高中数学扩展/补充/复数

高中数学扩展

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补充章节 — 质数和模运算 — 逻辑

数学证明 — 集合论和无限过程 — 计数和生成函数 — 离散概率

矩阵 — 进一步模运算 — 数学规划 — 马尔可夫链

简介

补充章节
内容
基本计数
多项式除法
部分分式
求和符号
复数
微分
问题和项目
习题集
解答
练习解答
习题集解答

虽然实数在某种程度上可以表示任何自然量，但在另一种意义上它们是不完整的。我们可以用实数系数写出某些类型的方程，我们希望解出这些方程，但它们没有实数解。最简单的例子是方程

${\begin{matrix}x^{2}+1&=&0\\x^{2}&=&-1\\x&=&{\sqrt {-1}}\end{matrix}}$

你的高中数学老师可能告诉过你，上面的方程没有解。他/她可能甚至强调说没有 *实数* 解。但事实上，我们可以扩展我们的数字系统来包含 *复数*，方法是宣布该方程的解存在，并给它一个名字：*虚数单位*，$i$.

让我们在本节中 *想象* $i={\sqrt {-1}}$ 存在。因此 *x* = *i* 是上述问题的解，并且 $i^{2}=-1$.

人们可能会问一个合理的问题：“为什么？” 为什么我们能够用这种看似人工的结构来解这些二次方程很重要？有趣的是，深入研究一下引入虚数的原因——事实证明，数学家意识到这种结构是有用的，并且可以提供更深入的洞察，这是有充分理由的。

答案不在于解二次方程，而在于解三次方程和直线的交点。数学家卡尔达诺想出了一种巧妙的解三次方程的方法——就像二次方程公式一样，也存在一个公式可以给出三次方程的根，尽管它要复杂得多。本质上，我们可以用以下形式表示三次方程 $x^{3}=3px+2q$ 的解

$x={\sqrt[{3}]{q+{\sqrt {q^{2}-p^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{q-{\sqrt {q^{2}-p^{3}}}}}$

确实是一个难看的表达式！

你应该能够说服自己，直线 $y=3px+2q$ 必须始终与三次曲线 $y=x^{3}$ 相交。但是，尝试解决一些 $q^{2}<p^{3}$ 的方程，你就会遇到一个问题——问题是，我们被迫处理负数的平方根。但是，我们知道事实上存在 x 的解；例如，$x^{3}=15x+4$ 的解是 x = 4。

数学家博美利意识到，拼图中缺失了一部分——一些东西解释了为什么这种看似荒谬的负数开平方根运算会以 4 这样简单的答案来简化。这实际上是考虑虚数的动机，它开辟了数学领域的一个迷人领域。

复数 的主题与这个数字 *i* 息息相关。由于这个数字在现实世界中不存在，只存在于我们的想象中，我们称它为 *虚数单位*。（注意，$i$ 通常不会作为变量名，原因就是如此。）

虚数单位

如上所述

${\begin{matrix}i^{2}&=&-1\end{matrix}}$.

让我们计算一下 i 的更多次方。

${\begin{matrix}i^{1}&=&i\\i^{2}&=&-1\\i^{3}&=&-i\\i^{4}&=&1\\i^{5}&=&i\\i^{6}&=&-1\\&{\mbox{...}}&\end{matrix}}$

正如你所见，这里存在一个模式。

练习

1. 计算 $i^{25}$
2. 计算 $i^{100}$
3. 计算 $i^{1000}$

练习解答

复数作为二次方程的解

考虑二次方程

${\begin{matrix}x^{2}-6x+13&=&0\\x&=&{\frac {6\pm {\sqrt {36-4\times 13}}}{2}}\\x&=&{\frac {6\pm {\sqrt {-16}}}{2}}\\x&=&{\frac {6\pm {\sqrt {-1}}{\sqrt {16}}}{2}}\\x&=&{\frac {6\pm 4i}{2}}\\x&=&3+2i\ ,\ 3-2i\\\end{matrix}}$

