代数/第 3 章/解方程

代数

代数/第 3 章
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介绍

我们已经了解到方程就像天平一样。当数学表达式中等于号两边有两个量时，我们是在说该表达式只有在使这两个量相等的情况下才为真。例如，当我们看到表达式 $x+2=3$ 时，我们现在知道我们是在问，我们在方程中可以用什么数来代替 $x$ 使这个表达式为真？你可以通过尝试不同的 $x$ 值直到得到一个有效的解。这被称为猜测-检查法。或者，你可能直觉地知道答案（思考：我需要加什么才能使 2 变成 3？）。

但是，如果你遇到一个更复杂的问题，例如 ${\frac {7x}{2}}+100=170$ ，你可能难以直觉地或通过猜测-检查法解决这个问题。因此，数学家们研究出了一种简单地解决此类问题的方法。这种方法是代数的基础。

由于等于号表示方程两边是相同的（相同的数值，不同的形式），并且如果你以相同的方式操作（使用加法、乘法等）等于号两边的数值，那么它们仍然相等。这也是机械天平的工作原理。只要你对两个秤盘中的任何东西做同样的事情，它们就会保持平衡。如果我们在一个秤盘中有一个值为 3 的东西，另一个秤盘中两个东西分别值为 2 和 1，那么天平就会平衡。如果我们将两边都乘以 5，我们会得到：

$3\times 5=(2+1)\times 5$
$15=(2\times 5)+(1\times 5)$
$15=10+5$
$15=15$

注意，等式仍然成立。

新石器时代代数

新石器时代函数 想象一下你是新石器时代的牧羊人。你可以对你的石头袋进行哪些改变？

可能的答案

加法 - 当你的羊群中增加了新羊时，你会使用加法。例如，在春天，你会使用“小羊出生”函数，在其中向你的袋子里添加一块石头。你可能还会使用“多胞胎出生”函数，其中你对每只出生的小羊都执行一次“小羊出生”函数。

减法 - 当你决定一只羊不再属于你的羊群时，你会使用“移除羊函数”来使你的石头袋与你的羊群保持平衡。你可能会对丢失的羊、你用它交换了你需要的東西的羊或因为它是某天晚上晚餐的羊的石头做不同的事情。你可能会预测使用这些函数来管理你的羊群。如果你知道你在秋天需要从你的袋子里移除五块石头来买柴火，你可能会仔细检查你的袋子，以便知道你可以在夏天使用多少次“羊晚餐”函数。

乘法 - 想象一下你是一个刚起步的牧羊人。如果你的邻居的羊群足够大，他们可能会承诺每个月给你一定数量的羊作为照看他们羊群的报酬。例如，如果他们承诺每月给你两只羊作为照看他们羊群的报酬，那么你就会知道，一个月后你会有两只羊，两个月后你会有四只羊，整整一年后你可能会有足够的羊来开始自己的经营。

除法 - 据说有两种事情是不可避免的：死亡和税收。除法是使不可避免的事情变得公平的操作。当一个牧羊人去世时，他的继承人可以使用除法来公平地分配他的羊群。他们可以使用分配每位继承人一只羊的函数，直到羊群被分配完毕。如果羊群不能被平均分配，那么继承人如何分配多余的羊呢？同样，在征税时，对羊群的一部分征税比征收固定数量的羊更公平。氏族首领最好每年从每个牧羊人那里收取羊群的 1/12。如果氏族首领每年要求特定数量的羊，他们可能会发现，每年在缴税前夕，他们的氏族都会变小，因为新的牧羊人会带着他们的羊加入新的氏族。

思维实验

电子游戏有一个叫做游戏玩法的属性。看看你喜欢的电子游戏，并尝试定义你如何使用加法、减法、乘法和除法与环境互动。

使用变量

在代数中，我们使用变量来表示那些我们无法计数的事物。由于我们无法计算变量所代表的数字，因此该数字被称为“未知数”。最常见的变量用 $x$ 表示。为了使用变量，我们写一个我们知道为真的表达式，该表达式一边是 $x$ ，另一边是数字，中间用等号连接。

