工程师与科学家高级数学/尺度分析

尺度分析

在关于无量纲化的章节中，变量（包括自变量和因变量）被无量纲化，同时被缩放，使得它们的值范围从类似$0$ 到$1$。“类似$0$ 到$1$” 是一种思维方式。

尺度分析是一种利用无量纲化的工具，用于

• 理解一个方程中哪些因素是重要的，更重要的是，哪些因素不重要。
• 在（甚至不）实际求解之前，就能对未知变量的大小有直观认识，例如速度或温度。
• 简化求解过程（无量纲变量范围在$0$ 到$1$ 之间非常容易处理）。
• 减少解对物理参数的依赖性。
• 允许更高质量的数值解，因为在计算机上，处于同一范围内的变量能够更好地保持精度。

尺度分析非常依赖常识，并且没有太强的系统性。由于这个原因，并且由于它本身就有些非自然且难以在没有大量例子情况下描述，因此它可能很难学习。

在深入概念之前，我们必须讨论数量级。

数量级和大O符号

假设有两个函数$f(x)$ 和$g(x)$。我们可以说（并用符号表示）

$f(x)\ {\mbox{ is }}\ {\mathcal {O}}(g(x))\ {\mbox{ as }}\ x\to a\ \quad {\mbox{if}}\quad \limsup _{x\to a}\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|<\infty \,$

当x无限增大时，f(x)的上极限和下极限的可视化。

值得完全理解这个可能比较模糊的定义。${\mbox{lim sup}}$，即上极限，类似于“普通”极限，只是它是上界的极限。这个概念，以及下极限，在右侧进行了说明。这种直观的分析将不得不在这里足够了，因为这些特殊极限的精确定义和细节相当复杂。

作为进一步的例子，当$x$无限增大时，余弦函数的极限是

$\limsup _{x\to \infty }\ \cos(x)=1\,$

$\liminf _{x\to \infty }\ \cos(x)=-1\,$

$\lim _{x\to \infty }\cos(x)\ {\mbox{ does not exist}}\,$

希望大家能理解这个稍微偏离主题的技术细节，那么，

$f(x)\ {\mbox{ is }}\ {\mathcal {O}}(g(x))\ {\mbox{ as }}\ x\to a\,$

这个表达式的意思是，在 $x=a$ 附近，$f(x)$ 的 **阶**（或者说大小、量级）被 $g(x)$ 限制住了。也就是说，在 $x=a$ 附近，$|f(x)|$ 不会比 $|g(x)|$ 大很多，这正是用极限上确界来表达的原因（普通的极限在这里行不通，因为振荡会把一切搞砸）。这种涉及大 O 的表示法非常巧妙地被称为 "大 O 表示法"，它也叫做 Landau 表示法。

例如，考虑 $f(x)=3x^{2}-100x+2$ 在不同点的情况

$3x^{2}-100x+2\ {\mbox{ is }}\ {\mathcal {O}}(x^{2})\ {\mbox{ as }}\ x\to \infty \,$

$3x^{2}-100x+2\ {\mbox{ is }}\ {\mathcal {O}}(x^{0})\ {\mbox{ as }}\ x\to 0\,$

在第一种情况下，当 $x$ 很大时，$x^{2}$ 项将轻松地占据主导地位。即使该项的系数非常接近于零，对于足够大的 x 来说，该项也将占主导地位。因此，对于很大的 $x$ 来说，该函数的阶为 $x^{2}$ 。

在第二种情况下，接近 $x=0$ 时，前两项趋近于零，而常数项，$2$，根本没有变化。它被称为阶数为 $1$，记为阶数 $x^{0}$。为什么是 O(1) 而不是 O(2)？两种说法都正确，但 O(1) 更受欢迎，因为它更简单，也更接近 $x^{0}$。

这可能会引出一个有趣的问题：如果常数项被删除会发生什么？剩下的两项都会趋近于零。因为我们关注的是 x 接近零而不是等于零，

$3x^{2}-100x\ {\mbox{ is }}\ {\mathcal {O}}(x)\ {\mbox{ as }}\ x\to 0\,$

这是因为随着 $x$ 趋近于零，二次项比线性项更快地变小。虽然说这个量是 O(1) 也是正确的，但它没什么用。说这个量是零阶是不正确的，因为无论如何极限都不存在。

