微积分/链式法则

链式法则是一种计算两个或多个函数的函数复合的导数的方法。

如果一个函数 $f$ 依赖于一个变量 $u$ ，而 $u$ 又依赖于另一个变量 $x$ ，也就是说 $f=y{\bigl (}u(x){\bigr )}$ ，那么 $f$ 相对于 $x$ 的变化率可以计算为 $y$ 相对于 $u$ 的变化率乘以 $u$ 相对于 $x$ 的变化率。

链式法则 如果一个函数 $f$ 由两个可微函数 $y(x)$ 和 $u(x)$ 复合而成，使得 $f(x)=y{\bigl (}u(x){\bigr )}$ ，那么 $f(x)$ 是可微的，并且， ${\frac {df}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$

该方法被称为“链式法则”，因为它可以依次应用于嵌套在彼此内部的任意多个函数。 例如，如果 $f$ 是 $g$ 的函数，而 $g$ 又是一个 $h$ 的函数，而 $h$ 又是一个 $x$ 的函数，即

$f{\bigl (}g(h(x)){\bigr )}$

关于 $x$ 的 $f$ 的导数由下式给出：

${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dh}}\cdot {\frac {dh}{dx}}$ 等等。

一个有用的记忆方法是将微分视为可以代数抵消的个体实体，例如

${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{\cancel {dg}}}\cdot {\frac {\cancel {dg}}{\cancel {dh}}}\cdot {\frac {\cancel {dh}}{dx}}$

但是，请记住，这种技巧是通过巧妙的符号选择实现的，而不是通过实际的代数抵消。

链式法则在物理学、化学和工程学中有着广泛的应用，同时也被用于研究许多学科中的相关变化率。链式法则也可以推广到多个变量的情况，其中嵌套函数依赖于多个变量。

例子

例子 I

假设一位登山者以 $0.5{\frac {km}{h}}$ 的速度攀登。气温随海拔升高而降低；假设其降低率为 $6^{\circ }C$ 每公里。要计算登山者每小时感受到的气温下降量，将 ${\frac {6^{\circ }C}{km}}$ 乘以 $0.5{\frac {km}{h}}$，得到 ${\frac {3^{\circ }C}{h}}$。此计算是一个典型的链式法则应用。

例子 II

考虑函数 $f(x)=(x^{2}+1)^{3}$。根据链式法则，我们可以得到

$f(x)=(x^{2}+1)^{3}$	需要求导的函数
$u(x)=x^{2}+1$	定义 $u(x)$ 为内部函数
$f(x)=u(x)^{3}$	用 $u(x)$ 表示 $f(x)$
${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$	表示此处适用的链式法则
${\frac {df}{dx}}={\frac {d}{du}}u^{3}\cdot {\frac {d}{dx}}(x^{2}+1)$	代入 $f(u)$ 和 $u(x)$
${\frac {df}{dx}}=3u^{2}\cdot 2x$	使用幂法则计算导数
${\frac {df}{dx}}=3(x^{2}+1)^{2}\cdot 2x$	将 $u(x)$ 用 $x$ 表示代回
${\frac {df}{dx}}=6x(x^{2}+1)^{2}$	化简。

示例 III

为了对三角函数

$f(x)=\sin(x^{2})$

进行求导，我们可以写成

$f(x)=\sin(x^{2})$	需要求导的函数
$u(x)=x^{2}$	定义 $u(x)$ 为内部函数
$f(x)=\sin(u)$	用 $u(x)$ 表示 $f(x)$
${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$	表示此处适用的链式法则
${\frac {df}{dx}}={\frac {d}{du}}\sin(u)\cdot {\frac {d}{dx}}(x^{2})$	代入 $f(u)$ 和 $u(x)$
${\frac {df}{dx}}=\cos(u)\cdot 2x$	计算导数
${\frac {df}{dx}}=\cos(x^{2})\cdot 2x$	将 $u$ 用 $x$ 表示。

示例 IV: 绝对值

链式法则可以用来求导 $|x|$，即绝对值函数

$f(x)=|x|$	需要求导的函数
$f(x)={\sqrt {x^{2}}}$	等效函数
$u(x)=x^{2}$	定义 $u(x)$ 为内部函数
$f(x)=u(x)^{\frac {1}{2}}$	用 $u(x)$ 表示 $f(x)$
${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$	表示此处适用的链式法则
${\frac {df}{dx}}={\frac {d}{du}}u^{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {d}{dx}}(x^{2})$	代入 $f(u)$ 和 $u(x)$
${\frac {df}{dx}}={\frac {u^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\cdot 2x$	使用幂法则计算导数
${\frac {df}{dx}}={\frac {(x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\cdot 2x$	将 $u(x)$ 用 $x$ 表示代回
${\frac {df}{dx}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}}}}$	化简
${\frac {df}{dx}}={\frac {x}{|x|}}$	将 ${\sqrt {x^{2}}}$ 表达为绝对值。

示例 V：三个嵌套函数

该方法被称为“链式法则”，因为它可以依次应用于嵌套在彼此之内的任意多个函数。例如，如果 $f{\bigl (}g(h(x)){\bigr )}=e^{\sin(x^{2})}$，链式法则的依次应用会产生以下导数（我们利用了 ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$ 的事实，这将在后面的部分中证明）。

