微积分/三角学

三角函数在微积分中起着重要的作用。在许多方面，这里的三角学内容将是理解微积分中的某些运算和证明的基础。以下信息是回顾，而非旨在教授课程。有关三角学的更多信息，请阅读三角学第一册。

测量角度

半径为 R 的圆有一个中心角 $\theta$，其中弧 S 由中心角所截取。当 R 以弧度为单位时，$m{\overset {\frown }{S}}=R\cdot \theta$ 为真。

在日常生活中，人们通常用度数来测量角度，其中一个圆有 360 度。在数学中，使用另一种角度测量方法，即弧度，往往更方便。一个圆有 $2\pi$ 弧度。为什么在数学中使用弧度？事实证明，弧度是圆的自然测量单位。考虑右侧图形中的圆。 $R$ 是半径，$\theta$ 是顶点在圆心的角，$S$ 是圆上由角所截取的弧。通过使用弧度作为 $\theta$ 的度量，公式 $S=R\cdot \theta$ 成立。我们在微积分中将要学习的某些运算通过使用弧度作为角度的度量而得到了简化。

1 弧度的定义

1 弧度是在圆的中心处截取的，其弧长等于圆的半径的角。

$rad$ 是弧度的单位。然而，在很多情况下可以忽略它。

假设您想在弧度和度数之间进行转换。半圆有 180 度和 $\pi$ 弧度。在半圆中使用度数与弧度的比率或弧度与度数的比率，可以得出将弧度转换为度数或度数转换为弧度的比例因子。

以下是一个计算示例，用来求解 ${\frac {3}{2}}\pi$ 的度量。注意，当两个维度相乘时，$\pi$ 被消去了。

${\frac {180^{\circ }}{\pi }}\cdot {\frac {3}{2}}\pi ={\frac {180^{\circ }\cdot 3}{2}}=90^{\circ }\cdot 3=270^{\circ }$

一个计算示例用来求解 $270^{\circ }$ 的度量。注意，$\circ =degrees$ 在两个维度相乘时被消去了。

${\frac {\pi }{180^{\circ }}}\cdot 270^{\circ }={\frac {270\pi }{180}}={\frac {3}{2}}\pi$

下面显示了在弧度和度数之间转换的一般公式。

$\theta rad={\frac {\pi rad}{180^{\circ }}}\cdot \theta ^{\circ }$

在这本书中，弧度将比度数使用得更多，因此熟悉转换很重要。

基本三角函数

函数

基本三角函数是正弦、余弦和正切函数。在数学表达式中，它们分别表示为 $\sin$、$\cos$ 和 $\tan$。这些函数将直角三角形中的角度与三角形各边长度的各种比率相关联。你可能还记得助记符 SOH-CAH-TOA，它可以帮助学生记住这些关系。 $\theta$ 是感兴趣的角度，$a$ 是三角形对角边的长度，$b$ 是三角形与角相邻边的长度，$c$ 是斜边的长度。助记符告诉我们

三角函数: 正弦、余弦、正切、余割（点线）、正割（点线）、余切（点线）

$\sin \theta ={\frac {a}{c}}$, $\cos \theta ={\frac {b}{c}}$, 以及 $\tan \theta ={\frac {a}{b}}$

另外三个基本函数是 *余割*、*正割* 和 *余切* 函数，它们分别是 *正弦*、*余弦* 和 *正切* 函数的倒数。这些函数的图像在右侧。

$\csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}={\frac {c}{a}}$, $\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {c}{b}}$, 以及 $\cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {b}{a}}$

然而，这种定义限制了函数的定义域。因为直角三角形的角度最大只能是 ${\frac {\pi }{2}}$，大于此角度的角无法定义。因此，为了解决这个问题，单位圆有助于将函数的输入值从 $[0,{\frac {\pi }{2}}]$ 扩展到所有实数。（单位圆将在本节下面进行解释）

