代数/第4章/区间记法

代数/第4章
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区间记法和数轴

实数可以在数轴上表示，数轴理论上无限延伸到两个相反的方向，如下所示

数轴图两端箭头表示数轴在概念上无限延伸到这些方向，尽管数轴的图形不能在这些方向上无限延伸。请注意，数轴的右侧延伸到正无穷大，左侧延伸到负无穷大。集合中的数字可以显示为数轴上的点（或靠近数轴）。例如，上面从 1 到 8 的自然数集将显示如下

通常，一系列数字会向一个或两个方向无限延伸。例如，自然数集，由自然计数的数字组成，从 1、2、3、4 开始，一直延伸到无穷大。无限集（或类似元素）的无限延续可以用几个点（称为省略号）来表示，这些点出现在列出的一些数字或元素之后，显示初始趋势。因此，自然数集可以表示如下

\lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...\rbrace \,

其中三个点表示无限集元素的延续趋势。整数集可以表示如下

\lbrace ...,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,...\rbrace \,

列出无限集的元素没有特别要求必须在 10 或 8 或任何特定数字处停止，只要给出一个清晰易懂的趋势即可。直观地，当我们在整数中找到数字 1 并看到该集合继续永远向上计数时，我们可以认为自然数集是整数集的子集。到目前为止，我们讨论了离散数字。离散表示由一个或多个孤立的、单独的数字或点组成；或者没有数字或点的连续范围（区间）。

在任意两个整数之间，存在无限多个分数或有理数。此外，在任意两个分数之间，存在无限多个其他分数，依此类推。这种特征有时被称为连续性。这样一组连续的数字在数轴上（或靠近数轴）表示为粗体线段，类似于几何中用线段表示一组连续点的方式。包含两个给定数字之间所有数字的连续数字集通常称为区间。连续数字集所处的两个数字是线段的端点。区间端点的一个、两个或都不包含在区间内的数字集中。如果包含端点处的数字，则该端点为闭端点，用实心点表示。如果不包含端点处的数字，则该端点为开端点，用空心点（一个小空心圆）表示。例如，下面在数轴上显示的是 1 和 8 之间的区间，其中包含 1（在 1 处闭合），但不包含 8（在 8 处开放）

为了节省我们描述这些区间的时间，我们通常用两种类型的括号 [ ] 和 ( ) 来表示它们。方括号 [ ] 表示闭区间 - 即，括号内的数字包含在内，就像数轴区间上的实心点一样。圆括号 ( ) 表示开区间 - 即，括号内的数字被排除在区间之外，就像数轴上的空心点一样。我们还可以使用符号 $\geq$ 表示左侧语句是闭合的，使用符号 $\leq$ 表示右侧语句是闭合的。符号 $>$ 和 $<$ 表示区间是开区间。考虑以下示例，其中我们让 X 代表区间上的任何数字

$[4,9]=4\leq X\leq 9\,$ 或从 4 到 9 的所有数字。

$(4,9)=4<X<9\,$ 或 4 和 9 之间的所有数字。

$[4,9)=4\leq X<9\,$ 或 4 和 9 之间的所有数字，包括 4。

与第三个示例一样，我们可以使用两种类型的括号的组合来显示实数上的任何区间。也可以定义一组连续数字，该数字集从一个数字开始（或结束），并向正方向或负方向无限延伸。在几何上，这样的集合在数轴上表示为射线，其中连续数字集显示为线段的较粗部分。如果端点包含在集合中，则端点为闭合的，用实心点表示。如果端点不包含在集合中，则端点为开放的，用空心点表示。例如，大于或等于 1 的数字集在下面数轴上显示

这相当于区间 $[1,\infty ]$ 。在另一个例子中，一组小于 8 的数字， $[-\infty ,8)$ ，如下面的数轴所示。

包含代数方程所有解的集合称为该方程的解集，即如果将所有数字代入该方程中的“未知”变量，则会使方程成立。公式是一个数学“过程”，它通过使用其他变量和数字来找到不同未知变量的答案。爱因斯坦的公式就是一个公式的例子： $E=Mc^{2}$ ；如果你知道物体的质量M，并将其乘以光速的平方( $c^{2}$ )，你就会得到它的能量E。像这样的公式也可以重新排列以找到不同变量的值。

练习题

概念问题

问题 4.1（解释不等式）

问题 4.2 ()假设两个值 A 和 B 不相等，你能确定下面两个量中哪个更大吗？

推理和应用

挑战问题

测验

	直线
	线段
	射线

	下
	上

	实心
	空心

	直线
	线段
	射线