如上所述，$g(x)$ 绝不是唯一的函数。以下所有语句都是正确的，仅仅是因为上极限是有界的

$3x^{2}-100x+2\ {\mbox{ is }}\ {\mathcal {O}}(\sinh(x))\ {\mbox{ as }}\ x\to \infty \,$

$3x^{2}-100x+2\ {\mbox{ is }}\ {\mathcal {O}}(500\cdot 2^{2^{x}}-\sin(x))\ {\mbox{ as }}\ x\to \infty \,$

$3x^{2}-100x+2\ {\mbox{ is }}\ {\mathcal {O}}(x)\ {\mbox{ as }}\ x\to 0\,$

$3x^{2}-100x+2\ {\mbox{ is }}\ {\mathcal {O}}(x^{2})\ {\mbox{ as }}\ x\to 0\,$

虽然从技术上讲是正确的，但这些陈述非常误导人。通常，选择最简单、最小幅度的函数 g(x)。

在结束单调之前，还需要提到的是，不需要 $f(x)$ 比 $g(x)$ 在 $x=a$ 附近更小，只需要上极限存在。以下两个陈述也是正确的

$3x^{2}-100x+2\ {\mbox{ is }}\ {\mathcal {O}}(0.00001)\ {\mbox{ as }}\ x\to 0\,$

$3x^{2}-100x+2\ {\mbox{ is }}\ {\mathcal {O}}(1000000000)\ {\mbox{ as }}\ x\to 0\,$

但同样，这些都是误导性的，最恰当的说法是

$3x^{2}-100x+2\ {\mbox{ is }}\ {\mathcal {O}}(1)\ {\mbox{ as }}\ x\to 0\,$

一个相对简单的概念被反复强调，以至于变得令人困惑。在上下文中会更清晰，并且将在后面的章节中用于不同的目的。

双项常微分方程的尺度分析

之前，考虑了以下边值问题

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\,$

$u(0)=0\,$

$u(D)=0\,$

忘记解决这个简单问题的任何记忆，本章的概念不关注实际的解。通过定义新的变量对变量进行无量纲化

$u=u_{s}{\hat {u}}\ {\mbox{ , }}\ y=D{\hat {y}}\,$

为了使$y$ 按 $D$ 比例缩放，$u$ 按未知比例 $u_{s}$ 缩放。现在注意到，由于缩放

${\hat {y}}\ {\mbox{ is }}\ {\mathcal {O}}(1)\ {\mbox{, and }}\ {\hat {u}}\ {\mbox{ is }}\ {\mathcal {O}}(1)\,$

这两个在零附近都是成立的。$u$ 将是 O(1) (读作“一阶”)，当它的尺度被适当选择时。使用链式法则，ODE 被转化成以下形式

${\frac {u_{s}}{D^{2}}}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\,$

现在，如果 $u$ 和 $y$ 都是一阶的，那么可以假设，至少在感兴趣的域的某个点上

${\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}\ {\mbox{ is }}\ {\mathcal {O}}(1)\,$

当然，这并不能保证是正确的，但它是合理的。

为了识别速度尺度，我们可以将导数等于1 并求解。故意将导数设置为 1 并不会违反任何规则，因为我们只需要某个方程来指定未知常数 $u_{s}$。在定义这个尺度方面有很大的自由度，因为这个常数的值以及如何找到它不会影响 BVP 解的有效性（只要它不是类似 $0$ 的愚蠢值）。

${\frac {u_{s}}{D^{2}}}\cdot 1={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\Rightarrow u_{s}={\frac {D^{2}P_{x}}{\nu \rho }}\,$

由于

${\hat {u}}\ {\mbox{ is }}\ {\mathcal {O}}(1)\,$

因此

$u\ {\mbox{ is }}\ {\mathcal {O}}(u_{s})\Rightarrow u\ {\mbox{ is }}\ {\mathcal {O}}\left({\frac {D^{2}P_{x}}{\nu \rho }}\right)\,}$

可以将此速度尺度视为特征速度。它是一个数字，告诉我们预期速度的样子。实际速度可能更大或更小，但这提供了一个大致的概念。此外，此尺度告诉我们更改各种物理参数将如何影响速度；它们中的四个被概括成一个常数。