下面总结了这些函数的性质。

三角函数的性质

函数	定义域	值域	奇偶性
正弦 (sin)	$\mathbb {R}$	$[-1,1]$	奇函数
余弦 (cos)	$\mathbb {R}$	$[-1,1]$	偶函数
正切 (tan)	$x\in \{n\mid n\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi {\text{, }}k\in \mathbb {Z} \}$	$\mathbb {R}$	奇函数
余割 (csc)	$x\in \{n\mid n\neq k\pi {\text{, }}k\in \mathbb {Z} \}$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$	奇函数
正割 (sec)	$x\in \{n\mid n\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi {\text{, }}k\in \mathbb {Z} \}$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$	偶函数
余切 (cot)	$x\in \{n\mid n\neq k\pi {\text{, }}k\in \mathbb {Z} \}$	$\mathbb {R}$	奇函数

基本值

在三角函数中，有一些重要的值需要记忆，因为这些值是扩展到更多值的起点。下表总结了三角函数的基本值。

${\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline {\begin{matrix}{\text{Radian}}\\\end{matrix}}&{\begin{matrix}0\\\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{6}}+2k\pi \\\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{4}}+2k\pi \\\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{3}}+2k\pi \\\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}+2k\pi \\\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {2\pi }{3}}+2k\pi \\\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {3\pi }{4}}+2k\pi \\\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {5\pi }{6}}+2k\pi \\\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\pi }+2k\pi \\\end{matrix}}\\\hline \sin &0&{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {1}{2}}&0\\\cos &1&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {1}{2}}&0&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-1\\\tan &0&{\frac {\sqrt {3}}{3}}&1&{\sqrt {3}}&{\text{/}}&-{\sqrt {3}}&-1&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}&0\\\csc &{\text{/}}&2&{\sqrt {2}}&{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}&1&{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}&{\sqrt {2}}&2&{\text{/}}\\\sec &1&{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}&{\sqrt {2}}&2&{\text{/}}&-2&-{\sqrt {2}}&-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}&-1\\\cot &{\text{/}}&{\sqrt {3}}&1&{\frac {\sqrt {3}}{3}}&0&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}&-1&-{\sqrt {3}}&{\text{/}}\\\hline \end{array}}$

其他这些函数的值可以通过三角恒等式（见下文）和泰勒级数（见6.11）计算。

单位圆

单位圆的圆心是原点 $O$，点 $A=(x_{A},y_{A})$。从点 $A$ 到 $x$ 轴上的 $x$ 创建两条线段。从这里我们知道，就 $\theta$ 而言，点 $A=(\cos \theta ,\sin \theta )$ 以及其他属性。

方程为 $x^{2}+y^{2}=1$ 的圆被称为单位圆。想象一个圆，其圆心位于 笛卡尔坐标系 的原点。

将一条射线从x轴正半轴方向旋转角度$\theta$（当$\theta >0,$时为逆时针方向，当$\theta <0$时为顺时针方向），会得到这条射线与单位圆的交点：圆上的点：$\mathrm {A} =(x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} })$, 并且，如果需要，将射线延长成直线，会得到与直线 ${\text{“}}x=1{\text{”}}:\;\mathrm {B} =(x_{\mathrm {B} },y_{\mathrm {B} }),$ 和与直线 ${\text{“}}y=1{\text{”}}:\;\mathrm {C} =(x_{\mathrm {C} },y_{\mathrm {C} }).$。经过点A 的单位圆的切线与该射线垂直，它与y轴和x轴相交于点$\mathrm {D} =(0,y_{\mathrm {D} })$ 和 $\mathrm {E} =(x_{\mathrm {E} },0)$。这些点的坐标值以如下方式给出任意实数值$\theta$的所有三角函数值：

三角函数和单位圆

函数	直角三角形定义	单位圆定义
$\sin \theta$	对边/斜边	$y_{A}$
$\cos \theta$	邻边/斜边	$x_{A}$
$\tan \theta$	对边/邻边	$y_{B}={\frac {y_{A}}{x_{A}}}$
$\csc \theta$	斜边/对边	$y_{D}={\frac {1}{y_{A}}}$
$\sec \theta$	斜边/邻边	$x_{E}={\frac {1}{x_{A}}}$
$\cot \theta$	邻边/对边	$x_{C}={\frac {x_{A}}{y_{A}}}$

