代数/第 3 章/解方程

代数

代数/第 3 章
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简介

我们已经看到，一个方程就像一个天平。当一个数学语句中等号两边有两个量时，我们是在说这个语句只有在使这两个量相等的情况下才是正确的。例如，当我们看到语句 $x+2=3$ 时，我们现在知道我们是在问在方程中，我们可以用什么数字替换 $x$ 使这个语句为真？一种方法是你可以尝试不同的 $x$ 值，直到你得到一个有效的。这被称为猜想-检验。或者你可能直观地知道答案（通过思考：我需要给 2 加上什么才能得到 3？）。

然而，如果你有一个更复杂的问题，比如 ${\frac {7x}{2}}+100=170$ ，你可能难以直观地或通过猜想-检验来解决这个问题。正因为如此，数学家们制定了一种简单地解决此类问题的技巧。这种技巧是代数的基础。

由于等号意味着方程的两边是相同的（相同的值，不同的外观），并且如果你以相同的方式操作（使用加法、乘法等）等号两边的值，那么它们仍然会相等。这也是机械天平的工作原理。只要你对两个盘子里的任何东西做同样的事情，它们就会保持水平。如果我们在一侧有一个值为 3 的值，在另一侧有两个值为 2 和 1 的东西，那么天平就会保持水平。如果我们将两边乘以 5，我们将得到，

$3\times 5=(2+1)\times 5$
$15=(2\times 5)+(1\times 5)$
$15=10+5$
$15=15$

注意等式仍然成立。

新石器时代代数

新石器时代函数想象一下你是新石器时代的牧羊人。你对自己的石头袋可以做哪些改变？

可能的答案

加法 - 当你的羊群中增加了新的羊时，你会使用加法。例如，在春天，你会有一个“小羊出生”的函数，在这个函数中，你会往袋子里加一块石头。你可能还会有一个“多胞胎出生”的函数，在这个函数中，你根据出生的每只小羊调用一次“小羊出生”的函数。

减法 - 当你决定一只羊不再属于你的羊群时，你会使用“移除羊函数”来保持你的石头袋与你的羊群数量一致。你可能对丢失的羊、你用来交换你需要的东西的羊或因为晚上被吃掉的羊使用不同的石头。你可能会提前使用这些函数来管理你的羊群。如果你知道秋天你需要从你的袋子里移除 5 块石头来购买柴火，你可能会仔细检查你的袋子，以了解你整个夏天可以调用多少次“羊晚餐”函数。

乘法 - 想象一下你是一个刚起步的牧羊人。如果你的邻居的羊群足够大，他们可能会承诺每月给你一定数量的羊作为照看他们羊群的报酬。例如，如果他们承诺每月给你两只羊作为照看他们羊群的报酬，那么你就会知道，一个月后你会得到两只羊，两个月后你会得到四只羊，整整一年后，你可能会有足够的羊开始自己的经营。

除法 - 据说有两件事是不可避免的：死亡和税收。除法是我们用来使不可避免的事情变得公平的操作。当一个牧羊人去世时，他的继承人可以使用除法来公平地分配他的羊群。他们可以使用一个函数，该函数分配给每个继承人一只羊，直到羊群被分配完毕。如果羊群不能被平均分配，继承人可以如何分配多余的羊？同样，在收税时，从羊群中拿走一部分比拿走固定数量的羊更公平。族长最好每年从每个牧羊人那里拿走羊群的 1/12。如果族长每年要求特定数量的羊，他们可能会发现，在每年税收到期之前，他们的部落会变小，因为新的牧羊人会带着他们的羊去一个新的部落。

思想实验

电子游戏有一个叫做游戏玩法的属性。看看你喜欢玩的游戏，并尝试用加、减、乘、除定义你如何与游戏环境互动。

使用变量

在代数中，我们使用变量来表示我们无法计数的事物。因为我们无法计算变量所代表的数字，所以这个数字被称为“未知数”。最常见的变量用 $x$ 表示。为了使用变量，我们写一个我们知道是正确的表达式，其中 $x$ 单独出现在等号的一侧，而一个数字出现在等号的另一侧。

有时，一个变量可以代表一组数字。在这种情况下，数字可以用集合符号表示。我们通常使用一个字母来提醒我们变量代表什么。

以下是一些将方程进行操作以使 $x$ 单独出现的示例，

示例 1：看电影和买爆米花需要多少钱？如果我们用 $x$ 表示进影院的钱，那么我们可以使用变量集 $A={3,5,7,10}$ 来表示折扣票、午场票、普通票或IMAX票。如果我们假设所有影院的爆米花都卖3美元，那么我们可以写出方程 $x-A=3$ 来表示我们需要的花费。我们可以等式两边都加上A，得到方程 $x=3+A$ 。将A的值代入这个方程，我们发现 $x={6,8,10,13}$ 。

