微积分/体积

从直观的角度来看体积时，我们通常认为它是物体占用的“空间”量。不幸的是，除了最简单的几何形状外，要为这个空间量分配一个数字来衡量它可能会很困难。微积分提供了一种新的工具，可以极大地扩展我们计算体积的能力。为了理解所涉及的思想，思考圆柱体的体积会有所帮助。

圆柱体的体积是使用公式 $V=\pi r^{2}h$ 计算的。圆柱体的底面是一个圆，它的面积由 $A=\pi r^{2}$ 给出。注意，圆柱体的体积是通过取其底面的面积并乘以高度 $h$ 得出的。对于更复杂的形状，我们可以考虑通过取某个高度 $x$ 处横截面的面积，并乘以某个小的高度变化 $\Delta x$ 来近似体积，然后将所有这些近似的面积从物体的底部到顶部加起来。这看起来像是黎曼和。牢记这一点，我们可以为 $\mathbb {R} ^{3}$（三维空间）中的实体体积开发更通用的公式。

正式定义

形式上，上面的想法表明我们可以通过计算横截面面积沿某个维度的积分来计算实体的体积。在上面圆柱体的例子中，每个横截面都是由相同的圆给出的，因此横截面面积因此是一个常数函数，积分维度是垂直的（尽管它可以是我们想要的任何一个）。一般来说，如果 $S$ 是位于 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，位于 $x=a$ 和 $x=b$ 之间的一个实体，让 $A(x)$ 表示垂直于 $x$ 轴并通过点 $x$ 的平面上取的横截面的面积。

如果函数 $A(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，那么固体 $S$ 的体积 $V_{S}$ 由下式给出：

$V_{S}=\int \limits _{a}^{b}A(x)dx$

示例

示例 1：直圆柱体

图 1

现在我们将使用关于如何计算体积的新思想来计算直圆柱体的体积。由于我们已经知道圆柱体体积的公式，这将为我们提供一个“健全性检查”，以确保我们的公式是合理的。首先，我们选择一个维度来进行积分。在本例中，沿着圆柱体的高度进行积分将极大地简化计算，因此这是我们将选择的积分方向。因此，我们将垂直方向称为 $x$（见 图 1）。现在我们找到函数 $A(x)$，它将描述我们圆柱体在高度为 $x$ 处的横截面积。圆柱体的横截面积只是一个圆。现在只需记住圆的面积是 $\pi r^{2}$，因此 $A(x)=\pi r^{2}$。在执行计算之前，我们必须选择积分的界限。在本例中，我们简单地定义 $x=0$ 为圆柱体的底部，因此我们将从 $x=0$ 积分到 $x=h$，其中 $h$ 是圆柱体的高度。最后，我们进行积分

${\begin{aligned}V_{\mathrm {cylinder} }&=\int \limits _{a}^{b}A(x)dx\\&=\int \limits _{0}^{h}\pi r^{2}dx\\&=\pi r^{2}\int \limits _{0}^{h}dx\\&=\pi r^{2}x{\bigg |}_{x=0}^{h}\\&=\pi r^{2}(h-0)\\&=\pi r^{2}h\end{aligned}}$

这正是我们熟悉的圆柱体体积公式。

示例 2：直圆锥

图 2：直圆锥被垂直于锥轴的平面截取的截面是一个圆。

在下一个示例中，我们将研究截面积不恒定的情况。考虑一个直圆锥。同样，截面只是圆形。但现在半径从圆锥的底到顶点变化。我们再次选择 $x$ 作为垂直方向，底面在 $x=0$，顶点在 $x=h$，并用 $R$ 表示底部的半径。虽然我们知道截面只是圆形，但除非我们找到一种方法来确定高度为 $x$ 处的圆的半径，否则我们无法计算截面的面积。

图 3：直圆锥被垂直于底并通过顶点的平面截取的截面。

幸运的是，在这种情况下，我们可以利用我们从几何学中了解的一些知识。我们可以想象在某个圆的直径上垂直于底面切割圆锥一直到圆锥的顶点。然后，如果我们看一下我们刚刚创建的平坦侧面，我们将只看到一个三角形，我们对其几何图形非常了解。从顶点到高度为 $x$ 的底部的直角三角形与从顶点到高度为 $h$ 的底部的直角三角形相似。这告诉我们 ${\frac {r}{h-x}}={\frac {R}{h}}$。因此，我们看到高度为 $x$ 处的圆的半径为 $r(x)={\frac {R}{h}}(h-x)$。现在，使用我们熟悉的圆形面积公式，我们看到 $A(x)=\pi {\frac {R^{2}}{h^{2}}}(h-x)^{2}$。

现在，我们准备进行积分。

${\begin{aligned}V_{\mathrm {cone} }&=\int \limits _{a}^{b}A(x)dx\\&=\int \limits _{0}^{h}\pi {\frac {R^{2}}{h^{2}}}(h-x)^{2}dx\\&=\pi {\frac {R^{2}}{h^{2}}}\int \limits _{0}^{h}(h-x)^{2}dx\end{aligned}}$

通过u-代换，我们可以令 $u=h-x$ ，则 $du=-dx$ ，我们的积分变为

${\begin{aligned}&&=\pi {\frac {R^{2}}{h^{2}}}\left(-\int \limits _{h}^{0}u^{2}du\right)\\&&=\pi {\frac {R^{2}}{h^{2}}}\left(-{\frac {u^{3}}{3}}{\bigg |}_{h}^{0}\right)\\&&=\pi {\frac {R^{2}}{h^{2}}}\left(-0+{\frac {h^{3}}{3}}\right)\\&&={\frac {\pi }{3}}R^{2}h\end{aligned}}$

例3：球体

图 4：确定球体中心距离 $|x|$ 的横截面的半径。

以类似的方式，我们可以使用我们的定义来证明球体体积的著名公式。首先，我们必须找到我们的横截面面积函数，$A(x)$ 。考虑一个半径为 $R$ 的球体，其中心位于 $\mathbb {R} ^{3}$ 的原点。如果我们再次垂直积分，则 $x$ 将从 $-R$ 变化到 $R$ 。为了找到特定横截面的面积，绘制一个直角三角形，其点位于球体的中心、圆形横截面的中心以及横截面圆周上的一个点。如该图所示，该三角形的边长将是 $R$ 、$|x|$ 和 $r$ 。其中 $r$ 是圆形横截面的半径。然后，根据勾股定理，$r={\sqrt {R^{2}-|x|^{2}}}$，我们发现 $A(x)=\pi (R^{2}-|x|^{2})$ 。需要注意的是 $|x|^{2}=x^{2}$ ，因此我们不需要保留绝对值。

因此我们有：

${\begin{aligned}V_{\mathrm {sphere} }&=\int \limits _{a}^{b}A(x)dx\\&=\int \limits _{-R}^{R}\pi (R^{2}-x^{2})dx\\&=\pi \int \limits _{-R}^{R}R^{2}dx-\pi \int \limits _{-R}^{R}x^{2}dx\\&=\pi R^{2}x{\Bigg |}_{-R}^{R}-\pi {\frac {x^{3}}{3}}{\Bigg |}_{-R}^{R}\\&=\pi R^{2}(R-(-R))-\pi \left({\frac {R^{3}}{3}}-{\frac {(-R)^{3}}{3}}\right)\\&=2\pi R^{3}-{\frac {2\pi }{3}}R^{3}={\frac {4\pi }{3}}R^{3}\end{aligned}}$

扩展到非平凡固体

现在我们已经证明了我们的定义与我们先前的知识相符，我们将看到它如何帮助我们将视野扩展到无法使用基本几何计算体积的固体。