单位圆的重要性在于它扩展了三角函数的定义。之前，这些值的范围限制在直角三角形内。现在，这些函数可以用于任何弧度作为其输入。

三角恒等式

这里列出的恒等式被认为是微积分的基础，强烈建议读者识别和记忆这些恒等式。有关更高级的恒等式，请访问 三角恒等式列表。

毕达哥拉斯恒等式

三角学中的毕达哥拉斯恒等式

如果存在一个可以绘制在实数轴上的角度 $\theta$，则以下等式可以通过单位圆推导出。

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1{\text{, }}1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta {\text{, and }}1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta$

直角三角形定义推导

从 $\sin \theta$、$\cos \theta$ 和 $\tan \theta$ 的定义可以看出

${\textstyle {\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=\tan \theta }$

同样地，

${\textstyle {\frac {\csc \theta }{\sec \theta }}=\cot \theta }$

我们可以使用三角函数的定义和勾股定理推导出一些有用的恒等式。回想一下，给定一个直角三角形，其边长分别为$a$和$b$，斜边长为$c$，则$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。假设与边长$a$和邻边长$b$相对的角是$\theta$。通过一些操作，我们可以推导出三角函数的勾股恒等式。

$\sin \theta ={\frac {a}{c}}{\text{, }}\cos \theta ={\frac {b}{c}}$

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta ={\frac {a^{2}}{c^{2}}}+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}={\frac {c^{2}}{c^{2}}}=1$

因此，

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$

勾股恒等式有一些变换形式。其中一种变换方法是将上述方程除以$\sin ^{2}\theta$

${\frac {\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}$

$\Leftrightarrow {\frac {\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}$

$\Leftrightarrow 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$

因此，

$1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$

同样，我们可以将等式乘以 ${\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$，

${\frac {\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$

$\Leftrightarrow {\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$

$\Leftrightarrow \tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta$

经过一些调整，我们得到

$1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta$

单位圆定义推导

根据单位圆，假设有一个点 $A=(x_{A},y_{A})$，定义告诉我们

$\sin \theta =y_{A}{\text{, }}\cos \theta =x_{A}{\text{, }}\tan \theta ={\frac {y_{A}}{x_{A}}}{\text{, }}\csc \theta ={\frac {1}{y_{A}}}{\text{, }}\sec \theta ={\frac {1}{x_{A}}}{\text{, and }}\cot \theta ={\frac {x_{A}}{y_{A}}}$

由于单位圆的半径为1，因此点 $A=(x_{A},y_{A})$ 和圆心的距离应为1。使用距离公式，我们可以得到

$x_{A}^{2}+y_{A}^{2}=1$

$\Leftrightarrow \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$

直角三角形定义推导中毕达哥拉斯恒等式的其他版本可以用相同的方法扩展到单位圆。再次，借助单位圆，三角函数不再局限于三角形。它将这些函数的视角从三角形扩展到所有实数角。

这个恒等式在后面章节讨论三角代换时很重要（参见第 4.8 章）。

角的加减恒等式

三角函数定义域的值不仅限于${\frac {\pi }{6}}$, ${\frac {\pi }{4}}$, ${\frac {\pi }{3}}$ 及其倍数。正弦和余弦函数可以接收无限多的输入。在计算过程中，人们发现了一些方法来计算一些“非传统”$\theta$ 值的精确值。请看下面的例子

$\sin \left({\frac {5}{12}}\pi \right)={\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}{4}}$

这个精确值是绝对正确的，因为存在一个正弦公式可以计算$\sin \left({\frac {5}{12}}\pi \right)$ 的值。

这就是正弦的角加公式。

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

其他函数的公式列在下面

三角函数的加减恒等式

如果角$\alpha {\text{ and }}\beta$ 存在，并且$\alpha ,\beta \in \{\mathbb {R} \}$，那么

$\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\tan \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$

加法的证明

此证明运用了大量的几何知识。然而，还有一种方法可以使用欧拉公式 来证明，但目前我们还没有学到。

请看右边的图片，它包含 4 个直角三角形：蓝色三角形、红色三角形（斜边为 1）、左上角三角形和右上角三角形。根据三角函数的定义，相邻边和对边（相对于所标记的角）应该是

