声学/滤波器设计与实现

简介

声学滤波器，或消声器，被广泛应用于需要抑制或衰减声音的各种场合。虽然许多人可能不熟悉这个概念，但声学消声器却让日常生活更加舒适。许多常见的家用电器，如冰箱和空调，都使用声学消声器来降低工作噪音。声学消声器的应用主要集中在机械部件或辐射声音较多的区域，例如高压排气管、燃气轮机和旋转泵。

尽管声学消声器有许多应用，但实际上只有两种主要类型被广泛使用。它们是吸声式消声器和阻抗式消声器。吸声式消声器通过吸声材料来衰减气流中辐射的能量。阻抗式消声器使用一系列复杂的通道来最大限度地衰减声音，同时满足规定的指标，例如压降、体积流量等。如今，许多更复杂的消声器结合了这两种方法，以优化声音衰减并提供实际的指标。

为了全面了解声学滤波器如何衰减辐射声音，首先需要简要介绍一些基本背景知识。有关波理论和其他研究声学滤波器所需材料的更多信息，请参阅下面的参考文献。

基本波理论

虽然波动的分析并不难理解，但由于存在多种不同的分析方法，对于新手来说可能会让人不知所措。因此，为了使大部分数学尽可能简单，这里只分析一维波运动。这种分析对于实践中遇到的大多数管道和封闭空间来说是有效的，误差很小。

管中的平面波压力分布

最重要的公式是一维形式的波动方程。

因此，如果平面波正在传播，可以合理地推断，管内的压力分布由以下公式给出：

$\mathbf {p} =\mathbf {Pi} e^{j[\omega t-kx]}+\mathbf {Pr} e^{j[\omega t+kx]}$

其中 Pi 和 Pr 分别是入射波和反射波的幅度。还要注意，粗体符号用于表示可能存在的复数项。第一项表示沿 +x 方向传播的波，第二项表示沿 -x 方向传播的波。

由于声学滤波器或消声器通常尽可能地衰减辐射声功率，因此我们可以假设，如果我们能找到一种方法来最大化反射波幅度与入射波幅度的比率，那么我们就可以有效地衰减特定频率的辐射噪声。这个比率被称为反射系数，其公式为：

$\mathbf {R} =\left({\frac {\mathbf {Pr} }{\mathbf {Pi} }}\right)$

需要注意的是，波的反射仅在管道的阻抗发生变化时才会发生。可以通过使管道末端的阻抗与管道的特征阻抗匹配来实现无波反射。有关更多信息，请参见 [1] 或 [2]。

虽然反射系数以目前的形式不太实用，因为我们需要一个描述声功率的关系，但我们可以通过认识到功率强度系数只是反射系数平方的大小来推导出一个更实用的形式 [1]

$R_{\pi }=\left|\mathbf {R} \right|^{2}$

正如预期的那样，功率反射系数必须小于或等于 1。因此，我们可以将透射系数定义为：

$T_{\pi }=\left(1-R_{\pi }\right)$

它表示透射的功率。这个关系直接来自于能量守恒定律。在讨论消声器的性能时，通常会指定功率透射系数。

基本滤波器设计

对于简单的滤波器，可以进行长波长近似，以简化系统的分析。当这个假设成立时（例如低频），系统的组件表现为集总声学元件。在这种情况下，很容易推导出描述各种特性之间的关系式。

以下推导假设长波长。大多数情况下的实际应用将在后面给出。

低通滤波器

低通滤波器的 Tpi

低通滤波器是一种衰减高频辐射声功率的装置。这意味着在低频带通内，功率透射系数约为 1（参见右边的图形）。

这相当于管道中的膨胀，膨胀中气体的体积具有声学顺应性（见右图）。声阻抗的连续性（见：声阻抗可视化），在连接处，参见[1]，给出了功率传输系数为

$T_{\pi }\approx {\frac {1}{1+\left(\displaystyle {\frac {S_{1}-S}{2S}}kL\right)^{2}}}$

其中k是波数（参见波特性），L和$S_{1}$分别是膨胀的长度和面积，S是管道的面积。

截止频率由下式给出

$f_{c}=\left({\frac {cS}{\pi L(S_{1}-S)}}\right)$

高通滤波器

高通滤波器的Tpi

这些是衰减低频辐射声功率的装置。就像之前一样，这意味着功率传输系数在大频带的通带内约为1（见右图）。

这相当于一个短侧支路（见右图），其半径和长度远小于波长（集总元件假设）。该侧支路充当声质量，对系统施加了与低通滤波器不同的声阻抗。再次使用连接处的声阻抗连续性，得到以下形式的功率传输系数[1]

