微积分/面积

介绍

在微积分中，求两条曲线（通常由两个显式函数给出）之间的面积通常很有用。

一般来说，求两条曲线之间面积的规则是

$A=A_{\rm {top}}-A_{\rm {bottom}}$ 或

如果 f(x) 是上方的函数，g(x) 是下方的函数

$A=\int \limits _{a}^{b}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}dx$

无论函数是在第一象限还是不在第一象限，这都是正确的。

两条曲线之间的面积

假设我们有两个函数 $y_{1}=f(x)$ 和 $y_{2}=g(x)$，我们想找到它们在区间 $[a,b]$ 上的面积。还需要假设对于区间 $[a,b]$ 上的所有 $x$，有 $f(x)\geq g(x)$。首先，我们将区间 $[a,b]$ 分割成 $n$ 个等长的子区间，每个子区间的长度为 $\Delta x={\frac {b-a}{n}}$。接下来，在每个子区间中选择一个点，记为 $x_{i}^{*}$。现在，我们可以为每个区间‘创建’一个矩形。在点 $x_{i}*$处，每个矩形的高度为 $f(x_{i}^{*})-g(x_{i}^{*})$，宽度为 $\Delta x$。因此，每个矩形的面积为 ${\bigl [}f(x_{i}^{*})-g(x_{i}^{*}){\bigr ]}\Delta x$。两个曲线之间的面积 $A$ 的一个近似值为：

$A:=\sum _{i=1}^{n}{\Big [}f(x_{i}^{*})-g(x_{i}^{*}){\Big ]}\Delta x$ .

现在，我们取 $n$ 趋于无穷大的极限，得到：

$A=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\Big [}f(x_{i}^{*})-g(x_{i}^{*}){\Big ]}\Delta x$

这给出了精确的面积。回顾定积分的定义，我们注意到

$A=\int \limits _{a}^{b}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}dx$ .

求两条曲线之间面积的公式有时被称为关于 *x* 轴的积分，因为用于逼近面积的矩形的底边平行于 *x* 轴。当两个函数的形式为 $y_{1}=f(x)$ 和 $y_{2}=g(x)$ 时，该公式最为有用。然而，有时人们会发现相对于 *y* 轴积分更简单。当相对于 *x* 轴积分会导致需要计算多个积分时，就会出现这种情况。这些函数的形式为 $x_{1}=f(y)$ 和 $x_{2}=g(y)$ 在区间 $[c,d]$ 上。注意 $[c,d]$ 是 $y$ 的值。这种情况的推导完全相同。与之前类似，我们将假设 $f(y)\geq g(y)$ 对于 $[c,d]$ 上的所有 $y$ 成立。现在，如前所述，我们可以将区间分成 $n$ 个子区间，并创建矩形来逼近 $f(y)$ 和 $g(y)$ 之间的面积。可能需要想象每个矩形的“宽度”， $\Delta y$ ，平行于 *y* 轴，而“高度”， $f(y_{i}^{*})-g(y_{i}^{*})$ 在点 $y_{i}^{*}$ 处，平行于 *x* 轴。从上面的工作中我们可以推断出，面积的 *近似值*， $A$ ，在两条曲线之间是

$A:=\sum _{i=1}^{n}{\Big [}f(y_{i}^{*})-g(y_{i}^{*}){\Big ]}\Delta y$ .

如同之前，我们将$n$视为趋近于无穷大，得到

$A=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\Big [}f(y_{i}^{*})-g(y_{i}^{*}){\Big ]}\Delta y$ ,

这不过是一个定积分，因此

$A=\int \limits _{c}^{d}{\bigl (}f(y)-g(y){\bigr )}dy$ .

无论函数的形式如何，我们都使用相同的公式。