有时，一个变量可以代表一组数字。在这种情况下，可以使用集合符号来表示该数字。我们通常使用一个提醒我们变量所代表事物的字母。

以下是一些将等式进行操作以获得 $x$ 本身的示例：

示例 1：我需要多少钱才能去看电影并买爆米花？如果我们让 $x$ 等于我进入影院所需的钱，那么我们可以使用变量集 $A={3,5,7,10}$ 来表示折扣票价、午场票价、普通票价或 IMAX 票价。如果我们假设所有影院的爆米花价格都是 3 美元，那么我们可以写出等式 $x-A=3$ 来表示我们需要的钱。我们可以将等式两边都加上 A，得到等式 $x=3+A$ 。将 A 的值代入该等式，我们发现 $x={6,8,10,13}$ 。

示例 2：在 $2x=4$ 中， $x$ 的值是多少？

解：我们可以像之前一样，将等式两边除以 2（因为 ${\frac {2x}{2}}$ 等于 $x$ （记住 $x$ 与 1 $x$ 相同，因为它的系数是 1），但为了保持等式两边相等，我们需要将另一边也除以 2，得到：

${\frac {2x}{2}}={\frac {4}{2}}$
$x={\frac {4}{2}}$
$x=2$

示例 3：在 $3x+1=4$ 中， $x$ 的值是多少？

解：首先我们需要从等式两边减去 1，

$3x+1-1=4-1$
$3x=3$

然后我们将等式两边都除以 3，得到：

${\frac {3x}{3}}={\frac {3}{3}}$
$x=1$

尽管在本例中，我们选择先进行减法再进行除法，但我们也可以反过来进行，先进行除法，然后进行减法，如下所示：

${\frac {3x}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {4}{3}}$
$x+{\frac {1}{3}}={\frac {4}{3}}$
$x={\frac {4}{3}}-{\frac {1}{3}}$
$x={\frac {3}{3}}$
$x=1$

在解决问题时，通常先进行加减运算，再进行乘除运算，这样可以避免进行分数的加减运算。但是，两种方法都是有效的。

简化方程

有时你会遇到方程两边都有变量的情况，例如 $5x-1=2x+2$ ，其中 x 可以在方程的两边找到。

我们用与之前解决问题相同的方式解决这种类型的方程，但这次你需要首先确保所有变量都在同一侧。最简单的例子是

例 1：如何求解方程 $5x-1=2x+2$ 中 $x$ 的值？

首先，你需要选择你希望变量位于等号的左侧还是右侧，在本例中，我们将选择将 $x$ 放在等号的左侧。

为此，我们首先需要查看 $x$ 在等号右侧的位置；在本例中，它只出现在项 $2x$ 中。由于我们不希望 $x$ 位于等号右侧，我们需要将其移除，我们可以通过从右侧减去 $2x$ 来实现。请记住，为了保持等式的准确性，我们需要对等式两边进行相同的操作。

$5x-1-2x=2x+2-2x$ (从两边减去 2x)
$3x-1=2$ (简化)

现在方程的形式与上一章中的形式相同，因此你应该能够解决这个问题并得到答案 $x=1$ 。

根式的运算

假设我们有一个数字 $x$ 。的平方根是那个数字，它自身相乘等于 $x$ 。由于有两个数字满足这个条件，我们通常指定正值。例如，4 的平方根可以是 2（因为 $2\times 2=4$ ），或者它也可以是 -2（因为 $-2\times -2=4$ ）。我们使用符号 ${\sqrt {x}}$ 表示 $x$ 的正平方根。

的立方根是那个数字，它自身相乘三次等于 $x$ 。我们使用符号 ${\sqrt[{3}]{x}}$ 表示 $x$ 的立方根。

我们使用符号 ${\sqrt[{n}]{x}}$ 表示那个数字，它自身相乘 $n$ 次等于 $x$ 。或者用符号表示：如果 $y={\sqrt[{n}]{x}}$ 那么 $y^{n}=x$ 。

规则

${\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {x}}=({\sqrt {x}})^{2}={x}$
${\sqrt {\frac {x}{y}}}={{\sqrt {x}} \over {\sqrt {y}}}$
$x^{{m} \over {n}}={({\sqrt[{n}]{x}})^{m}}$
${\sqrt {x}}{\sqrt {y}}={{\sqrt {x}}{y}}$
${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{x}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{x}}=x^{1 \over {m\cdot n}}$

求解 (变量)