$T_{\pi }=\left({\frac {1}{1+\left({\frac {\pi a^{2}}{2SLk}}\right)^{2}}}\right)$

其中a和L是短管的面积和有效长度，S是管道的面积。

截止频率由下式给出

$f_{c}=\left({\frac {ca^{2}}{2SL}}\right)$

带阻滤波器

带阻滤波器的Tpi

这些是衰减特定频率范围内辐射声功率的装置（见右图）。就像之前一样，功率传输系数在通带区域内约为1。

由于带阻滤波器本质上是低通滤波器和高通滤波器的组合，人们可能会期望通过结合这两种技术来创建一个。这在集总声质量和顺应性组合形成带阻滤波器方面是正确的。这可以实现为亥姆霍兹谐振器（见右图）。同样，由于亥姆霍兹谐振器的阻抗很容易确定，连接处的声阻抗连续性可以给出功率传输系数为[1]

$T_{\pi }=\left({\frac {1}{1+\left({\frac {c/2S}{\omega L/S_{b}-c^{2}/\omega V}}\right)^{2}}}\right)$

其中$S_{b}$是颈部的面积，L是颈部的有效长度，V是亥姆霍兹谐振器的体积，S是管道的面积。有趣的是，当频率为亥姆霍兹的谐振频率时，功率传输系数为零。这可以用以下事实来解释：在谐振时，颈部的体积速度很大，并且具有这样的相位，使得所有入射波都反射回源[1]。

零功率传输系数的位置由下式给出

$f_{c}=\left({\frac {c}{2\pi }}\right){\sqrt {\left({\frac {S_{b}}{LV}}\right)}}$

该频率值具有强大的意义。如果系统的大部分噪声集中在一个频率分量上，则可以使用上述方程和亥姆霍兹谐振器对系统进行“调谐”，以完全衰减任何传输的功率（见下面的示例）。

亥姆霍兹谐振器作为消声器，f = 60 Hz

亥姆霍兹谐振器作为消声器，f = fc

设计

如果长波长假设有效，通常会结合使用上面描述的方法来设计滤波器。为亥姆霍兹谐振器概述了具体的設計程序，其他基本滤波器遵循类似的程序（参见1）。

设计亥姆霍兹谐振器时需要确定两个主要指标[3]

1. 目标共振频率：$f_{c}={\frac {c}{2\pi }}{\frac {\sqrt {C_{o}}}{V}}$ 其中 $C_{o}={\frac {S}{L}}$。
2. - 传输损耗：${\frac {\sqrt {C_{o}V}}{2S}}=const$ 基于 TL 水平。此常数可从 TL 图表中获取（参见 HR 第 6 页）。

这将导致两个未知数的两个方程，可以解出亥姆霍兹共振器未知的尺寸。重要的是要注意，流速会降低共振时的传输损耗量，并倾向于向上移动共振位置 [3]。

在许多情况下，长波长近似值无效，必须检查其他方法。这些方法在数学上更加严谨，需要对涉及的声学有充分的了解。虽然没有展示相关的数学公式，但下一节给出了常用的滤波器。

实际滤波器设计

如前所述，实际应用中使用两种主要的滤波器：吸声式和阻抗式。下面将简要介绍每种类型的优点和缺点，以及它们各自的应用（参见 吸声消声器）。

吸声式

这类消声器使用吸声材料将声能转化为热能。与利用声波干涉来减少辐射声功率的阻抗式消声器不同，吸声式消声器通常是直通管道，内衬多层吸声材料以减少辐射声功率。吸声式消声器最重要的属性是衰减常数。较高的衰减常数会导致更多的能量耗散和更低的辐射声功率。

吸声式消声器的优点 [3]

(1) - 在较高频率下具有高吸声量。 (2) - 适合应用于宽带（频谱中恒定）和 窄带噪声。 (3) - 与阻抗式消声器相比，回压更低。

吸声式消声器的缺点 [3]

(1) - 在低频下性能不佳。 (2) - 材料在某些情况下可能会降解（高温等）。

示例

吸声式消声器

吸声式消声器有很多应用。最著名的应用是赛车，需要追求发动机性能。吸声式消声器不会产生大量的回压（如阻抗式消声器）来衰减声音，这导致了更高的消声器性能。但需要注意的是，辐射声音要高得多。其他应用包括风道室（内衬吸声材料的大型腔室，见下图）、衬垫管道和通风系统。

阻抗式

阻抗式消声器使用许多复杂的通道（或集中元件）来减少传输的声能。这是通过在交汇处改变阻抗来实现的，这会导致反射波（并有效地减少传输的声能）。由于传输的能量最小化，反射回源的能量相当高。这实际上会降低发动机和其他声源的性能。与消散声能的吸声式消声器相反，阻抗式消声器将能量保留在系统内。有关更多信息，请参阅 #The_reflector_muffler 阻抗式消声器。

