含单位元，即 I+J 等于整个环 R，则这两个理想互质。

我们现在将证明

中国剩余定理

令 R 为一个环，并令 $I_{n}$ 为 n 个两两互质（即考虑任意两个对）的理想。

令 a 为从 1 到 n 的一个数字。存在一个环元素 r 属于所有理想 $I_{n}$ 中，使得 $n\neq a$ ，并且 $r=1{\bmod {I_{a}}}$
令 $r_{1},r_{2},...,r_{n}$ 为环 R 中的元素。那么存在一个环元素 r 属于 R，使得 $r=r_{i}{\bmod {I_{i}}}$ 对所有 i=1,2,3,...,n 成立。
令 I 为这些理想的交集。环 R 中的另一个元素 s 满足 $s=r_{i}{\bmod {I_{i}}}$ 对所有 i=1,2,3,...,n 成立当且仅当 $r=s{\bmod {I}}$ 。
R/I 同构于积环 $\Pi _{i=1}^{n}R/I_{i}$

证明

由于 $I_{1}$ 和 $I_{i}$ (i>1) 互素，存在元素 $b_{i}\in I_{1}$ 和 $c_{i}\in I_{i}$ (i>1)，使得 $b_{i}+c_{i}=1$ 。这意味着 $\Pi _{i=2}^{n}(b_{i}+c_{i})=1$ 。现在我们展开左边的乘积。除了 $c_{2}c_{3}c_{4}...c_{n}$ 之外的所有项都属于 $I_{1}$ ，而 $c_{2}c_{3}c_{4}...c_{n}$ 本身属于集合 S，该集合包含所有 $x_{2}x_{3}x_{4}...x_{n}$ 形式的有限乘积和，其中 $x_{i}\in I_{i}$ 。因此，它可以写成 b+a=1 的形式，其中 b 是 $I_{1}$ 的元素，而 a 是 S 的元素。然后 $a\equiv 1{\pmod {I_{1}}}$ 且 $a\equiv 0{\pmod {I_{i}}}$ ，其中 i>1。

素理想和极大理想

环中存在两类重要的理想——素理想和极大理想。

定义：理想 $I\triangleleft R$ 称为素理想，如果它满足

对于任何理想 A 和 B，如果 AB 是 I 的子集，则 A 属于 I 或 B 属于 I。

定义：理想 $I\triangleleft R$ 称为极大理想，如果它是真理想（即 $I\subsetneq R$ ），并且它满足

$I\subset J\triangleleft R\implies I=J{\text{ or }}J=R$

也就是说，在 $I$ 和 $R$ 之间没有真理想。

以下引理对于许多结果都很重要，它利用了佐恩引理（或等价地，选择公理）。

引理：环中每个不可逆元都包含在某个极大理想中

证明：假设 $x$ 是不可逆元。首先观察到 $(x)$ 是一个真理想，因为如果 $(x)=R$ ，那么特别地 $1\in (x)$ ，因此 $1=ax$ ，与假设矛盾。令 ${\mathcal {S}}$ 是 $R$ 中包含 $x$ 的真理想集合，按包含关系排序。第一个观察结果意味着 ${\mathcal {S}}$ 非空，因此要应用佐恩引理，我们只需证明每个递增理想集合都包含一个上界。假设 $\{I_{j}\}_{j}$ 是这样一个递增集合，那么最小上界是 $\sum _{j\in j}I_{j}$ ，因为它是包含每个理想的最小理想。如果验证联合 $\cup _{j\in J}I_{j}$ 是一个理想，那么它一定是 $\sum _{j\in J}I_{j}$ 。要证明它是真理想，我们只需证明 $1\notin \cup _{j\in J}I_{j}$ 对于所有 $j$ 。但这一点正是由于每个 $I_{j}$ 都是真理想。

因此，根据佐恩引理，存在一个 $J$ 的最大元素 ${\mathcal {S}}$ 。显然，它是最大的，因为如果 $J'$ 是任何满足 $J\subset J^{\prime }\subsetneq R$ 的理想，那么 $J^{\prime }$ 将是 ${\mathcal {S}}$ 的一个元素，并且根据 $J$ 的最大性，我们将有 $J^{\prime }\subset J$ ，因此 $J=J^{\prime }$ 。

环的性质可以用理想结构来自然地重新表达。例如

命题：交换环 $R$ 是一个整环，当且仅当 $(0)$ 是一个素理想。

证明：这是因为 $x=0\iff x\in (0)$ 。

这解释了为什么整环也被称为素环。类似地，我们可以给出环为域的充分必要条件

命题：交换环 $R$ 是一个域，当且仅当 $(0)$ 是一个极大理想（即不存在真理想）

证明：我们只需要证明每个元素 $0\neq x\in R$ 是可逆的。假设不是，那么根据引理... $x$ 包含在某个（真）极大理想中，这是一个矛盾。

推论：理想 $I\triangleleft R$ 是极大的，当且仅当 $R/I$ 是一个域。

证明：根据前面的命题，我们知道 $R/I$ 是一个域，当且仅当它唯一的真理想是 $(0)$ 。根据对应定理（...）这种情况当且仅当不存在包含 $I$ 的真理想。

推论：当S是一个域时，从R到S的同态f的核是一个极大理想。根据第一同构定理，这个证明是正确的，因为S与R/ker f同构。

显然，

引理：理想 $I\triangleleft R$ 是 素理想 当且仅当 $R/I$ 是一个整环。

证明：用 ${\bar {x}}$ 表示对应于等价类 $[x]$ 的 $R/I$ 中的元素。显然， $R/I$ 中的每一个元素都可以写成这种形式。

$\Rightarrow )$ ${\bar {xy}}=0\iff xy\in I\iff x\in I{\text{ or }}y\in I\iff {\bar {x}}=0{\text{ or }}{\bar {y}}=0$ 其中第二个等价关系直接由 $I$ 是素理想得到。

$\Leftarrow )$ 这可以通过完全相同的方式得出。

推论：当 S 是一个整环时，从 R 到 S 的同态 f 的核是一个素理想。该证明由第一同构定理得出，因为 S 与 R/ker f 同构。

引理：极大理想也是素理想。

证明：假设 $I\triangleleft R$ 是一个极大理想，且 $xy\in I$ 。进一步假设 $x\notin I$ 。那么理想 $I+(x)$ 是一个包含 $I$ 和 $x$ 的理想，因此严格大于 $I$ 。根据极大性， $I+(x)=R\ni 1$ 。所以 $1=i+rx\implies y=iy+rxy\in I$ 。
或者，我们可以利用上面两个结果，以及所有域都是整环的事实来证明这一点。

术语表

请参阅完整的维基百科：环论术语表。