代数/第 2 章/变量

2.1：数学表达式

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在本节中，我们将回顾变量和表达式的定义和应用。如果这不是复习，我们将尝试详细地讲解这些概念，以便本节可以作为第一次介绍。

代数

在本书的剩余部分中，我们将讨论未知值。

数值表达式和代数表达式

一个表达式是你可以输入计算器并得到数字的符号集合。更准确地说，一个表达式是一个良构式公式，但不用担心这些正式细节。表达式是我们可以求解的，我喜欢称之为“穿着漂亮衣服的数字”。

例 2.1：确定以下哪些是表达式。 ${\begin{aligned}{\text{4}}+2\\\end{aligned}}$ 这是一个表达式，因为我们可以简单地将$4+2$加起来得到$6$ . ${\begin{aligned}{\text{(}}4+10)/8\\\end{aligned}}$ 这也是一个表达式，因为它可以求解为$14/8=7/4$. ${\begin{aligned}{\text{(}}*3+2\\\end{aligned}}$ 这不是一个表达式。请注意$3$没有被任何东西乘以，并且没有右括号与左括号匹配。 ${\begin{aligned}{\sqrt {-4}}\end{aligned}}$ 虽然${\sqrt {-4}}$无法求解，但它是一个表达式，因为它遵循运算顺序的规则。

例 2.1 中的所有表达式，以及我们在第 1 章中使用过的表达式，都被称为数值表达式。这些表达式涉及使用加法、减法、乘法和除法将一组数字放在一起。在这些情况下，我们知道要使用的数字值。但是，在处理数学或科学问题时，通常需要讨论你不知道其值的数字。

例如，假设你被问到，一个 9 格乘 10 格的长方形里可以放多少个 1 × 1 的正方形？在这种情况下，我们不知道的数字是“正方形的数量”。有些人会直接回答正确，说“长方形里可以放 90 个正方形”。但他们是怎么找到这个答案的？他们可能会说“长方形中正方形的数量等于其长度的正方形数量乘以其宽度的正方形数量。长方形的长度为 9 格，宽度为 10 格，因此它包含 90 个正方形”。这写了好多字。我们可以用数学表达式来表示自己，写为

${\begin{aligned}{\text{Area}}&={\text{Length}}*{\text{Width}}\\{\text{Length}}&=9{\text{ and }}{\text{Width}}=10\\{\text{Area}}&=9*10\\{\text{Area}}&=90\end{aligned}}$

对于数学家来说，这仍然是很多文字。数学家通常选择用单个字母来命名每个未知数，主要是为了简洁（即简短），因为写一个字母比写一个单词更容易。一个变量是我们用来表示未知数的字母（或符号）。我们可以将上面的计算改写为

${\begin{aligned}{\text{A}}&=L*W\\{\text{L}}&=9{\mbox{ and }}W=10\\{\text{A}}&=9*10\\{\text{A}}&=90\end{aligned}}$

现在您已经熟悉了表达式的形式，让我们考虑一个实际的例子。

示例 2.2：我最喜欢的咖啡馆的一杯咖啡要 2.00 美元。我每天喝 4 杯咖啡。我想计算一下这周我在咖啡上花了多少钱，以及今年到目前为止花了多少钱。 让我们从计算一下我每周在咖啡上花了多少钱开始。 让我们把一周喝的咖啡总杯数称为 *T*。我们可以给花费的金额起一个名字，让我们把它称为 *C*（代表成本）。*C* 是一个表达式，但我们需要一个更实用的包含 *T* 的表达式。每杯咖啡 2.00 美元，所以 0 杯咖啡要 0 美元，因为 0×2 是 0。 1 杯咖啡要 2 美元，因为 1×2 是 2。 2 杯咖啡要 4 美元，因为 2×2 是 4。 *T* 杯咖啡要…2*T* 美元。 所以，2*T* 是一个表示 *T* 杯咖啡成本的表达式。 这是计算我每周在咖啡上花费的第一步。为了更进一步，我们需要知道 T 的值：我每周喝多少杯咖啡。如果我每天喝 4 杯，一周有 7 天，这意味着 *T* = 4 × 7 = 28。 通过用我们计算出的数字替换 T，我们可以看到 *C* 等于 2.00 × 28 = 56.00。 所以我在咖啡上每周要花 56.00 美元！也许我应该减少咖啡的摄入！ 我一年要花多少钱呢？我们用同样的方法计算。让我们先考虑一下一年，如果我们保持相同的名字，我们仍然有 *C* 等于 2.00 × *T*。 但现在一年有 365 天，所以咖啡的总杯数（也就是数字 *T*）发生了变化。我们可以像之前一样计算，每天喝 4 杯，得到 *T* = 365 × 4 = 1,460。 现在我们知道 *T* 的值，我们可以看到 *C* 等于 2.00 × 1,460 = 2,920.00。 现在我可以看到我一年在咖啡上要花 2,920.00 美元。是的，我需要减少咖啡的摄入！