正弦和余弦的角加公式的图解。加粗的线段长度为 1。

红色对边$=1\cdot \sin \beta$			蓝色对边 $=\cos \beta \sin \alpha$			左上角对边 $=\sin(\alpha +\beta )$			右上角对边 $=\sin \alpha \sin \beta$
红色邻边 $=1\cdot \cos \beta$			蓝色邻边 $=\cos \beta \cos \alpha$			左上角邻边 $=\cos(\alpha +\beta )$			右上角邻边 $=\cos \alpha \sin \beta$

现在，让我们将视野从单个三角形扩展到整个矩形。由于矩形的对边长度应该相同，所以以下等式应该成立。

左上角对边 $=$ 蓝色对边 $+$ 右上角邻边

左上角邻边 $=$ 蓝色邻边 $-$ 右上角对边

然后，代入数值将得到

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

只需将以上等式相除即可得到正切公式。

$\tan(\alpha +\beta )$	$={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}$
	$={\frac {\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }}$
	$={\frac {{\frac {\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}+{\frac {\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}{{\frac {\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}-{\frac {\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}}$
	$={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

减法证明

减法只是加法的特殊情况：$a-b=a+(-b)$. 因此，使用这种巧妙的处理方法，可以节省大量绘制三角形的时间。

实际上，在开始计算之前，让我们回顾一下三角函数的性质（您可以在本节的上方找到它）。由于正弦函数是一个奇函数，它具有以下恒等式。（有关奇函数和偶函数的定义，请参见第 1.2 章）

$\sin \theta =-\sin(-\theta )$

由于余弦函数是一个偶函数，以下等式也是成立的。

$\cos \theta =\cos(-\theta )$

因此，

$\sin(\alpha -\beta )$	$=\sin(\alpha +(-\beta ))$	$\cos(\alpha -\beta )$	$=\cos(\alpha +(-\beta ))$	$\tan(\alpha -\beta )$	$={\frac {\sin(\alpha -\beta )}{\cos(\alpha -\beta )}}$
	$=\sin \alpha \cos(-\beta )+\cos \alpha \sin(-\beta )$		$=\cos \alpha \cos(-\beta )-\sin \alpha \sin(-\beta )$		$={\frac {\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }}$
	$=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$		$=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$		$={\frac {{\frac {\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}-{\frac {\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}{{\frac {\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}+{\frac {\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}}$
					$={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$

所以，计算 $\sin \left({\frac {5}{12}}\pi \right)$ 的情况现在可以解决了。利用我们刚推导出的公式，我们可以得到

$\sin({\frac {5}{12}}\pi )$	$=\sin({\frac {\pi }{6}}+{\frac {\pi }{4}})$
	$=\sin {\frac {\pi }{6}}\cos {\frac {\pi }{4}}+\cos {\frac {\pi }{6}}\sin {\frac {\pi }{4}}$
	$={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}$
	$={\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}{4}}$

对于其他三个三角函数（余割、正割和余切），可以应用这些函数的定义并进行一些调整。

$\csc(\alpha \pm \beta )={\frac {1}{\sin(\alpha \pm \beta )}}={\frac {1}{\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }}$

$\sec(\alpha \pm \beta )={\frac {1}{\cos(\alpha \pm \beta )}}={\frac {1}{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }}$

$\cot(\alpha \pm \beta )={\frac {1}{\tan(\alpha \pm \beta )}}={\frac {1\mp \tan \alpha \tan \beta }{\tan \alpha \pm \tan \beta }}$

这些额外的公式不需要记忆，因为只要知道前三个公式（正弦、余弦和正切）就足以推导出另外三个公式。

应用

在某些国家，学生需要记忆公式应用的具体例子。这些具体例子被称为归纳公式，因为它们在科学问题中被广泛使用，可以节省将值代入原始公式的大量时间。

然而，借助单位圆可以更好地理解归纳公式。

例如，偶数个$\pi$的周期可以解释为在单位圆上旋转角度进行完整旋转，而奇数个$\pi$的周期可以解释为在单位圆上旋转角度进行半旋转，然后进行完整旋转。这些变换可以在单位圆上绘制，这使得计算过程对人们来说更加方便。