我们得到的 x 解称为复数。（说起来有点挑剔，这个方程的解集实际上包含两个复数；任何一个都是 x 的有效值）。它由 *两个* 部分组成：一个 *实数* 部分 3 和一个 *虚数* 部分 $\pm 2$。让我们将实数部分称为 *a*，将虚数部分称为 *b*；那么和 $a+bi=3\pm 2i$ 是一个复数。

请注意，仅仅定义负一的平方根，我们就能够为一个更复杂、以前无法求解的二次方程赋值。事实证明，*任何* 度数为 $n$ 的多项式方程，如果我们允许复数，则恰好有 $n$ 个零点；这称为 *代数基本定理*。

我们用 *Re* 表示 *实数* 部分。例如

$\mathrm {Re} (x)=3$

以及用 *Im* 表示 *虚数* 部分。例如

$\mathrm {Im} (x)=\pm 2$

让我们检查一下 $x=3+2i$ 是否确实是该方程的解。

${\begin{matrix}x&=&3+2i&\\x^{2}&=&(3)^{2}+2(3)(2i)+(2i)^{2}\\&=&5+12i\\x^{2}-6x+13&=&5+12i-6(3+2i)+13\\&=&0\\\end{matrix}}$

练习

1. 试着证明x = 3 - 2i也是这个方程的解。
2. 在 XY 平面上绘制点 A(3, 2) 和 B(3, -2)。分别绘制一条连接每个点与原点的直线。
3. 计算 AO（点 A 到原点的距离）和 BO 的长度。分别用 r₁ 和 r₂ 表示它们。你观察到了什么？
4. 计算每条直线与 x 轴之间的角度，并用 $\phi _{1}$ 和 $\phi _{2}$ 表示它们。你观察到了什么？
5. 考虑复数

${\begin{matrix}z&=&r_{1}\cdot (\cos {\phi _{1}}+i\sin {\phi _{1}})\\w&=&r_{2}\cdot (\cos {\phi _{2}}+i\sin {\phi _{2}})\\\end{matrix}}$

使用你在练习 3 和 4 中计算的值，将z 和w 代入上面的二次方程。你观察到了什么？你能从中学到什么结论？

1. 求解方程 $x^{2}-2x+2=0$ 的复数解。执行与上面相同的步骤。你能得出什么结论？

复数的运算

加法和乘法

将两个复数相加和相乘的过程非常简单。让我们通过几个例子来进行说明。令x = 3 - 2i 和y = 7 + 11i，首先进行加法

$x+y\!$	$=\!$	$(3+7)+(-2+11)i\!$
	$=\!$	$10+9i\!$

现在进行乘法

$x\cdot y\!$	$=\!$	$(3-2i)\cdot (7+11i)\!$
	$=\!$	$3\cdot 7+3\cdot 11i-2i\cdot 7-2\cdot 11\cdot i^{2}\!$
	$=\!$	$43+19i\!$

我们来总结一下结果。

• 当添加复数时，我们将实部加到实部，将虚部加到虚部。
• 当将两个复数相乘时，我们使用正常的展开。每当我们看到i²时，我们将其替换为 -1。然后我们收集类似项。

但是我们如何计算

${\frac {3+2i}{7-{\sqrt {5}}i}}$

请注意，平方根只在 5 上方，而不是在i 上方。这有点棘手，我们将在下一节中介绍它。

练习

${\begin{matrix}x&=&3-2i\\y&=&3+2i\end{matrix}}$

计算

1. x + y
2. x - y
3. x²
4. y²
5. xy
6. (x + y)(x - y)

除法

计算的一种方法

${\frac {1}{2{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}$

是对分母进行有理化

${\frac {1}{2{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}={\frac {2{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}{(2{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})(2{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})}}={\frac {2{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}{10}}$

利用类似的想法，要计算

${\frac {3+2i}{7-{\sqrt {5}}i}}$

我们对分母进行实化。

$z\ =\ {\frac {3+2i}{7-{\sqrt {5}}i}}$

$z\ =\ {\frac {3+2i}{7-{\sqrt {5}}i}}\times {\frac {7+{\sqrt {5}}i}{7+{\sqrt {5}}i}}$