将此结果与完整解（下划线）的系数进行比较，其中 u 有量纲，$y$ 无量纲

$u({\hat {y}})={\underline {\frac {D^{2}P_{x}}{2\nu \rho }}}({\hat {y}}^{2}-{\hat {y}})\,$

它们相差一个$2$ 的因子，但它们的大小级相同。因此，确实，$u_{s}$ 表征速度。

像“合理”和“假设”这样的词被使用了几次，这些词通常会导致更难听的词“近似”。放松：BVP 本身并没有以任何方式被近似或违反。我们只是使用尺度分析来选择一个速度尺度，该尺度

• 将 ODE 转化为一个非常容易观察的东西：${\tfrac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\quad ;\quad u(0)=u(1)=0\,$
• 在没有找到实际解的情况下，很好地了解了解将产生什么样的速度。

请注意，零压力梯度不再能出现在 ODE 中。这绝不是限制，因为零压力梯度会导致零速度尺度，这将无条件地导致零速度。

三项偏微分方程的尺度分析

上一节更多的是无量纲化，而不是尺度分析。为了更深入地了解这个主题，我们将考虑压力驱动的瞬态平行板 IBVP，它与上述情况相同，只是有一个时间分量

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}-{\frac {P_{x}}{\rho }}\,\,$

$u(0,t)=0\,$

$u(D,t)=0\,$

$u(x,0)=0\,$

请参阅变量变化 章节以回忆此问题的起源。尺度定义如下

$u=u_{s}{\hat {u}}\ {\mbox{ , }}\ y=D{\hat {y}}\ {\mbox{ , }}\ t=t_{s}{\hat {t}}\,$

再次，$y$ 上的刻度是根据边界条件选择的，使其成为一阶量，而$u$ 和 $t$ 上的刻度只是代表未知量的字母。

链式法则已用于根据新变量定义导数。与其采取这种方式，不如回想一下，给定变量$x$ 和 $y$（为了举例说明）及其各自的刻度$x_{s}$ 和 $y_{s}$

${\frac {\partial ^{n}y}{\partial x^{n}}}={\frac {\partial ^{n}{\hat {y}}}{\partial {\hat {x}}^{n}}}{\frac {y_{s}}{x_{s}^{n}}}\qquad ;\quad x=x_{s}{\hat {x}}\ ,\ y=y_{s}{\hat {y}}\,$

这样就容易多了。执行变量变换

${\frac {\partial {\hat {u}}}{\partial {\hat {t}}}}{\frac {u_{s}}{t_{s}}}=\nu {\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial {\hat {y}}^{2}}}{\frac {u_{s}}{D^{2}}}-{\frac {P_{x}}{\rho }}\,\,$

在上一节中，只有一个未知尺度和一个方程，因此可以轻松且*唯一地*分离未知尺度。现在，有两个未知尺度，但只有一个方程（边界条件/初始条件无济于事）。该怎么办呢？

可以考虑尺度的物理意义。请问：“尺度应该代表什么？”

**没有唯一的答案**，但**好的**答案对于这个问题是

• $u_{s}$ 表征稳态速度。
• $t_{s}$ 表征响应时间：建立稳态的时间。

再次强调，这些是**选择的**（但是，对于这个问题，实际上没有其他选择）。为了确定尺度，需要考虑每种情况的物理特性。可能没有唯一的选择，但有最好的选择，这些是“正确”的选择。对偏微分方程中每个项的含义的理解对于识别这些“正确”的选择至关重要，并在下面进行了说明。

$\underbrace {{\frac {\partial {\hat {u}}}{\partial {\hat {t}}}}{\frac {u_{s}}{t_{s}}}} _{\text{acceleration}}=\underbrace {\nu {\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial {\hat {y}}^{2}}}{\frac {u_{s}}{D^{2}}}} _{\text{viscosity}}-\underbrace {\frac {P_{x}}{\rho }} _{\begin{smallmatrix}{\text{driving}}\\{\text{force}}\end{smallmatrix}}\,$