偶数个$\pi$的偏移	奇数个$\pi$的偏移	奇偶性（单位圆中关于 x 轴的对称性）	单位圆中关于 y 轴的对称性	${\frac {\pi }{2}}$的变换
$\sin(2k\pi +\alpha )=\sin \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\sin((2k+1)\pi +\alpha )=-\sin \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\sin(-\alpha )=-\sin \alpha$	$\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha$	$\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\cos \alpha$
$\cos(2k\pi +\alpha )=\cos \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\cos((2k+1)\pi +\alpha )=-\cos \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\cos(-\alpha )=\cos \alpha$	$\cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha$	$\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sin \alpha$
$\tan(2k\pi +\alpha )=\tan \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\tan((2k+1)\pi +\alpha )=\tan \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\tan(-\alpha )=-\tan \alpha$	$\tan(\pi -\alpha )=-\tan \alpha$	$\tan \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cot \alpha$$\cot(2k\pi +\alpha )=\cot \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\cot((2k+1)\pi +\alpha )=\cot \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\cot(-\alpha )=-\cot \alpha$	$\cot(\pi -\alpha )=-\cot \alpha$	$\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\tan \alpha$
$\csc(2k\pi +\alpha )=\csc \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\csc((2k+1)\pi +\alpha )=-\csc \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\csc(-\alpha )=-\csc \alpha$	$\csc(\pi -\alpha )=\csc \alpha$	$\csc \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\sec \alpha$
$\sec(2k\pi +\alpha )=\sec \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\sec((2k+1)\pi +\alpha )=-\sec \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\sec(-\alpha )=\sec \alpha$	$\sec(\pi -\alpha )=-\sec \alpha$	$\sec \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\csc \alpha$

使用这个恒等式，还有很多其他的例子和应用。上面的表格只列出了部分例子。您也可以将具体的数字代入公式进行一些实验。

倍角公式

强烈建议读者应该记忆并熟悉这些过程，因为它们会带来很大的便利。

倍角公式

如果存在一个角度$\alpha$，并且$\alpha \in \{\mathbb {R} \}$，那么

$\sin(2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha$

$\tan(2\alpha )={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$

证明

倍角公式很容易用三角函数的加法恒等式推导出来。之所以将倍角公式与加减法恒等式的应用分开，是因为倍角公式也是半角公式的基础，也是幂之间转换的一种方法。这些公式在微积分中非常有用，特别是当需要降低指数的幂时。

$\sin(2\alpha )$	$=\sin(\alpha +\alpha )$	$\cos(2\alpha )$	$=\cos(\alpha +\alpha )$	$\tan(2\alpha )$	$={\frac {\sin(2\alpha )}{\cos(2\alpha )}}$
	$=\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha$		$=\cos \alpha \cos \alpha -\sin \alpha \sin \alpha$		$={\frac {2\sin \alpha \cos \alpha }{\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha }}$
	$=2\sin \alpha \cos \alpha$		$=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha$		$={\frac {\frac {2\sin \alpha \cos \alpha }{\cos ^{2}\alpha }}{{\frac {\cos ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}}}$
					$={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$

在 $\cos(2\alpha )$ 的情况下，我们可以利用毕达哥拉斯恒等式将公式转化为其他形式。

$\cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =\cos ^{2}\alpha -(1-\cos ^{2}\alpha )=2\cos ^{2}\alpha -1$

$\cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =(1-\sin ^{2}\alpha )-\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha$

因此，倍角公式完整了。

半角公式

半角公式可以理解为倍角公式的逆运算。证明并不难。利用已知结论，我们可以很容易地推导出公式。

半角公式

如果一个角度 $\theta$ 存在，且 $\theta \in \{\mathbb {R} \}$，则

$\sin ^{2}({\frac {\theta }{2}})={\frac {1-\cos \theta }{2}}$

$\cos ^{2}({\frac {\theta }{2}})={\frac {1+\cos \theta }{2}}$

$\tan ^{2}({\frac {\theta }{2}})={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}$

首先，我们要明白

$\cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha$

只有两个公式对于推导很重要。

$\cos(2\alpha )=2\cos ^{2}\alpha -1$ 以及 $\cos(2\alpha )=1-2\sin ^{2}\alpha$$\alpha ={\frac {\theta }{2}}$。所以

$\cos \theta =2\cos ^{2}({\frac {\theta }{2}})-1$ 以及 $\cos \theta =1-2\sin ^{2}({\frac {\theta }{2}})$