阻抗式消声器的优点 [3]

(1) - 在低频下性能优异。 (2) - 通常为固定音调提供高插入损耗 IL。 (3) - 可用于恶劣环境。

阻抗式消声器的缺点 [3]

(1) - 在高频下性能不佳。 (2) - 对宽带噪声来说，性能不佳。

示例

反射式消声器

阻抗式消声器是内燃机中最常用的消声器 1。阻抗式消声器在低频应用中非常有效（特别是因为可以应用简单的集中元件分析）。其他应用领域包括：恶劣环境（高温/高速发动机、涡轮机等）、特定频率衰减（使用亥姆霍兹装置，可以调整特定频率以实现辐射声功率的完全衰减）以及需要低辐射声功率（汽车消声器、空调等）。

性能

有三个主要指标用于描述消声器的性能：降噪、插入损耗和传输损耗。通常在设计消声器时，会给出其中一个或两个指标的期望值。

降噪 (NR)

定义为声源侧和接收侧声压级的差值。它本质上是声源位置和消声器系统末端之间减少的声功率量（不必是末端，但它是最常见的位置） [3]。

$NR=\left(L_{p1}-L_{p2}\right)$

其中 $L_{p1}$ 和 $L_{p2}$ 分别是声源和接收处的声压级。虽然 NR 很容易测量，但由于驻波的存在，声源处的压强通常会发生变化 [3]。

插入损耗 (IL)

定义为有和没有声衰减屏障的接收器处的声压级差。这可以在汽车消声器中实现，即仅使用直通管道时的辐射声功率与在管道中安装膨胀室时的辐射声功率之间的差值。由于膨胀室将衰减一部分辐射声功率，因此安装声衰减屏障后接收器处的压强会更低。因此，需要更高的插入损耗 [3]。

$IL=\left(L_{p,without}-L_{p,with}\right)$

其中 $L_{p,without}$ 和 $L_{p,with}$ 分别是接收器在没有和有消声器系统时的声压级。测量 IL 的主要问题是，需要在不改变声源的情况下移除屏障或隔音系统 [3]。

传输损失 (TL)

定义为入射波到消声器系统的声功率级与透射声功率级之间的差值。有关更多信息，请参阅传输损失 [3]。

$TL=10log\left({\frac {1}{\tau }}\right)$ 其中 $\tau =\left({\frac {I_{t}}{I_{i}}}\right)$

其中 $I_{t}$ 和 $I_{i}$ 分别是透射波和入射波的功率。从这个表达式可以明显看出，测量 TL 的问题在于将声场分解为入射波和透射波，这对复杂的系统来说可能很难做到（分析地）。

示例

(1) - 对于一个容积室（见下图）

$TL=-10\log \left[S\left({\frac {\cos \theta }{2\pi d^{2}}}+{\frac {1-\alpha }{\alpha S_{w}}}\right)\right]$ 以 dB 为单位

其中 $\alpha$ 是平均吸收系数。

容积室	传输损失与 θ 的关系

(2) - 对于一个扩散器（见下图）

$NR=10\log \left[{\frac {1}{2}}\left|e^{-ikx_{s}}+\left({\frac {1-S}{1+S}}\right)e^{ikx_{s}}\right|^{2}\left(1+S\right)^{2}\right]$

$IL=10\log \left[{\frac {\left(1+S\right)^{2}}{4}}\right]$

$TL=10\log \left[{\frac {\left(1+S\right)^{2}}{4S}}\right]$

其中 $S=\left({\frac {A_{2}}{A_{1}}}\right)$

无限长管道中的膨胀

膨胀的 NR、IL 和 TL

(3) - 对于亥姆霍兹共鸣器（参见下图）

$TL=10\log \left[1+\left({\frac {\left({\frac {c}{2S}}\right)}{\omega LS_{b}-\left({\frac {c^{2}}{\omega V}}\right)}}\right)^{2}\right]$ dB

亥姆霍兹共鸣器

亥姆霍兹共鸣器的 TL

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链接

1. 消声器/消音器的应用和性能指标描述 排气消音器
2. 工程声学，普渡大学 - ME 513.
3. 声音传播 动画
4. 排气消声器 设计
5. 项目 提案 和 提纲

参考文献

1. 声学基础；Kinsler 等人，约翰·威立父子公司，2000 年
2. 声学；皮尔斯，美国声学学会，1989 年
3. - ME 413 噪声控制，蒙戈教授，普渡大学