基础代数/数字运算/有理数加法

词汇

分子
分母
最简分数

课程

当分母相等时，加分数很容易。例如，加 ${\frac {3}{10}}$ 和 ${\frac {2}{10}}$ 非常简单，只需将分子相加，你就会得到结果分数的分子

${\frac {3}{10}}+{\frac {2}{10}}={\frac {5}{10}}={\frac {1}{2}}$

注意简化：十分之五是部分的一半。不幸的是，情况并不总是这么简单。有时我们需要加不同分母的分数。在我们能够加它们之前，我们必须改变分数，使它们的分母相同。我们可以通过用数字一乘以每个分数来做到这一点，这不会改变分数的值）。然而，数字一的形式本身将表示为一个分数，其分母和分子相等，并且在我们控制之下。例如，所有这些分数都等于一

${\frac {2}{2}}={\frac {3}{3}}={\frac {107}{107}}=1$

了解这一点，我们可以改变分数的分母，使两个分数的分母都相同。例如

${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}={\frac {1\times 2}{3\times 2}}+{\frac {1\times 3}{2\times 3}}={\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}={\frac {5}{6}}$

在这种情况下，我们改变了两个分数，使它们都具有6的分母。

更复杂的分数

在这些情况下，我们可以猜测要进行哪种乘法，但有时，这并不容易。例如，加 ${\frac {123}{456}}$ 和 ${\frac {234}{120}}$ 。

最简单的通用方法是用第二个分数的分母乘以第一个分数的分子和分母，反之亦然。结果分母将是两个原始分母的乘积。在这种情况下

${\frac {123}{456}}+{\frac {234}{120}}={\frac {123\mathbf {\times 120} }{456\mathbf {\times 120} }}+{\frac {234\mathbf {\times 456} }{120\mathbf {\times 456} }}={\frac {14760}{54720}}+{\frac {106704}{54720}}={\frac {14760+106704}{54720}}={\frac {121464}{54720}}$

我们通常得到很大的数字，这不是最优的，因为分数在大多数情况下可以用更小的数字来表示。

第二种方法比较微妙。我们不是用实际的分母相乘，而是为每一项乘以**尽可能小的数**，使得它们得到相同的分母。例如

${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1\times 2}{6\times 2}}+{\frac {1\times 3}{4\times 3}}={\frac {2}{12}}+{\frac {3}{12}}={\frac {5}{12}}$

我们只在第一个分数中乘以了2，在第二个分数中乘以了3。得到的分数， ${\frac {5}{12}}$ 是最简分数，我们称之为**最简形式**。

注意，2是 $4=2\times 2$ 的一半，3是 $6=3\times 2$ 的一半。我们没有乘以给定的分母，而是避免了乘以因子2。让我们以之前的例子为例，找出组成这些数字的因子……

123=\mathbf {3} \times 41

和

456=2\times 228=2\times 2\times 114=2\times 2\times 2\times 57=2\times 2\times 2\times \mathbf {3} \times 19

234=2\times 117=2\times 3\times 39=\mathbf {2\times 3} \times 3\times 13

和

120=2\times 2\times 3\times 10=2\times \mathbf {2\times 3} \times 2\times 5

我们可以看到，我们可以用3约简 ${\frac {123}{456}}$ ，得到 ${\frac {41}{2\times 2\times 2\times 19}}$ ，并用2 × 3约简 ${\frac {234}{120}}$ ，得到 ${\frac {39}{2\times 2\times 5}}$ 。记住，分子和分母乘以相同的数，分数的值不会改变。当除以相同的数时，也是如此。

现在有一个问题：包含因子 $2\times 2\times 2\times 19$ 和因子 $2\times 2\times 5$ 的最小的整数是什么？它是包含所有这些因子且数量正确的数： $2\times 2\times 2\times 5\times 19=760$ 。

为了得到这个数，我们必须在第一个分数中乘以5，在第二个分数中乘以2 × 19。所以，最终我们得到

${\frac {123}{456}}+{\frac {234}{120}}={\frac {41}{2\times 2\times 2\times 19}}+{\frac {39}{2\times 2\times 5}}={\frac {41\mathbf {\times 5} }{760}}+{\frac {39\mathbf {\times 2\times 19} }{760}}={\frac {205}{760}}+{\frac {1482}{760}}={\frac {1687}{760}}$