微积分/代数

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本节的目的是让读者复习重要的代数概念。为了学习微积分，理解代数是必要的。如果你对自己的能力有信心，你可以快速浏览本节。

算术和代数规则

以下定律对所有 $a,b,c$ 在 $\mathbb {R}$ 中成立，无论这些是数字、变量、函数，还是包含数字、变量和/或函数的更复杂表达式。

加法

交换律： $a+b=b+a$ .
结合律： $(a+b)+c=a+(b+c)$ .
加法单位元： $a+0=a$ .
加法逆元： $a+(-a)=0$ .

减法

定义： $a-b=a+(-b)$ .

乘法

交换律： $a\times b=b\times a$ .
结合律： $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$ .
乘法单位元： $a\times 1=a$ .
乘法逆元： $a\times {\frac {1}{a}}=1$ ，只要 $a\neq 0$
分配律： $a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$ .

除法

定义： ${\frac {a}{b}}=r+nb$ ，其中r是a除以b的余数，n是整数。
定义： ${\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}$ ，只要 $b\neq 0$ 。

让我们看一个例子，看看这些规则在实践中是如何使用的。

${\frac {(x+2)(x+3)}{x+3}}$	$=\left[(x+2)\times (x+3)\right]\times \left({\frac {1}{x+3}}\right)$ （来自除法的定义）
	$=(x+2)\times \left[(x+3)\times \left({\frac {1}{x+3}}\right)\right]$ （来自乘法的结合律）
	$=((x+2)\times (1)),\qquad x\neq -3$ （来自乘法逆元）
	$=x+2,\qquad x\neq -3$ （来自乘法单位元）

当然，上面的步骤比直接在分子和分母中消去 $x+3$ 要长得多。但是，了解这些规则很重要，这样才能知道什么时候可以消去。例如，有些人会做以下事情，这是**错误的**

{\frac {2\times (x+2)}{2}}={\frac {2}{2}}\times {\frac {x+2}{2}}=1\times {\frac {x+2}{2}}={\frac {x+2}{2}}

.

正确的化简是

{\frac {2\times (x+2)}{2}}=\left(2\times {\frac {1}{2}}\right)\times (x+2)=1\times (x+2)=x+2

,

其中，数字 $2$ 在分子和分母中都被消掉了。

区间表示法

可以用几种不同的方法用符号表示特定的区间（两个数字之间的所有数字）。其中一种方法是用不等式。如果我们要表示所有介于，比如，2 和 4 之间的数字，我们可以写成“所有满足 $2<x<4$ 的 $x$ ”。这排除了端点 2 和 4，因为我们使用的是 $<$ 而不是 $\leq$ 。如果我们要包括端点，我们将写成“所有满足 $2\leq x\leq 4$ 的 $x$ ”。

另一种写这些区间的符号是用区间表示法。如果我们想表达“所有满足 $2<x<4$ 的 $x$ ”，我们将写成 $(2,4)$ 。这 *不* 包括端点 2 和 4。如果我们要包括端点，我们将写成 $[2,4]$ 。如果我们要包括 2 而不包括 4，我们将写成 $[2,4)$ ；如果我们要排除 2 并包括 4，我们将写成 $(2,4]$ 。

因此，我们有以下表格

端点条件	不等式表示法	区间表示法
包括 2 和 4	所有满足 $2\leq x\leq 4$ 的 $x$	$[2,4]$
不包括 2 和 4	所有满足 $2<x<4$ 的 $x$	$(2,4)$
包括 2 不包括 4	所有满足 $2\leq x<4$ 的 $x$	$[2,4)$
包括 4，不包括 2	所有满足 $2<x\leq 4$ 的 $x$	$(2,4]$

