工程声学/边界条件和强迫振动

边界条件

表示先前讨论的波动方程解的函数，

即 $y(x,t)=f(\xi )+g(\eta )\,$ 其中 $\xi =ct-x\,$ 和 $\eta =ct+x\,$

取决于边界条件和初始条件。如果假设波在弦中传播，则初始条件与弦在 t=0 时特定扰动有关。这些特定扰动由接触位置和类型决定，可以是简单的振荡到剧烈的脉冲。边界条件的影响更为微妙。

最简单的边界条件是固定支承和自由端。在实践中，自由端边界条件很少遇到，因为它假设没有横向力支撑弦（例如，弦只是漂浮的）。

固定支承

在支承处，弦中传播的波的整体位移必须为零。在支承处表示 x=0，这要求

$y(0,t)=f(ct-0)+g(ct+0)=0\,$

因此，x=0 处的总横向位移为零。

入射波、反射波和组合波的波反射序列如下所示。请注意，波在开始时向左（负 **x** 方向）传播。反射波当然向右（正 **x** 方向）传播。

t=0

t=t1

t=t2

t=t3

自由支承

与固定支承边界条件不同，支承处的横向位移不必为零，但必须要求横向力之和抵消。如果假设位移角很小，

$\sin(\theta )\approx \theta =\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)\,$

所以，

$\sum F_{y}=T\sin(\theta )\approx T\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)=0\,$

当然，弦中的张力 T 不会为零，这需要在 x=0 处斜率为零。

即 $\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)=0\,$

对于自由边界，入射波、反射波和组合波的波反射序列如下所示。

t=0

**t=t1**

**t=t2**

**t=t3**

其他边界条件

还有许多其他类型的边界条件不属于我们简化的类别。正如预期的那样，将许多“复杂”系统的特性与基本边界条件联系起来并不困难。典型的或现实的边界条件包括质量加载、阻抗加载、阻尼加载和阻抗加载弦。有关更多信息，请参见 Kinsler 的《声学基础》，第 54-58 页。

以下是一个网站，它包含在不同边界条件下波反射的精美动画：波反射

波特性

首先，我们将讨论一些有用变量的定义。这些包括：波数、相速度和波长，它们是波在弦上传播时的特征。

波在弦中传播的速度由相速度给出，通常以 m/s 为单位，由下式给出：

$c={\sqrt {T/\rho _{L}}}\,$ 其中 $\rho _{L}\,$ 是弦的单位长度的密度。

波数用于将横向位移方程简化为更简单的形式，对于简谐运动，它乘以横向位置。它由下式给出：

$k=\left({\frac {\omega }{c}}\right)\,$ 其中 $\omega =2\pi f\,$

最后，波长定义为

$\lambda =\left({\frac {2\pi }{k}}\right)=\left({\frac {c}{f}}\right)\,$

它被定义为周期波形的两个点（通常是峰值）之间的距离。

这些“波特性”在计算不同情况下的波动方程解时具有实际意义。正如稍后将看到的，波数被广泛用于图形和定量描述波现象。

更多信息：波特性

强制振动

1. 无限弦的强制振动 假设有一根非常长的弦，在 x=0 处施加一个力。

F(t)=Fcos(wt)=Real{Fexp(jwt)}

使用 x=0 处的边界条件，

忽略反射波。

很容易得到波形。

其中 w 是角速度，k 是波数。

根据阻抗的定义。

它表示弦的特征阻抗。显然，它是纯电阻的，类似于机械系统中的电阻。

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耗散功率

注意：沿着弦，所有变量都以相同的速度传播。

链接标题 一个有用的链接，用于展示波的时间-空间特性。

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一些有趣的波在不同边界条件下的动画。

1. 硬边界（类似于固定端）

2. 软边界（类似于自由端）

3. 从低密度到高密度弦

4. 从高密度到低密度弦

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