对于速度尺度，需要一个稳态条件。在这种情况下，时间导数（加速度）必须很小。我们可以通过要求加速度为某个小值（即零）来获得与稳态条件相关的特征速度，并说明二阶导数为$O(1)$，并求解

$0={\frac {u_{s}}{D^{2}}}\cdot 1-{\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\Rightarrow u_{s}={\frac {D^{2}P_{x}}{\nu \rho }}\,$

这与上一节中找到的速度尺度相同。这是预期的，因为两种情况都在描述相同的稳态条件。加速度的忽略等同于所谓的驱动力和粘度之间的平衡，因为驱动力和粘度是唯一剩下的因素。

获得时间尺度可能更加难以捉摸。与达到稳态相关的时间由加速度和粘度决定，因此时间尺度可以通过考虑加速度和粘度之间的平衡来获得。请注意，此语句与压力无关，因此它应该适用于各种扰动。为了平衡这些项，假设导数是$O(1)$量，并忽略压力

$1\cdot {\frac {u_{s}}{t_{s}}}=\nu \cdot 1\cdot {\frac {u_{s}}{D^{2}}}+0\Rightarrow t_{s}={\frac {D^{2}}{\nu }}\,$

这说明

• 粘度越小，达到稳态所需的时间越长。
• 分离距离越小，达到稳态所需的时间越短。

因此，该尺度描述了影响瞬态时间的方式。结果可能看起来违反直觉，但如果压力确实是一个能够抵抗高粘度流体可能出现的巨大粘度力的常数，则实验可以验证这些结果。

将这些尺度与完整、带量纲的解中看到的常数进行比较

$u(y,t)={\frac {D^{2}P_{x}}{2\rho \nu }}\left({\frac {y^{2}}{D^{2}}}-{\frac {y}{D}}-\sum _{n=1}^{\infty }e^{-{\frac {\nu (n\pi )^{2}}{D^{2}}}\cdot t}\cdot {\frac {4(-1)^{n}-4}{n^{3}\pi ^{3}}}\sin({\frac {n\pi }{D}}y)\right)\,$

速度尺度在数量级上匹配，这里没有新的发现。但仔细检查时间常数（从指数因子中提取）并与时间尺度进行比较

${\mbox{time constant}}={\frac {D^{2}}{\nu (n\pi )^{2}}}\quad ;\quad t_{s}={\frac {D^{2}}{\nu }}\,$

它们在物理参数方面是同阶的，尽管当$n=1$时，它们会相差近10倍。这个结果比看起来更有用。请注意，在确定速度尺度后，方程的所有三个项都可能被考虑以隔离时间尺度。这将是一个糟糕的选择，因为它不符合上述时间常数，因为它不描述粘度和加速度之间的必要稳定。

假设，对于某个问题，一个时间相关的偏微分方程太难求解，但稳态版本更容易，也是你感兴趣的。一个自然的问题是：“我需要等待多长时间才能达到稳态？”

适当尺度分析提供的时间尺度至少会提供一个概念。在这种情况下，假设解中求和的第一个项占主导地位，时间尺度将高估响应时间近10倍，如果你对此一无所知，这是一个宝贵的信息。这种高估实际上是一个好的（安全的）高估，等待更长时间并确保稳态条件总是更好的。尺度通常具有高估的趋势。

在结束本节之前，考虑偏微分方程的实际无量纲化。在尺度分析过程中，后两项的系数相等，之后前两项的系数相等。这意味着无量纲化的偏微分方程将是

${\frac {\partial {\hat {u}}}{\partial {\hat {t}}}}={\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial {\hat {y}}^{2}}}-1\,\,$

这可以通过将为尺度找到的表达式代入偏微分方程来验证。这个无量纲偏微分方程也证明完全独立于所涉及的物理参数，这非常方便。

薄壁的热量传递

现在，将介绍尺度分析的一个重要用途：确定方程中什么重要，更重要的是，什么不重要。

如拉普拉斯算子介绍中所述，均匀固体中的稳态热流可以在三维空间中用以下公式描述：

$\nabla ^{2}=0\qquad {\xrightarrow {\mathrm {It's\ 3D.} }}\qquad {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0\,$