经过一些调整，可以得到

$\cos ^{2}({\frac {\theta }{2}})={\frac {1+\cos \theta }{2}}$ 以及 $\sin ^{2}({\frac {\theta }{2}})={\frac {1-\cos \theta }{2}}$

然而，这可以改进，因为方程式左侧的指数没有被消除。问题在于不能简单地对整个方程式进行开平方，因为正负号非常重要。因此，为了解决这个问题，使用了一个函数。

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}$

因此，公式可以改进。

$\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(2\pi -\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}$

$\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\pi +\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\pi -\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}$

$\tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin {\frac {\theta }{2}}}{\cos {\frac {\theta }{2}}}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}}$

建议使用单位圆来确定答案的符号，这样更方便。此外，带指数的方程在微积分中使用频率更高，因为半角公式使积分更方便的原因是，这些公式可以消除指数而不是生成平方根。

正切半角替换

正切半角替换非常强大，因为任何基本三角函数都可以用 $\tan {\frac {\alpha }{2}}$ 表示。

正切半角替换

如果存在一个角度$\alpha$，并且$\alpha \in \{\mathbb {R} \}$，那么

$\sin \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

$\cos \alpha ={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

$\tan \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

证明

证明稍微困难，因为它需要关于二倍角公式的特殊操作。让我们先从正弦函数开始。我们已经知道 $\sin \alpha =2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}$。让我们进行一些调整。首先，将方程写成分数形式。

$\sin \alpha ={\frac {2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}{1}}$

现在，将分子和分母都除以 $\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}$

${\frac {2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}{1}}={\frac {\frac {2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}{\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}$

经过一些抵消和调整，并知道 ${\frac {1}{\cos \theta }}=\sec \theta$ 

${\frac {\frac {2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}{\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{\sec ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

根据毕达哥拉斯恒等式，$1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta$ 

${\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{\sec ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

最终，

$\sin \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

余弦的推导过程类似

$\cos \alpha$	$=\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}$（二倍角公式）
	$={\frac {\frac {\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}{\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}$（将等式两边除以$\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}$)
	$={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\sec ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$（做一些调整）
	$={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$（使用毕达哥拉斯恒等式）

正切公式基本上没有推导，因为它与正切的二倍角公式相同。

$\tan \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

正弦定理和余弦定理

这些定理更像是三角学的应用，而不是恒等式，但与它们对应的公式相比，它们同样重要。

正弦定理和余弦定理

如果有一个任意三角形，它的边长为$a{\text{, }}b{\text{, and }}c$，与这些边相对的角为$A{\text{, }}B{\text{, and }}C$，则

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}={\frac {2\Delta }{abc}}$，其中 $\Delta$ 是三角形的面积。

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$

证明

一个三角形，三边分别为a、b、c，对应角分别为A、B、C。

正弦定理的证明需要用到三角形面积公式：

$Area={\frac {1}{2}}\cdot B\cdot h$

在右侧的三角形中，可以有三种方式描述面积：

$\Delta ={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)$

然后将这些式子乘以 ${\frac {2}{abc}}$。

${\frac {2\Delta }{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}$

余弦定理的证明需要用到勾股定理：

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$（当三角形 $ABC$ 是直角三角形，且 $c$ 为斜边）

在任意三角形中，勾股定理可以写成以下形式：

$c^{2}=(a-b\cos C)^{2}+(b\sin C)^{2}$

$\Leftrightarrow c^{2}=a^{2}-2ab\cos C+b^{2}\cos ^{2}C+b^{2}\sin ^{2}C$

$\Leftrightarrow c^{2}=a^{2}-2ab\cos C+b^{2}(\cos ^{2}C+\sin ^{2}C)$

根据三角学中的勾股定理 $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$

当我们深入微积分的世界时，将发现更多恒等式。

反三角函数

正如其名，反三角函数是三角函数的逆函数。逆函数的定义是：

逆函数的定义

如果 $f^{-1}(f(x))=x$，则 $f^{-1}(x)$ 是 $f(x)$ 的逆函数，对所有 $x$ 成立。

反三角函数的概念并不难理解。

反三角函数的表示法有两种常见的形式。其中一种形式直观，因为它源于定义：$\sin(x)$ 的逆函数是 $\sin ^{-1}(x)$。然而，由于这很容易被误认为是函数 $\sin(x)$ 的倒数，本节以及本整本书将采用第二种表示法。

