微积分/链式法则/解答

1. 计算 $f'(x)$，如果 $f(x)=(x^{2}+5)^{2}$，首先展开并直接求导，然后对 $f(u(x))=u^{2}$ 应用链式法则，其中 $u=x^{2}+5$。比较结果。

第一种方法

$f(x)=x^{4}+10x^{2}+25$

$\mathbf {f'(x)=4x^{3}+20x}$

第二种方法

$f'(u(x))={\frac {df}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}=2u\cdot 2x=2(x^{2}+5)\cdot 2x=\mathbf {4x^{3}+20x}$

两种方法得到相同的结果。

2. 利用链式法则，令 $y={\sqrt {u}}$ 和 $u=1+x^{2}$，计算 $y={\sqrt {1+x^{2}}}$ 的导数。

:${\frac {dy}{du}}={\frac {1}{2{\sqrt {u}}}};\quad {\frac {du}{dx}}=2x$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}={\frac {1}{2{\sqrt {1+x^{2}}}}}\cdot 2x=\mathbf {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$