现在，假设我们对大型且相对薄的墙壁内部的热量传递感兴趣，墙壁两侧的温度不同（不一定均匀）。“薄”这个词至关重要，现在就把它写在你的手掌上。你应该怀疑，如果墙壁确实很薄，分析可能会以某种方式简化，这就是我们接下来要做的。

不关心墙壁边缘发生的事情，可以写出边界值问题：

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0\,$

$u(x,y,0)=f(x,y)\,$

$u(x,y,D)=g(x,y)\,$

$D$是墙壁的厚度（含义：$z$是穿过墙壁的坐标）。假设墙壁是一个长方体，尺寸为$s\times s\times D$。使用长方体尺寸作为尺度，

$x=s{\hat {x}}\ ,\quad y=s{\hat {y}}\ ,\quad z=D{\hat {z}}\ ,\quad u=u_{s}{\hat {u}}\,$

只有 $u$ 的比例未知。将其代入 PDE，

${\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial {\hat {x}}^{2}}}{\frac {u_{s}}{s^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial {\hat {y}}^{2}}}{\frac {u_{s}}{s^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial {\hat {z}}^{2}}}{\frac {u_{s}}{D^{2}}}=0\,$

$\left({\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial {\hat {x}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial {\hat {y}}^{2}}}\right)\left({\frac {D}{s}}\right)^{2}+{\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial {\hat {z}}^{2}}}=0\,$

注意，$u$ 的比例被消掉了——因此必须对其比例做出合理的选取；在这种情况下，它将是极端边界值（例如，$\mathrm {max} (f,g)$ 的最大值），假设它已经被选取并处理了。由于这种缩放和随后的重新排列，我们可以很好地了解方程式中每个项的**量级**

${\bigg (}\underbrace {\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial {\hat {x}}^{2}}} _{{\mathcal {O}}(1)}+\underbrace {\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial {\hat {y}}^{2}}} _{{\mathcal {O}}(1)}{\bigg )}\cdot \underbrace {\left({\frac {D}{s}}\right)^{2}} _{?}+\underbrace {\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial {\hat {z}}^{2}}} _{{\mathcal {O}}(1)}=0\,$

每个导数近似为 $O(1)$。但是维度平方比呢？这被称为无量纲参数。现在看看你的手掌（不是你用来写字的那只），回忆“薄”这个词。“薄”在这个情况下与

${\frac {D}{s}}\ll 1\,$

如果上面的比率远小于 $1$，那么这个比率的平方就更小了。我们的无量纲参数被称为小参数。当参数很小时，有许多机会简化分析；最简单的方法是说它太小以至于无关紧要，所以

${\bigg (}\underbrace {\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial {\hat {x}}^{2}}} _{{\mathcal {O}}(1)}+\underbrace {\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial {\hat {y}}^{2}}} _{{\mathcal {O}}(1)}{\bigg )}\cdot \underbrace {\left({\frac {D}{s}}\right)^{2}} _{\begin{smallmatrix}{\text{really}}\\{\text{small}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial {\hat {z}}^{2}}} _{{\mathcal {O}}(1)}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial {\hat {z}}^{2}}}=0\,$

如果没有对变量进行缩放，使其导数（可能）为 $O(1)$，就无法证明刚才所做的事情，因为你不知道它们的阶数。我们知道每个导数都希望是 $O(1)$，但是这些 $O(1)$ 导数中的一些带有非常小的因子。只有这样才能合理地丢弃项。无量纲的 BVP 变为

${\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial {\hat {z}}^{2}}}=0\,$

${\hat {u}}(s{\hat {x}},s{\hat {y}},0)={\hat {f}}(s{\hat {x}},s{\hat {y}})\,$

${\hat {u}}(s{\hat {x}},s{\hat {y}},1)={\hat {g}}(s{\hat {x}},s{\hat {y}})\,$

需要注意，它仍然是一个偏微分方程（$x$ 和 $y$ 变量并未变得无关紧要 - 请注意边界条件）。 另外需要注意的是，$u$ 的缩放被取消，因为它无论如何都会抵消（比例仍然可以被选为，比如，最大边界值）。这个问题可以通过对 $z$ 进行两次积分来非常简单地解决，然后考虑边界条件。

$\int {\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial {\hat {z}}^{2}}}\ d{\hat {z}}=0\,$