一般而言，我们有以下表格，其中 $a,b\in \mathbb {R}$ 。

含义	区间表示法	集合表示法
所有大于或等于 $a$ 且小于或等于 $b$ 的所有值	$[a,b]$	$\{x:a\leq x\leq b\}$
所有大于 $a$ 且小于 $b$ 的所有值	$(a,b)$	$\{x:a<x<b\}$
所有大于或等于 $a$ 且小于 $b$ 的所有值	$[a,b)$	$\{x:a\leq x<b\}$
所有大于 $a$ 且小于或等于 $b$ 的值	$(a,b]$	$\{x:a<x\leq b\}$
所有大于或等于 $a$ 的值	$[a,\infty )$	$\{x:x\geq a\}$
所有大于 $a$ 的值	$(a,\infty )$	$\{x:x>a\}$
所有小于或等于 $a$ 的值	$(-\infty ,a]$	$\{x:x\leq a\}$
所有小于 $a$ 的值	$(-\infty ,a)$	$\{x:x<a\}$
所有值	$(-\infty ,\infty )$	$\{x:x\in \mathbb {R} \}$

请注意， $\infty$ 和 $-\infty$ 必须始终使用开括号，而不是闭括号。这是因为 $\infty$ 不是一个数字，因此不能包含在我们的集合中。 $\infty$ 实际上只是一个符号，使得书写更容易，就像上面的区间一样。

区间 $(a,b)$ 称为 **开区间**，区间 $[a,b]$ 称为 **闭区间**。

区间是集合，我们可以使用集合符号来表示值和区间之间的关系。如果我们想说某个值包含在一个区间中，我们可以使用符号 $\in$ 来表示。例如， $2\in [1,3]$ 。同样，符号 $\notin$ 表示某个元素不在一个区间中。例如 $0\notin (0,1)$ 。

指数和根式

指数和根式涉及一些规则和性质。根据定义，如果 $n$ 是一个正整数，那么 $a^{n}$ 表示 $n$ 个 $a$ 相乘。也就是说，

a^{n}=a\cdot a\cdot a\cdots a\qquad (n~{\mbox{times}})

如果 $a\neq 0$ ，那么我们说 $a^{0}=1$ 。

如果 $n$ 是一个负整数，那么我们说 $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$ 。

如果指数是分数，那么我们说 $a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}$ 。在表达式 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 中， $n$ 被称为根式的指数，符号 ${\sqrt {\;\;}}$ 被称为根号， $a$ 被称为被开方数。

除了前面的定义，以下规则适用

规则	示例
$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$	$3^{6}\cdot 3^{9}=3^{15}$
$(a^{n})^{m}=a^{n\cdot m}$	$(x^{4})^{5}=x^{20}$
$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$	$(3x)^{5}=3^{5}x^{5}$

化简包含根式的表达式

我们将使用以下约定来化简包含根式的表达式

给定表达式 $a^{\frac {b}{c}}$ ，将其写成 ${\sqrt[{c}]{a^{b}}}$
根号下没有分数
分母中没有根式
被开方数没有指数大于或等于根式指数的幂因子

示例：化简表达式

\left({\frac {1}{8}}\right)^{\frac {1}{2}}

使用约定 1，我们将给定表达式改写为

(1) $\left({\frac {1}{8}}\right)^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{\left({\frac {1}{8}}\right)^{1}}}={\sqrt {\frac {1}{8}}}$

表达式现在违反了约定 2。为了消除根号中的分数，应用规则 $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$ 并简化结果。

(2) ${\sqrt {\frac {1}{8}}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {8}}}={\frac {1}{\sqrt {8}}}$

所得表达式违反了约定 3。为了消除分母中的根号，乘以 ${\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {8}}}$

(3) ${\frac {1}{\sqrt {8}}}={\frac {1}{\sqrt {8}}}\cdot {\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {8}}}={\frac {\sqrt {8}}{8}}$

注意 $8=2^{3}$ 。由于根号的指数为 2，因此我们的表达式违反了约定 4。我们可以按如下方式减少根号下表达式的指数。

(4) ${\frac {\sqrt {8}}{8}}={\frac {\sqrt {2^{3}}}{8}}={\frac {\sqrt {2^{2}\cdot 2}}{8}}={\frac {2\cdot {\sqrt {2}}}{8}}={\frac {\sqrt {2}}{4}}$

练习

对数

考虑方程

(5) $y=b^{x}$

$b$ 称为底数， $x$ 称为指数。假设我们要解出 $x$ 。我们需要对等式的两边应用一个运算，以消除等式右侧的底数。我们想要的运算称为对数，简称log，它的定义如下

定义：（对数的形式定义）

\log _{b}y=x

当且仅当

y=b^{x}

且

x>0

，

b>0

且

b\neq 1

.