$f(x)$	$f^{-1}(x)$
$\sin(x)$	$\arcsin(x)$
$\cos(x)$	$\arccos(x)$
$\tan(x)$	$\arctan(x)$
$\cot(x)$	$\operatorname {arccot}(x)$
$\sec(x)$	$\operatorname {arcsec}(x)$
$\csc(x)$	$\operatorname {arccsc}(x)$

性质

逆函数本质上是反转原始函数的过程。例如，如果 $g$ 是 $f$ 的逆函数，并且 $f(a)=b$，那么 $g(b)=a$。将 $a$ 转换为 $b$ 的过程被反转，现在是从 $b$ 到 $a$。这种恒等式也存在于反三角函数中。反三角函数不是将角度转换为线性长度，而是将线性长度转换为角度。

$\sin(\theta )=x$，所以 $\arcsin(x)=\theta$。

然而，作为一个函数，它们仍然需要遵守函数的基本规则，即：根据定义，对于每个“输入”，函数只能返回一个与该输入相对应的“输出”。虽然相同的输出可能对应多个输入，但 **一个输入不能对应多个输出。**（参见 1.2）。换句话说，结果只能有一个。由于许多角度在三角函数中可能具有相同的结果，所以所谓的反三角函数在技术上不是函数。以以下为例

$\sin(2k\pi )=0$ $(k\in \mathbb {Z} )$

$\arcsin(0)=2k\pi$ $(k\in \mathbb {Z} )$（不是函数）

因此，为了解决多个输出问题，数学家限制了这些所谓的反三角函数的定义域和值域，以避免上述情况。并且由于限制之后没有多个输出，这些所谓的反三角函数最终成为了函数。

函数	定义域	值域	图像
$\arcsin(x)$	$[-1,1]$	$[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$
$\arccos(x)$	$[-1,1]$	$[0,\pi ]$
$\arctan(x)$	$\mathbb {R}$	$(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})$
$\operatorname {arccot}(x)$	$\mathbb {R}$	$(0,\pi )$
$\operatorname {arcsec}(x)$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$	$[0,{\frac {\pi }{2}})\cup ({\frac {\pi }{2}},\pi ]$
$\operatorname {arccsc}(x)$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$	$[-{\frac {\pi }{2}},0)\cup (0,{\frac {\pi }{2}}]$

请注意，不同文献中，反正割和反余割的范围可能会有所不同。

一般解

由于这些反函数被视为函数，因此这些函数的输出不是此类问题的通解。

求满足$\sin(\theta )={\frac {1}{2}}$的所有角度。

由于$\arcsin({\frac {1}{2}})={\frac {\pi }{6}}$，答案应该是${\frac {\pi }{6}}$。然而，在单位圆上检查答案后，我们发现${\frac {5\pi }{6}}$也满足问题。因此，应该有一种方法可以使用反正弦函数来表示所有满足要求的可能角度。幸运的是，确实有。一种写答案的方法是

$\theta \in \{\theta |\theta ={\frac {\pi }{6}}+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} \}\cup \{\theta |\theta ={\frac {5\pi }{6}}+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} \}$

如您所見，${\frac {\pi }{6}}=\arcsin({\frac {1}{2}})$ 和 ${\frac {5\pi }{6}}=-\arcsin({\frac {1}{2}})+\pi$。将这些结果代入答案将得到

$\theta \in \{\theta |\theta =\arcsin({\frac {1}{2}})+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} \}\cup \{\theta |\theta =-\arcsin({\frac {1}{2}})+(2k+1)\pi ,k\in \mathbb {Z} \}$

现在，将 ${\frac {1}{2}}$ 作为 $y$ 代入，$\theta {\text{ in }}\sin(\theta )=y$ 的一般解是

$\theta \in \{\theta |\theta =\arcsin(y)+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} \}\cup \{\theta |\theta =-\arcsin(y)+(2k+1)\pi ,k\in \mathbb {Z} \}$