示例 2： $x$ 在 $2x=4$ 中的值是多少？

解：我们可以在这种情况下做同样的事情，将它除以2（因为 ${\frac {2x}{2}}$ 等于 $x$ （记住 $x$ 与1 $x$ 相同，因为它隐含的系数是1），但为了保持等式两边相等，我们也需要将另一边除以2，得到，

${\frac {2x}{2}}={\frac {4}{2}}$
$x={\frac {4}{2}}$
$x=2$

示例 3： $x$ 在 $3x+1=4$ 中的值是多少？

解：首先我们需要在等式两边都减去 1，

$3x+1-1=4-1$
$3x=3$

然后，我们将等式两边除以 3，得到：

${\frac {3x}{3}}={\frac {3}{3}}$
$x=1$

虽然在本例中我们选择先做减法再做除法，但我们也可以反过来做，先做除法再做减法，如下所示：

${\frac {3x}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {4}{3}}$
$x+{\frac {1}{3}}={\frac {4}{3}}$
$x={\frac {4}{3}}-{\frac {1}{3}}$
$x={\frac {3}{3}}$
$x=1$

在解题时，通常先做加减法再做乘除法会比较方便，这样可以避免加减分数。不过，两种方法都是有效的。

化简方程

有时候你会遇到等式两边都有变量的情况，例如 $5x-1=2x+2$ ，其中 x 可以在等式两边找到。

我们解决这类方程的方法与之前解决问题的办法类似，只不过这次你必须首先确保所有变量都在同一侧。最简单的方法是通过示例来了解如何做。

示例 1：如何在方程 $5x-1=2x+2$ 中找到 $x$ 的值？

首先，你需要选择要将变量放在等号的哪一侧，左侧还是右侧，在本例中，我们将选择将 $x$ 放在左侧。

为此，我们首先需要查看 $x$ 在右侧的哪个位置出现；在本例中，它只出现在 $2x$ 项中。由于我们不想在右侧保留 $x$ ，我们需要将其删除，我们可以通过从右侧减去 $2x$ 来实现。请记住，为了保持等式仍然成立，我们需要在左侧也执行相同的操作。

$5x-1-2x=2x+2-2x$ (在等式两边减去 2x)
$3x-1=2$ (简化)

现在这个方程的形式是你从上一章熟悉的，所以希望你现在能够解出这个问题，并得到答案 $x=1$ .

根式的运算

假设我们有一个数字 $x$ 。 $x$ 的平方根是指那个与自身相乘等于 $x$ 的数字。由于有两个数字满足这个条件，我们通常指定正值。例如，4 的平方根可以是 2（因为 $2\times 2=4$ ）或它可以是 -2（因为 $-2\times -2=4$ ）。我们使用符号 ${\sqrt {x}}$ 来表示 $x$ 的正平方根。

$x$ 的立方根是指那个与自身相乘三次等于 $x$ 的数字。我们使用符号 ${\sqrt[{3}]{x}}$ 来表示 $x$ 的立方根。

我们使用符号 ${\sqrt[{n}]{x}}$ 来表示那个与自身相乘 $n$ 次等于 $x$ 的数字。或者用符号表示：如果 $y={\sqrt[{n}]{x}}$ ，则 $y^{n}=x$ .

规则

${\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {x}}=({\sqrt {x}})^{2}={x}$
${\sqrt {\frac {x}{y}}}={{\sqrt {x}} \over {\sqrt {y}}}$
$x^{{m} \over {n}}={({\sqrt[{n}]{x}})^{m}}$
${\sqrt {x}}{\sqrt {y}}={{\sqrt {x}}{y}}$
${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{x}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{x}}=x^{1 \over {m\cdot n}}$