对数是对某个底数取的。这个等式表示的是，当 $x$ 是 $b$ 的指数时，结果将是 $y$ .

示例

例如：计算

\log _{10}100000

$\log _{10}100000$ 是使 $10^{x}=100000$ 的数字 $x$ 。因为 $10^{5}=100000$ ，所以 $\log _{10}100000=5$

对数的常见底数

当底数未指定时， $\log$ 指的是以 10 为底的对数。在我们学习微积分的过程中，我们将经常使用以 $e\approx 2.718282$ 为底的对数。实际上，以 $e$ 为底的对数出现频率很高，因此它有自己的名称和符号。它被称为 *自然对数*，其符号是 $\ln$ 。在计算机科学中，以 2 为底的对数经常出现。

对数的性质

对数加减法

对数具有以下性质： $\log _{b}x+\log _{b}y=\log _{b}(x\cdot y)$ 。要了解为什么这是真的，假设

$\log _{b}x=r$ 和 $\log _{b}y=s$

这些假设意味着

$x=b^{r}$ 和 $y=b^{s}$

然后根据指数的性质

$x\cdot y=b^{r}\cdot b^{s}=b^{r+s}$

根据对数的定义

$\log _{b}(x\cdot y)=r+s=\log _{b}x+\log _{b}y$

类似地， $\log _{b}x-\log _{b}y=\log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)$ 同样可以使用相同的方法证明。

历史上，对数的发展是受这一事实的启发，即它可以将繁琐的乘法运算简化为用查表和加法代替，从而简化手工计算。

对数幂和根

对数的另一个有用性质是 $\log _{b}a^{c}=c\cdot \log _{b}a$ 。要了解为什么，请考虑表达式 $\log _{b}a^{c}$ 。假设

$\log _{b}a^{c}=x$

根据对数的定义

$a^{c}=b^{x}$

现在将等式两边都乘以 ${\frac {1}{c}}$ 并化简，得到

$a=b^{\frac {x}{c}}$

现在如果你对等式两边取底数为 $b$ 的对数，你将得到

$\log _{b}a={\frac {x}{c}}$

解方程求 $x$ 可得

$x=c\cdot \log _{b}a$

类似地，表达式 $\log _{b}{\sqrt[{c}]{a}}={\frac {\log _{b}a}{c}}$ 使用相同的方法也是成立的。

底数之间的转换

大多数科学计算器都内置了 $\log$ 和 $\ln$ 函数，它们不包括其他底数的对数。考虑如何计算 $\log _{b}a$ ，其中 $b$ 和 $a$ 是给定的已知数，而我们只能计算某个底数 $\beta$ 的对数。首先，假设

$\log _{b}a=x$

那么对数的定义意味着

$a=b^{x}$

如果我们取两边以 $\beta$ 为底的对数，我们得到

$\log _{\beta }a=\log _{\beta }b^{x}=x\cdot \log _{\beta }b$

解方程求 $x$ ，我们发现

$x={\frac {\log _{\beta }a}{\log _{\beta }b}}$

例如，如果我们只使用以 10 为底计算 $\log _{2}45$ ，我们得到 $\log _{2}45={\frac {\log 45}{\log 2}}\approx {\frac {1.653212514}{0.301029996}}\approx 5.491853096$ 。