分母是两个平方的和。我们得到

$z\ =\ {\frac {(3+2i)\times (7+{\sqrt {5}}i)}{49+5}}$

$z\ =\ {\frac {21-2{\sqrt {5}}}{54}}+{\frac {14+3{\sqrt {5}}}{54}}i$

如果我们总是能找到一个复数，其与分母的乘积是一个实数，那么进行除法就很容易。

如果

$z\ =\ a+ib$

以及

$w\ =\ a-ib$

那么zw 是一个实数。这对于任何“a”和“b”（只要它们是实数）都是正确的。

练习

说服你自己zw 的乘积始终是一个实数。

复共轭

上面的练习引出了复共轭的概念。a + ib 的复共轭是 a - ib。例如，2 + 3i 的共轭是 2 - 3i。一个简单的结论是，复数与其共轭的乘积始终为实数。如果 z 是一个复数，那么它的共轭用 ${\bar {z}}$ 表示。符号表示为：

z = a + ib

那么，

${\bar {z}}=a-ib$

3 - 9i 的共轭是 3 + 9i。

100 的共轭是 100。

9i - 20 的共轭是 -20 - 9i。

共轭法则

以下是一些关于复共轭的简单规则

${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$

以及

${\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}$

上面的法则简单地说，共轭的和等于和的共轭；类似地，乘积的共轭等于共轭的乘积。

考虑以下示例

$(3+2i)+(89-100i)=92-98i$

我们可以看到

${\overline {92-98i}}=92+98i$

等于

${\overline {3+2i}}+{\overline {89-100i}}=3-2i+89+100i=92+98i$

这证实了加法共轭法则。

练习

自行验证乘法法则是否也成立。

复根

现在你已经掌握了复数的基础知识，就可以开始解决更高级的求根问题了。

考虑以下问题

${\begin{matrix}z&=&-3+4i\\w&=&{\sqrt {z}}\end{matrix}}$

将 w 表示成 a + ib 的形式。

这很容易。

${\begin{matrix}w&=&{\sqrt {z}}\\w^{2}&=&z\\w&=&a+ib\\w^{2}&=&a^{2}-b^{2}+2abi\\\\-3&=&a^{2}-b^{2}&{\mbox{(1)}}&\\4&=&2ab&{\mbox{(2)}}&\\\end{matrix}}$

联立求解 (1) 和 (2) 以求出 a 和 b。

观察到，如果在求解出a和b后，我们分别用-a和-b替换它们，那么它们仍然会满足上面的两个联立方程，我们可以看到（正如预期的那样），如果w = a + ib满足方程w² = z，那么w = -(a + ib)也会满足。对于实数，我们总是取非负的答案，并将解称为${\sqrt {x}}$。但是，由于复数没有“大于”或“小于”的概念，因此没有${\sqrt {z}}$这样的选择。事实上，哪个平方根应该作为${\sqrt {z}}$的“值”取决于具体情况，这个选择对于某些计算非常重要。

信息-- 求平方根

求解实数的根是一个非常困难的问题。大多数人如果没有计算器的帮助，是无法找到${\sqrt {2}}$的近似值的。现代的近似根的方法涉及一个容易理解且巧妙的数学技巧，称为泰勒级数展开。这个主题通常在大学一年级数学课程中讲解，因为它需要对一个称为微积分的重要数学分支有基本的理解。

牛顿-拉夫森求根法也广泛用于此目的。

现在考虑以下问题

${\begin{matrix}z&=&-2+2i\\w&=&z^{1/3}\end{matrix}}$

将w表示为“a + ib”的形式。

使用上面介绍的方法，我们进行以下步骤：

${\begin{matrix}w&=&z^{1/3}\\w^{3}&=&z\\\\w&=&(a+ib)\\w^{3}&=&(a^{2}-b^{2}+2abi)\times (a+ib)\\z&=&(a^{3}-3ab^{2})+i(3a^{2}b-b^{3})\\\\-2&=&a^{3}-3ab^{2}\qquad (1)\\2&=&3a^{2}b-b^{3}\qquad (2)\\\end{matrix}}$