请注意，这两个问题的解决方案基本上是相同的，唯一变化的是 *C* 和 *T* 的值。这就是为什么它们被称为变量，因为确切的数字是变化的。我们在计算中使用的一些数字不会改变。例如，一周的天数总是 7 天。如果我们想，我们仍然可以使用字母来表示一周的天数，但由于这个数字不会改变，我们只需将其保留为 7。表示特定不变数字的字母或符号称为常数。

在实际情况下，您认为什么是常数有时取决于您如何思考问题。一位细心的读者可能会指出，一年并不总是 365 天：闰年有 366 天。因为我正在计算 2010 年我花了多少钱，所以这一年中的天数是常数，等于 365 天。如果我想制作一张我在过去 10 年中在咖啡上花费的表格，那么最好使用一个变量来表示一年中的天数。

另一个例子，您可能从物理学中熟悉，是由于重力引起的落体加速度。对于大多数问题，这种加速度被视为常数 g = 9.8 m/s²。然而，对于涉及不在地球上的物体的问题，这可能是一个糟糕的近似。我们在关于其他行星上物体的方程中使用的 g 值可能不被认为是常数。这里的问题不会要求我们担心何时可以将重力加速度视为常数，因为这更适合物理课程。对我们来说，常数将是在问题中固定的且不会改变的数字，就像上面例子中的咖啡价格，或者在某些情况下可能出现的一些众所周知的固定数字（例如一副牌中的卡数、一周中的天数等）。

变量通常使用字母来表示，例如 *x*、*t* 或 *C*。由于文化原因，*x* 是变量名称的极常用选择。但是，当您自己命名变量或常数时，最好选择与问题相关的名称，例如 *C* 代表成本、*T* 代表总数等。这使您更容易理解最终看到的方程式。常数通常写成数字本身，例如 2、-5 和 0.75，或者在某些情况下可能由字母表示，例如 *g*（来自上面）和 π。

正如您所想，出现的方程式通常比前面示例中的方程式更复杂。我们需要一些词汇来描述我们遇到的方程的不同部分。例如，如果我让 *G* 代表我每天开车去咖啡馆消耗的汽油量，那么我花费的金额 *C* 的表达式可能看起来像

2.00 × *T* + G × D

现在 *C* 是两个称为项的东西的总和。在这种情况下，表达式中有两项，即 2.00 × *T* 和 G × D。一个项就是一个加法运算的组成部分。在表达式 2.00 × *T* + G × D − 7 中有三项。其中两项是 2.00 × *T* 和 G × D。处理 − 7 有两种可能性。第一种可能性是将减法视为加法，并将 7 视为第三项。第二种可能性是我们将减去 7 看作加上 -7。在这种情况下，我们可能会说这些项是 2.00 × *T*、G × D 和 -7。说实话，我们如何看待这些事情并不重要，但我们应该尽量保持一致。由于我们在上面对项的定义中使用了“总和”这个词，因此我们将尝试始终如一地使用第二种可能性来描述减去而不是加上的项。

系数

有很多方法可以表示两个数字应该相乘。您可能最熟悉使用符号 ×，例如在方程式 2 × 2 = 4 中。但由于数学在许多地方发展起来，因此有时会使用其他符号，这在代数中尤其重要。为什么有多种符号？信不信由你，为了方便！由于文化原因，变量最常用的字母是 *x*，但现在当我们尝试写出像 x × 2 这样的表达式时，事情就会变得令人困惑。我们的变量和我们的乘法符号看起来非常相似，这是一个不幸的事实。再加上糟糕的笔迹，您就惹上麻烦了！有两种常见的解决方法。第一种是为乘法引入另一个符号，即在中间写一个点。例如，与其写 2 × 2 = 4，不如写 2 · 2 = 4。另一种更常见的策略是完全不写任何东西！假设我想将 *x* 乘以 2。由于这会导致混淆，所以我不想写 2 × x。我可以使用我们的新点表示法写 2 · x，或者我可以简洁地决定如果您看到 2*x* 您就会知道它的含义。没错，我完全跳过了乘法符号！这被称为隐式乘法，因为我从未真正说过我在乘法，我只是暗示了它。这绝对是代数中最常见的乘法表达式方式。