对数恒等式总结

下表是对数恒等式的总结。

	公式	示例
积	$\log _{b}(x\cdot y)=\log _{b}x+\log _{b}y$	$\log _{2}32=\log _{2}(4\cdot 8)=\log _{2}4+\log _{2}8=2+3=5$
商	$\log _{b}\!{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y$	$\log _{2}16=\log _{2}\!{\frac {64}{4}}=\log _{2}64-\log _{2}4=6-2=4$
幂	$\log _{b}\left(a^{c}\right)=c\log _{b}a$	$\log _{2}64=\log _{2}\left(2^{6}\right)=6\log _{2}2=6$
根	$\log _{b}{\sqrt[{c}]{a}}={\frac {\log _{b}a}{c}}$	$\log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5$
换底	$\log _{b}a={\frac {\log _{\beta }a}{\log _{\beta }b}}$	$\log _{9}243={\frac {\log _{3}243}{\log _{3}9}}={\frac {5}{2}}=2.5$

因式分解和根

给定表达式 $x^{2}+3x+2$ ，人们可能会问“什么值 $x$ 使这个表达式为 0？” 如果我们进行因式分解，我们会得到

x^{2}+3x+2=(x+2)(x+1)

.

如果 $x=-1,-2$ ，那么右边的因式之一将变为零。因此，整个表达式必须为零。因此，通过因式分解，我们发现了 $x$ 的值，使表达式为零。这些值被称为“根”。一般而言，给定一个二次多项式 $px^{2}+qx+r$ ，其可以分解为

px^{2}+qx+r=(ax+c)(bx+d)

那么我们有 $x=-{\frac {c}{a}}$ 和 $x=-{\frac {d}{b}}$ 是原始多项式的根。

需要注意的一个特殊情况是平方差， $a^{2}-b^{2}$ 。在这种情况下，我们总是可以将其分解为

a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)

例如，考虑 $4x^{2}-9$ 。初步观察我们会发现 $4x^{2}$ 和 $9$ 分别是 $2x$ 和 $3$ 的平方。应用之前的规则，我们有

4x^{2}-9=(2x+3)(2x-3)

AC 方法

有一种使用 AC 方法简化因式分解过程的方法。假设一个二次多项式的公式为

x^{2}+qx+r

如果存在满足以下两个条件的数字 $a$ 和 $b$

a\cdot b=r

并且

a+b=q

那么，因式分解的结果将是

x^{2}+qx+r=(x+a)(x+b)

一元二次方程求根公式

一元二次方程求根公式
给定任何一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0\ ,\ a\neq 0$ ，该方程的所有解都可以用一元二次方程求根公式给出

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

注意， $b^{2}-4ac$ 的值会影响该方程的 _实数_ 解的数量。

如果	那么
$b^{2}-4ac>0$	该方程有两个实数解
$b^{2}-4ac=0$	该方程只有一个实数解
$b^{2}-4ac<0$	该方程没有实数解

例如：求

4x^{2}+7x-2

的所有根

求根等价于求解方程 $4x^{2}+7x-2=0$ 。将 $a=4\ ,\ b=7\ ,\ c=-2$ 代入一元二次方程求根公式，我们有
$x={\frac {-7\pm {\sqrt {7^{2}-4(4)(-2)}}}{2(4)}}$

$x={\frac {-7\pm {\sqrt {49+32}}}{8}}$

$x={\frac {-7\pm {\sqrt {81}}}{8}}$

$x={\frac {-7\pm 9}{8}}$

$x={\frac {2}{8}}\ ,\ x={\frac {-16}{8}}$

$x={\frac {1}{4}}\ ,\ x=-2$

二次方程式也能帮助因式分解，接下来的例子将展示这一点。

例子：对多项式

4x^{2}+7x-2

我们已经从前面的例子知道这个多项式有根 $x={\frac {1}{4}}$ 和 $x=-2$ 。我们的因式分解将采用以下形式
$C(x+2)\left(x-{\tfrac {1}{4}}\right)$
我们只需要将这个表达式等于我们的多项式，然后求解未知常数C
$C(x+2)\left(x-{\tfrac {1}{4}}\right)=4x^{2}+7x-2$

$C\left(x^{2}+\left(-{\tfrac {1}{4}}+2\right)x-{\tfrac {2}{4}}\right)=4x^{2}+7x-2$

$C\left(x^{2}+{\tfrac {7}{4}}x-{\tfrac {1}{2}}\right)=4x^{2}+7x-2$

你可以看到 $C=4$ 解决了这个方程。所以因式分解是
$4x^{2}+7x-2=4(x+2)\left(x-{\tfrac {1}{4}}\right)=(x+2)(4x-1)$

韦达定理

韦达定理将多项式的系数与根的和与积联系起来。它非常方便，因为在某些情况下，当给出二次方程根的和与积时，就不需要求解整个二次多项式。

韦达定理 在二次多项式中
对于任何二次方程 $ax^{2}+bx+c=0\ ,\ a\neq 0$ , 二次多项式的根 $x_{1},x_{2}$ 满足

x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.