求解（变量）

在解方程时，通常需要解出特定变量。为此，您需要将该变量的所有实例放到等号的一侧，将所有其他内容放到另一侧。

等式性质

表示等式两侧相等的等号是一个非常奇怪的符号，它具有许多性质。它告诉您每侧的各种特征，并允许您以特定方式操作每侧。以下是该符号的不同性质

性质名称	定义	示例
自反性	a = a	8=8
对称性	如果 a = b，则 b = a	如果 (3)(2) = 6，则 6 = (3)(2)
传递性	如果 a = b 且 b = c，则 a = c	如果 8 = (4)(2) 且 (4)(2) = (2)(4)，则 8 = (2)(4)
替代性	如果 a = b，则可以将 a 替换为 b，反之亦然	如果 a = b 且 1 + a = 3，则 1 + b = 3
加法	您可以将一个数字加到等式两侧。	$x-6=14\,$ $x-6+6=14+6\,$ $x=20\,$
减法	您可以从等式两侧减去一个数字。	$x+6=14\,$ $x+6-6=14-6\,$ $x=8\,$
乘法	您可以将等式两侧乘以一个数字。	${\frac {x}{6}}=18$ $6({\frac {x}{6}})=(18)(6)$ $x=108\,$
除法	你可以用一个数除等式的两边。	$6x=18\,$ $6x({\frac {1}{6}})=({\frac {18}{6}})$ $x=3\,$

练习题

判断以下问题是表达式还是等式。

	表达式
	等式

	表达式
	等式

	表达式
	等式

确定以下问题中使用了哪些性质。

替换性质

代数基本定律

在代数中，我们使用的是实数集。我们在实数部分讨论了实数关于数学运算的性质。如果你不记得交换律、结合律、分配律和恒等律，请返回实数部分复习。

代数中有几个基本定律。理解这些定律将有助于你操作和求解等式，以及理解代数关系。

比例或比率

比率或比例可以用分数的等式表示

(例如 ${\frac {Q}{R}}={\frac {S}{T}}$ ),

或者它们可以表示为关系 Q : R = S : T ，（用文字表达为“‘Q’ 与 ‘R’ 的关系如同 ‘S’ 与 ‘T’ 的关系”）。

使用“与…的关系如同…”这样的词语可以帮助我们理解值之间的物理关系，而分数表示法可以帮助我们处理数学关系。

例如，在美国，我们知道 3 英尺与 1 码的关系如同 6 英尺与 2 码的关系，但如果用数学方程表示： ${\frac {3}{1}}={\frac {6}{2}}={\frac {2*3}{2*1}}$ 可以帮助我们看到这是正确的，因为我们只是将原始比例翻倍。

考虑关系 3*4 = 2*6 = 1*12。这是否意味着除了 12=12=12 这个显而易见的事实之外，还有其他含义？你能用多少种方式包装 12 个物品？

一般来说，这些关系可以用一个像 $Q\cdot T=S\cdot R$ 这样的通用方程来描述。

将方程两边同时除以 $T\cdot R$ ，得到

${\frac {Q\cdot T}{T\cdot R}}={\frac {S\cdot R}{T\cdot R}}$ ，简化为 ${\frac {Q}{R}}={\frac {S}{T}}$

如果我们改而除以 $Q\cdot S$ ，结果将简化为

${\frac {T}{S}}={\frac {R}{Q}}$

需要注意的是，每一项也与另外两个变量成比例关系。

 In our examples all of the following are also valid
 Q : S = R : T ,“ ‘Q’ is to ‘S’ as ‘R’ is to ‘T’ ”.
 R : Q = T : S ,“ ‘R’ is to ‘Q’ as ‘T’ is to ‘S’ ”..  
 S : Q = T : R ,“ ‘S’ is to ‘Q’ as ‘T’ is to ‘R’ ”.

 Since 2*6=3*4
 2:3 = 4:6, 2 is to 3 as 4 is to 6, and 2/3 = 4/6.
 4:2 = 6:3, 4 is to 2 as 6 is to 3, and 4/2 = 6/3.
 3:2 = 6:4, 3 is to 2 as 6 is to 4, and 3/2 = 6/4.
 2:4 = 3:6, 2 is to 4 as 3 is to 6, and 2/4 = 3/6.

解方程

虽然我们已经解过几个方程了，但现在我们将讨论解方程的正式概念。解方程就是找到方程中所有变量的值。要找到变量的值，你必须对方程进行操作，使其达到 ${\text{variable}}={\text{number}}$ 的状态。这样你就知道变量的值了！你将使用等式性质来操作方程，使其达到所需的格式。

练习题

在以下方程中解出 x 的值。

x=

x=

x=

x=

x\in

课文回顾

方程是两个相等的表达式，它们用等号将它们分别放在等号的两边来表示。你可以对方程的两边进行加、减、乘或除运算，同时保持方程的相等性（例如，我们知道 7 = 7，对吧？如果我们在两边都减去 2，结果仍然是一个正确的等式：5 = 5）。还有其他等式性质，例如自反性、对称性、传递性、代入性。你将使用所有这些性质来解（求出）方程中变量的值。

课文测验

	是
	否