$\int {\frac {\partial {\hat {u}}}{\partial {\hat {z}}}}\ d{\hat {z}}=C_{1}(s{\hat {x}},s{\hat {y}})\,$

${\hat {u}}(x,y,z)=zC_{1}(s{\hat {x}},s{\hat {y}})+C_{2}(s{\hat {x}},s{\hat {y}})\,$

$C_{1}$ 和 $C_{2}$ 是积分“常数”。 第一个边界条件给出

${\hat {u}}(x,y,0)={\hat {f}}(s{\hat {x}},s{\hat {y}})\,$

$0\cdot C_{1}(s{\hat {x}},s{\hat {y}})+C_{2}(s{\hat {x}},s{\hat {y}})={\hat {f}}(s{\hat {x}},s{\hat {y}})\quad \Rightarrow C_{2}(s{\hat {x}},s{\hat {y}})={\hat {f}}(s{\hat {x}},s{\hat {y}})\,$

第二个是

${\hat {u}}(x,y,1)={\hat {g}}(s{\hat {x}},s{\hat {y}})\,$

$1\cdot C_{1}(s{\hat {x}},s{\hat {y}})+{\hat {f}}(s{\hat {x}},s{\hat {y}})={\hat {g}}(s{\hat {x}},s{\hat {y}})\quad \Rightarrow C_{1}(s{\hat {x}},s{\hat {y}})={\hat {g}}(s{\hat {x}},s{\hat {y}})-{\hat {f}}(s{\hat {x}},s{\hat {y}})\,$

解为

${\hat {u}}(x,y,z)=z\cdot ({\hat {g}}(s{\hat {x}},s{\hat {y}})-{\hat {f}}(s{\hat {x}},s{\hat {y}}))+{\hat {f}}(s{\hat {x}},s{\hat {y}})\,$

这只是说温度从一个壁面到另一个壁面呈线性变化。值得注意的是，在实践中，一旦缩放完成，变量上的“帽子”就会被“去掉”，以保持简洁并防止腕管综合征。

注意事项

一维流动近似的失效。

更适合用“极度谨慎”来形容。

在墙壁热传递问题中，我们对 $x$ 和 $y$ 求偏导数为 $O(1)$，这是由缩放比例证明的：${\hat {x}}$，${\hat {y}}$ 和 ${\hat {u}}$ 为 $O(1)$，所以导数也必须如此，对吗？

不尽然。它们是 $O(1)$ 只是一个线性近似，但是如果函数 $u(x,y,z)$ 对感兴趣的变量具有显著的非线性，那么导数可能不像预期的那样是 $O(1)$。在这个问题中，这种情况发生的一种方式是，如果每个墙壁表面的温度（函数 $f(x,y)$ 和 $g(x,y)$）具有较大且不同的拉普拉斯算子。这将导致三维热传导。

仔细观察右边的图像。假设边长是墙厚的十倍；$f(x,y)$ 和 $g(x,y)$ 在除温度突然变化的圆圈之外的任何地方都具有零拉普拉斯算子。在这些位置，拉普拉斯算子可以很大（如果突然变化是不连续的，则拉普拉斯算子将是无界的）。这表明所讨论的导数不是 O(1)，而是更大，因此即使在这种情况下，这些项也变得重要

${\frac {D}{s}}=0.1\Rightarrow \left({\frac {D}{s}}\right)^{2}=0.01\ll 1\,$

这是由尺度分析所要求的：墙壁显然很薄。但显然，小的薄度比乘以大的导数会导致显著的量。

精确解和通过尺度分析近似得到的解都显示在切割面的位置。精确解显示至少二维热传递，而简化解的解仅显示一维热传递，并且与精确解有很大差异。

即使不知道拉普拉斯算子是什么，也很容易看出为什么一维近似失败：这是一个涉及温度扩散的热传递问题，温度显然需要沿着 $x$ 在墙壁内的突然变化附近扩散（不能对边界条件说同样的话，因为它们是固定的）。

图形的标题以“失败”一词开头。这真的是失败吗？这取决于你在寻找什么，可能是也可能不是。请注意，如果墙壁更薄，突然跳跃不是不连续的，那么精确解和一维解最终可能会再次变得不可区分。