简化有理表达式

考虑两个多项式

p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}

和

q(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}

当我们取这两个多项式的商时，我们得到

{\frac {p(x)}{q(x)}}={\frac {a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}

两个多项式的比率称为有理表达式。很多时候我们希望简化这种东西。例如，假设我们得到了 ${\frac {x^{2}-1}{x+1}}$ 。我们可以用以下方式简化它

{\frac {x^{2}-1}{x+1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x+1}}=x-1,\qquad x\neq -1

这很好，因为我们从我们不理解的东西中获得了我们非常理解的东西， $x-1$ 。

多项式乘法的公式

以下是一些对于解决多项式问题非常有用的公式

(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}

(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}

(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}

a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})

多项式长除法

假设我们想用一个多项式除以另一个多项式。这个过程类似于数字的长除法，并在以下示例中说明。

示例

用

x+3

（除数或分母）除以

x^{2}-2x-15

（被除数或分子）。

类似于数字的长除法，我们将问题设置如下。

{\begin{array}{rl}\\x+3\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}-2x-15\end{array}}\end{array}}

首先，我们必须回答这个问题： $x+3$ 可以进入 $x^{2}$ 多少次？要找到答案，请将被除数的领先项除以除数的领先项。所以它进入 $x$ 次。我们将它记录在被除数的领先项之上。

{\begin{array}{rl}&~~\,x\\x+3\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}-2x-15\end{array}}\\\end{array}}

然后，我们将 $x+3$ 乘以 $x$ ，并将结果写在被除数下面，如下所示。

{\begin{array}{rl}&~~\,x\\x+3\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}-2x-15\end{array}}\\&\!\!\!\!-{\underline {(x^{2}+3x)~~~}}\\\end{array}}

现在我们执行减法，并将被除数中未与减数匹配的任何项带下来。

{\begin{array}{rl}&~~\,x\\x+3\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}-2x-15\end{array}}\\&\!\!\!\!-{\underline {(x^{2}+3x)~~~}}\\&\!\!\!\!~~~~~~-5x-15~~~\\\end{array}}

现在我们重复操作，将底行视为新的被除数。

{\begin{array}{rl}&~~\,x-5\\x+3\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}-2x-15\end{array}}\\&\!\!\!\!-{\underline {(x^{2}+3x)~~~}}\\&\!\!\!\!~~~~~~-5x-15~~~\\&\!\!\!\!~~~-{\underline {(-5x-15)~~~}}\\&\!\!\!\!~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0~~~\\\end{array}}

在这种情况下，我们没有余数。

应用：多项式因式分解

如果我们事先知道多项式的其中一个因式，就可以使用多项式长除法来分解多项式。例如，假设我们有一个多项式 $P(x)$ ，并且我们知道 $r$ 是 $P$ 的根。如果我们使用P(x)作为被除数， $(x-r)$ 作为除数进行多项式长除法，我们将得到一个多项式 $Q(x)$ ，使得 $P(x)=(x-r)Q(x)$ ，其中 $Q$ 的次数比 $P$ 的次数少一。

练习

使用 ^ 来表示指数

应用：分解有理函数

类似于将假分数转换为整数加真分数的方式，可以将一个有理函数 $P(x)$ ，其分子 $N(x)$ 的次数为 $n$ ，分母 $D(x)$ 的次数为 $d$ ，且 $n\geq d$ ，转换为一个多项式加上一个新的有理函数，新有理函数的分子次数为 $\nu$ ，分母次数为 $\delta$ ，且 $\nu <\delta$ 。