乍一看，这似乎是一种奇怪的做法，但它特别符合我们对单位的直觉。从小学我们就学到，如果我有 1 个苹果，有人再给我 1 个苹果，那么我总共有 2 个苹果。同样，写出 `1x` + `1x` = 2`x` 也显得非常自然。如果我有一个 `x`，有人再给我一个 `x`，那么我将只有 2 个 `x`。由于变量在像这样的简单例子中与我们的单位有很强的相似性，因此习惯上 **永远** 不将变量放在隐式乘法中数字的前面。虽然在某些技术意义上，写 `x2` 来表示 2 和 `x` 的乘积是正确的，但人们可能 **无法理解** 它的含义。所以 **在使用隐式乘法时，总是将明确的数字放在变量前面**。

隐式乘法也经常用在两个不同的变量之间，甚至用在两个完整的表达式之间（只要你使用括号）。因此我们可能会遇到像 `xy` 表示 `x` 和 `y` 的乘积，或者 `x(a + b)` 表示 `x` 和 `a + b` 的乘积这样的表达式。由于隐式乘法非常常见，它给了我们更多使用单个字母作为变量的理由。虽然使用 `YC` 作为我咖啡的年费变量可能很不错，但如果我不小心解释我的意思，一些读者可能会认为它代表了某个变量 `Y` 乘以另一个变量 `C`。另一方面，在有很多变量的复杂情况下，有时值得冒着混淆的风险来选择有意义的变量名。

最后，你可以在两个数字之间使用隐式乘法。试试看，如果我们想用隐式乘法写出 `2 × 2 = 4`，我们会最终写成 `22 = 4`，但是二十二不等于四！相反，我们将一个或两个常数放在括号中：`2(2) = 4` 或 `(2)(2) = 4`。两种形式都是正确的。如果有疑问，请遵循老师的指示。

计算表达式

我们像对待数字一样对待变量——可能一开始我们不知道的数字，但它们仍然是数字。当我们知道与变量相关的数字时，我们可以计算出之前写下的表达式等于什么。假设我们被要求在 `x = 7` 的情况下求解 `x - 5` 的值。为此，我们用 7 代替 `x`。这意味着我们重写表达式，除了所有写 `x` 的地方我们都写 7。因此我们得到 `7 - 5`，现在我们可以使用简单的算术运算得出该表达式等于 2。如果你回顾分析我咖啡饮用习惯的讨论，你会发现我们已经进行了几次替换。让我们看看更多例子。

例 2.3：在 `x = 2` 且 `y = 3` 的情况下求解 `xy - 9` 的值。 我们将分两步进行。首先，我们将用 2 代替 `x` 得到 2 · `y` - 9. 现在我们将用 3 代替 `y` 得到 2 · 3 - 9 = 6 - 9 = -3。

在最后一行，由于我们已经得到一个算术问题，我们只需使用我们已经熟悉的算术规则。在涉及隐式乘法时，需要注意的一点是。考虑下面的例子。我们需要使用优先级规则以正确的顺序进行简单的算术运算，才能得出表达式等于 2 的结论。

例 2.4：在 `x = 4` 的情况下计算 `2x + 2` 的值。 解：用 4 代替 `x`，我们得到 2 · 4 + 2 = 8 + 2 = 10.

注意当我重写表达式时，有一个非常细微的变化。具体来说，我在隐式乘法的地方插入了一个乘号。想象一下，如果没有这样做：最后一行将从 24 + 2 开始，这不是我们想要的！我们想要将 `x` 乘以 2，因为 `x` = 4，这意味着我们想要将 4 乘以 2。数字 24 不应该出现在我们的计算中。

在计算表达式时，**非常重要** 要遵循正确的 运算顺序（不要忘记 "Please excuse my dear aunt Sally"）。例如

例 2.5：简化表达式 `3x^2(2z + k)`，已知 `x` 为 2，`z` 为 1/2，`k` 为 1。 解：首先用 `x` 代替，我们得到 3 · 2^2 · (2`z` + `k`) 现在用 `z` 代替 3 · 2^2 · (2 · 1/2 + `k`) 最后，我们用 `k` 代替得到 3 · 2^2 · (2 · 1/2 + 1). 首先，我们需要计算括号内的值，即我们需要计算 `2 · 1/2 + 1`。正确的计算顺序是先乘后加。即 `2 · 1/2 + 1 = 1 + 1 = 2`。 现在我们已经计算出括号内的值，问题就变成了计算 3 · 2^2 · (2). 我们先进行幂运算，得到 3 · 4 · (2). 现在我们只需相乘，答案是 24。