使用相同的方法，其他方程的一般解为

问题	解答
$\sin(\theta )=y$	$\theta \in \{\theta |\theta =\arcsin(y)+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} \}\cup \{\theta |\theta =-\arcsin(y)+(2k+1)\pi ,k\in \mathbb {Z} \}$
$\cos(\theta )=x$	$\theta \in \{\theta |\theta =\arccos(x)+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} \}\cup \{\theta |\theta =-\arccos(x)+2(k+1)\pi ,k\in \mathbb {Z} \}$
$\tan(\theta )=r$	$\theta \in \{\theta |\theta =\arctan(r)+k\pi ,k\in \mathbb {Z} \}$

其他诸如 $\cot(\theta )={\frac {1}{r}}$ 的问题可以简化为 ${\frac {1}{\tan(\theta )}}={\frac {1}{r}}$.

由于逆函数具有恒等式 $f^{-1}(f(x))=x$, $\arcsin(\sin(\theta ))=\theta$。因此，当处理像这样的方程：$\sin(\theta )=\sin(\alpha )$，其中 $\alpha$ 是一个常数，一般解可以更简化，因为 $\arcsin(\sin(\alpha ))=\alpha$.

关系

下表展示了三角函数和逆三角函数之间的关系。

$\theta$	$\sin(\theta )$	$\cos(\theta )$	$\tan(\theta )$
$\arcsin(x)$	$\sin(\arcsin(x))=x$	$\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	$\sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\cos(\arccos(x))=x$	$\tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\arctan(x)$	$\sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\arctan(x))=x$
$\operatorname {arccot}(x)$	$\sin(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\operatorname {arccot}(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{x}}$
$\operatorname {arcsec}(x)$	$\sin(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\cos(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {1}{x}}$	$\tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}}$
$\operatorname {arccsc}(x)$	$\sin(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{x}}$	$\cos(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\tan(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

证明这些并不困难。例如，取 $\tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$。首先，令 $x=\sin(\theta )$。所以

$\tan(\arcsin(x))=\tan(\arcsin(\sin(\theta )))=\tan(\theta )$

由于 $\tan(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$ 并且 $\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$,

$\tan(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\sin(\theta )}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}$

由于 $x=\sin(\theta )$,

${\frac {\sin(\theta )}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

因此，$\tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$.

其他关系式可以通过此方法证明。

相关函数

尽管这些其他相关函数在微积分中同样重要，但不需要像首页上的基本函数那样强记。

双曲函数

通过 单位双曲线 x² − y² = 1 上的点 (cosh a, sinh a) 作射线，其中 $a$ 是射线、双曲线和 $x$ 轴围成的面积的两倍。对于双曲线下方 $x$ 轴的点，面积被认为是负的（见 动画版本，与三角函数（圆函数）比较）。

双曲函数是三角函数的另一种形式。三角函数是在单位圆上定义的（参见首页上的部分），而双曲函数是在单位双曲线的正 x 轴上定义的（参见更多关于 双曲函数的信息）。

单位双曲线的方程是 $x^{2}-y^{2}=1$。由于双曲函数只在方程的正 x 轴部分定义，更确切地说，我们只需要方程的这一部分

$x^{2}-y^{2}=1$ $(x>0)$

将一条射线从x轴正半轴方向旋转角度$\theta$（当$\theta >0,$时为逆时针方向，当$\theta <0$时为顺时针方向），将得到此射线与单位双曲线相交的交点：$A=(x_{A},y_{A})$。定义如下：

$\sinh a=y_{A}$

$\cosh a=x_{A}$

$\tanh a={\frac {y_{A}}{x_{A}}}$

其中$a$是射线、双曲线和$x$轴之间面积的两倍。

根据定义，我们可以看到$\cosh ^{2}a-\sinh ^{2}a=1$。

sinh，cosh 和 tanh

欧拉公式

欧拉公式是复变函数中的一个数学公式，它建立了三角函数和复指数函数之间的基本关系。欧拉公式指出，对于任何实数x

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

对于不知道的人来说，$e$是对数的自然底数，$i$是虚数单位$(i={\sqrt {-1}})$。此公式在各种科学领域中非常有用。但是，这超出了本章的范围。此公式将在第6.11章中提及。