算术/指数

指数

指数或“幂”是重复乘法的过程，就像乘法是重复加法的过程一样。

指数通常写成 $a^{b}$的形式，其中$a$是底数，$b$是指数。在不能使用上标的上下文中，例如在许多计算机环境中，$a^{b}$通常写成“a^b”，或者更少见地写成“a**b”。如果你不熟悉代数，你可以想象字母 a 和 b 代表数字。我们读 $a^{b}$为 *a 的 b 次方*，*a 的 b 次方* 或者 *a 指数 b*。

整数指数

当指数是正整数时，它只是将底数本身乘以一定次数。例如，

$3^{4}=3\times 3\times 3\times 3=81\,$

这里，3 是 *底数*，4 是 *指数*（写成上标），81 是 3 *乘以自身* 4 次 *幂*。请注意，底数 3 在重复乘法中出现了 4 次，因为指数是 4。

更多例子

${\begin{matrix}12^{2}=12\times 12=144\\2^{8}=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=256\\1^{5}=1\times 1\times 1\times 1\times 1=1\end{matrix}}$

指数的乘法

如果你有两个或多个具有相同底数的指数，那么将它们相乘的效果与将它们的指数相加相同。

例如，$(a^{b})*(a^{c})\,$与$a^{b+c}\,$相同。例如，

$(3^{4})*(3^{2})=(3*3*3*3)*(3*3)=(3*3*3*3*3*3)=(3^{6})=(3^{4+2})\,$

指数的除法

如果你有两个或多个具有相同底数的指数，那么将它们相除的效果与将它们的指数相减相同。

例如，$(a^{b})/(a^{c})\,$ 与 $a^{b-c}\,$ 相同。例如：

$(3^{6})/(3^{2})=(3*3*3*3*3*3)/(3*3)=(3*3*3*3)=(3^{4})=(3^{6-2})\,$

练习

什么是？

1

$4^{3}=$

2

$3^{4}=$

3

$1^{250}=$

4

${250}^{1}=$

将这些数字写成以 2 为底的幂

5

$128=2^{\wedge }$

6

$8=2^{\wedge }$

7

$1024=2^{\wedge }$

8 什么是？

$(2^{3})*(2^{2})=$

9 什么是？

$(2^{6})/(2^{2})=$

10 更难的：

为什么 $3^{0}=1\,$（提示：想想 ${3^{2}}/{3^{2}}\,$，例如）（在纸上写下答案）

负指数

负指数的工作方式略有不同。假设你想计算 $3^{-2}$。为此，你需要取 $1/3^{2}$ 来得到你的答案。我们首先进行指数运算，参见 运算顺序

$3^{-2}={\frac {1}{3^{2}}}={\frac {1}{9}}$

交换律不适用于指数。自己试试！尝试计算 2³，然后看看它是否与 3² 相同（答案在这里）。分配律和结合律也不适用。

然而，指数也有其自身的一套公理，它们始终遵循。与前面的例子一致，我们可以一般地说明

$(a^{b})\times (a^{c})=a^{b+c}\,\,\,\,$ 和

$(a^{b})/(a^{c})=a^{b-c}\,\,\,\,$

也很容易看出${\begin{matrix}(a^{b})^{c}=a^{b\times c}\end{matrix}}$

分数指数

到目前为止，我们只看到了指数作为整数，但指数也可以是分数。对于分数指数，分子充当正常的整数指数，而分母充当根号。

一般来说，$a^{p/q}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}\,\,\,\,$ 对于任何实数 $q$ ≠ 0。

让我们看看$8^{2/3}$ 作为一个例子。首先，我们将 8 提高到分子的幂，即 2。然后，由于分母是 3，我们取该数字的立方根。表达式读作 *八的平方立方根*，写成

$8^{2/3}={\sqrt[{3}]{8^{2}}}={\sqrt[{3}]{64}}=4$

然后应该很明显，当分数指数的分子为 1 时，表达式是一个简单的根。也就是说，$1/2$ 是一个平方根，$1/3$ 是一个立方根，$1/4$ 是一个四次根，等等。

例如，$9^{1/2}$ 将读作 *九的平方根*，写成

$9^{1/2}={\sqrt[{2}]{9^{1}}}={\sqrt {9}}=3$