事实证明，联立方程 (1) 和 (2) 很难求解。实际上，有一种简单的方法可以计算复数的根，称为棣莫弗定理，它允许我们轻松地计算任何复数的n次根。但是为了建立这种方法，我们需要了解复数的几何意义，并学习一种新的表示复数的方法。

练习

1. 求解 (3 + 3i)^1/2
2. 求解 (1 + 1i)^1/2
3. 求解 i^1/3

复数平面

复数作为有序对

值得注意的是，每个复数a + bi都可以用两个实数来完全确定：实部 a和虚部 b。这对于所有复数都成立；例如，数字 5 的实部为 5，虚部为 0，而数字 7i 的实部为 0，虚部为 7。我们可以利用这一点来采用一种编写复数的替代方案：我们可以将它们写成有序对的形式(a, b)，而不是a+bi。

${\begin{matrix}{\mbox{Instead of}}&{\mbox{We could write}}\\5+4i&(5,4)\\3i&(0,3)\\{\frac {4+5i}{3}}&({\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}})\\42&(42,0)\\{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}i&({\sqrt {2}},{\sqrt {2}})\\\end{matrix}}$

这些看起来应该很熟悉：它们与我们用来表示平面上点的有序对完全一样。事实上，我们可以用这种方式使用它们；由此产生的平面称为复数平面。我们将它的 x 轴称为实轴，将它的 y 轴称为虚轴。

复数平面

从上面我们可以看出，一个复数是复平面上的一个点。我们也可以表示复数的集合；这些集合将在平面上形成区域。例如，集合

$\{a+bi|-1\leq a\leq 1,-1\leq b\leq 1\}$

是一个边长为 2，中心位于原点的正方形（见下图）。

复值函数

就像我们可以创建接受实数值并输出实数值的函数一样，我们也可以创建从复数到实数的函数，或从复数到复数的函数。这些后者的函数通常被称为复值函数，因为它们的值（输出）是复数；隐含的是它们的变量（输入）也是复数。

由于复值函数将复数映射到其他复数，而我们已经知道复数对应于复平面上的点，所以我们可以看到一个复值函数可以将复平面上的区域转换为其他区域。一个简单的例子：函数

$f(z)=z+(0+1i)$

将复平面上的一个点向上移动 1 个单位。如果我们将其应用于构成上述正方形的点集，它将把整个正方形向上移动一个单位，使其“落在”x 轴上。

{为了创建更复杂的例子，我需要先回顾一下复数的极坐标表示。这将带来更多有趣的函数，:-) 您可以使用下面的图表或修改它们来创建新的图表。我将在 Wikibooks:math 中的其他地方添加指向这些图表的链接。第二个图表显示了点，其中 r=4，theta=50 度。这些类型的图表可用于介绍相量，相量是电气工程中使用的复数表示法。}

棣莫弗定理

$(e^{i\theta })^{n}=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta$

例如，假设我们有 $z=1+i$。现在我们可以将其写成极坐标形式：

$z=|z|e^{i\arg z}={\sqrt {2}}e^{{\frac {\pi }{4}}i}={\sqrt {2}}\left(\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\right)$

使用棣莫弗定理，我们可以得出：

$z^{2}=2\left(\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right)=2i$

$z^{3}=2{\sqrt {2}}\left(\cos \left({\frac {3\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {3\pi }{4}}\right)\right)={\sqrt {2}}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}i-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)=2i-2$

$z^{4}=4\cdot -1=-4$

等等。

复数单位根

复数域上的单位根是指方程 $x^{n}=1$ 的所有解。很明显，所有解的模长都为1。这些解在乘法运算下构成一个循环群。对于给定的 $n$，恰好存在 $n$ 个单位根，它们在复平面内构成一个以单位圆为外接圆的正 n 边形。

我们可以利用欧拉公式给出单位根的闭合形式解

$u^{n}=\cos(2\pi \cdot j/n)+i\sin(2\pi \cdot j/n)\quad 0\leq j<n$

所有 $n$ 次单位根的和为0，除非 $n=1$，此时其和为1。

所有 $n$ 次单位根的积在 -1 和 1 之间交替。

习题

化简 $(1-i)^{2i}$