在解方程式时，通常求解特定变量。为此，您必须将该变量的所有实例都放在等号的一侧，而将其他所有内容放在另一侧。

等式性质

表示等号两侧相等的等号是一个非常奇怪的符号，它具有许多性质。它告诉您等号两侧的各种特征，并且允许您以特定的方式操作等号两侧。以下是该符号的不同性质

性质名称	定义	示例
自反性	a = a	8=8
对称性	如果 a = b，则 b = a	如果 (3)(2) = 6，则 6 = (3)(2)
传递性	如果 a = b 且 b = c，则 a = c	如果 8 = (4)(2) 且 (4)(2) = (2)(4)，则 8 = (2)(4)
替代性	如果 a = b，则可以将 a 替换为 b，反之亦然	如果 a = b 且 1 + a = 3，则 1 + b = 3
加法	您可以在等式两侧加上一个数字。	$x-6=14\,$ $x-6+6=14+6\,$ $x=20\,$
减法	您可以在等式两侧减去一个数字。	$x+6=14\,$ $x+6-6=14-6\,$ $x=8\,$
乘法	您可以在等式两侧乘以一个数字。	${\frac {x}{6}}=18$ $6({\frac {x}{6}})=(18)(6)$ $x=108\,$
除法	您可以在等式两侧除以一个数字。	$6x=18\,$ $6x({\frac {1}{6}})=({\frac {18}{6}})$ $x=3\,$

练习题

确定以下问题是表达式还是方程式。

	表达式
	方程式

	表达式
	方程式

	表达式
	方程式

找出下列问题中使用到的性质。

性质：

代数基本定律

在代数中，我们处理的是实数集。我们在实数部分讨论了实数关于数学运算的性质。如果你不记得交换律、结合律、分配律和单位律，请回到实数部分复习一下。

代数中有一些基本定律。理解这些定律将有助于你操作和解方程，并理解代数关系。

比例或比率

比率或比例可以用分数方程表示

(例如 ${\frac {Q}{R}}={\frac {S}{T}}$ )，

或者可以表示为关系 Q : R = S : T （用文字表示为“‘Q’ 对 ‘R’ 就像 ‘S’ 对 ‘T’”）。

使用“对”这个词可以帮助我们理解这些值之间的物理关系，而分数表示则可以帮助我们处理数学关系。

例如，在美国，我们知道 3 英尺对 1 码就像 6 英尺对 2 码，但用数学方程表示： ${\frac {3}{1}}={\frac {6}{2}}={\frac {2*3}{2*1}}$ 可以帮助我们看到这是真的，因为我们所做的只是将原始比例加倍。

考虑关系 3*4 = 2*6 = 1*12。这是否意味着除了 12=12=12 这个显而易见的事实之外还有什么别的意思？你可以用多少种方式包装 12 个物品？

通常，这些关系可以用类似 $Q\cdot T=S\cdot R$ 的一般方程来描述

将方程两边除以 $T\cdot R$ 得到

${\frac {Q\cdot T}{T\cdot R}}={\frac {S\cdot R}{T\cdot R}}$ ，化简为 ${\frac {Q}{R}}={\frac {S}{T}}$

如果我们改用 $Q\cdot S$ 除以，结果将简化为

${\frac {T}{S}}={\frac {R}{Q}}$

需要注意的是，每个项也与另外两个变量成比例关系。

 In our examples all of the following are also valid
 Q : S = R : T ,“ ‘Q’ is to ‘S’ as ‘R’ is to ‘T’ ”.
 R : Q = T : S ,“ ‘R’ is to ‘Q’ as ‘T’ is to ‘S’ ”..  
 S : Q = T : R ,“ ‘S’ is to ‘Q’ as ‘T’ is to ‘R’ ”.

 Since 2*6=3*4
 2:3 = 4:6, 2 is to 3 as 4 is to 6, and 2/3 = 4/6.
 4:2 = 6:3, 4 is to 2 as 6 is to 3, and 4/2 = 6/3.
 3:2 = 6:4, 3 is to 2 as 6 is to 4, and 3/2 = 6/4.
 2:4 = 3:6, 2 is to 4 as 3 is to 6, and 2/4 = 3/6.

解方程

虽然我们已经解过一些方程，但现在我们将讨论解方程的正式概念。解方程就是找出方程中所有变量的值。为了找到一个变量的值，你必须对方程进行操作，使其达到 ${\text{variable}}={\text{number}}$ 的状态。然后你就知道变量的值了！你将使用等式性质来操纵方程，使其变成你想要的形式。