$f(x)=e^{\sin(x^{2})}=e^{g}$	原始（最外层）函数
$h(x)=x^{2}$	将 $h(x)$ 定义为最内层函数
$g(x)=\sin(h)=\sin(x^{2})$	$g(h)=sin(h)$ 作为中间函数
${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dh}}\cdot {\frac {dh}{dx}}$	表示此处适用的链式法则
${\frac {df}{dg}}=e^{g}=e^{\sin(x^{2})}$	对 f(g) 求导
${\frac {dg}{dh}}=\cos(h)=\cos(x^{2})$	对 $g(h)$ 求导
${\frac {dh}{dx}}=2x$	对 $h(x)$ 求导
${\frac {d}{dx}}e^{\sin(x^{2})}=e^{\sin(x^{2})}\cdot \cos(x^{2})\cdot 2x$	代入链式法则。

物理学中的链式法则

由于一个物理量通常依赖于另一个物理量，而另一个物理量又依赖于其他物理量，因此链式法则在物理学中有着广泛的应用。本节将介绍链式法则在运动学和简谐运动中的应用实例。链式法则在电磁感应中也很有用。

物理学示例 I：两辆车的相对运动学

一辆车正向北行驶，目前位于 $(0,3)$ ; 另一辆车正向西行驶，目前位于 $(4,0)$ 。可以使用链式法则来判断它们是越来越近还是越来越远。

例如，可以考虑一个运动学问题，一辆车以 80 英里/小时的速度向西行驶至十字路口，而另一辆车以 60 英里/小时的速度向北行驶远离十字路口。可以问这两辆车是越来越近还是越来越远，以及当北行车距离十字路口 3 英里，而西行车距离十字路口 4 英里时，它们之间的距离变化率是多少。

核心思想：使用链式法则计算两辆车之间距离的变化率。

计划

1. 选择坐标系
2. 识别变量
3. 绘制图形
4. 核心思想：使用链式法则计算两辆车之间距离的变化率
5. 使用勾股定理将 $c$ 表示为 $x$ 和 $y$ 的表达式。
6. 使用链式法则将 ${\frac {dc}{dt}}$ 表示为 ${\frac {dx}{dt}}$ 和 ${\frac {dy}{dt}}$ 的表达式。
7. 代入 $x,y,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}$
8. 化简。

选择坐标系：令 $y$-轴指向北方，$x$-轴指向东方。

识别变量：定义 $y(t)$ 为向北行驶的车辆与原点的距离，并定义 $x(t)$ 为向西行驶的车辆与原点的距离。

使用勾股定理将 $c$ 表示为 $x$ 和 $y$ 的表达式。

$c=(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}$

使用链式法则将 ${\frac {dc}{dt}}$ 表示为 ${\frac {dx}{dt}}$ 和 ${\frac {dy}{dt}}$ 

${\frac {dc}{dt}}={\frac {d}{dt}}(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}$	对整个函数应用导数运算符
$={\frac {(x^{2}+y^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}{\frac {d}{dt}}(x^{2}+y^{2})$	函数内部是平方和
$={\frac {(x^{2}+y^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\left[{\frac {d}{dt}}(x^{2})+{\frac {d}{dt}}(y^{2})\right]$	分配微分运算符
$={\frac {(x^{2}+y^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\left[2x\cdot {\frac {dx}{dt}}+2y\cdot {\frac {dy}{dt}}\right]$	对 $x(t)$ 和 $y(t)$ 应用链式法则
$={\frac {x\cdot {\frac {dx}{dt}}+y\cdot {\frac {dy}{dt}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$	化简。

代入 $x=4\ mi\ ,\ y=3\ mi\ ,\ {\frac {dx}{dt}}=-80\ {\frac {mi}{h}}\ ,\ {\frac {dy}{dt}}=60\ {\frac {mi}{h}}$ 并简化

${\frac {dc}{dt}}$	$={\frac {4\ mi\cdot \left(-80\ {\frac {mi}{h}}\right)+3\ mi\cdot \left(60\ {\frac {mi}{h}}\right)}{\sqrt {(4\ mi)^{2}+(3\ mi)^{2}}}}$
	$={\frac {-320\ {\frac {mi^{2}}{h}}+180\ {\frac {mi^{2}}{h}}}{\sqrt {25\ mi}}}$
	$={\frac {-140\ {\frac {mi^{2}}{h}}}{5\ mi}}$
	$=-28\ {\frac {mi}{h}}$

因此，两辆车以$=28\ {\frac {mi}{h}}$ 的速度互相靠近。

物理示例二：谐振子

无阻尼的弹簧-质量系统是一个简单的谐振子。

如果一个简单谐振子偏离平衡位置的位移为$x$，并且在时间$t=0$ 时从其最大位移$A$ 释放，则之后的时间位置由下式给出：

$x(t)=A\cos(\omega t)$

其中$\omega ={\frac {2\pi }{T}}$ 是角频率，$T$ 是振荡周期。速度$v$，作为位置的一阶时间导数，可以用链式法则计算

$v(t)={\frac {dx}{dt}}$	一维速度定义
$={\frac {d}{dt}}A\cos(\omega t)$	代入$x(t)$
$=A{\frac {d}{dt}}\cos(\omega t)$	将常数$A$ 提取到导数之外
$=A{\bigl (}-\sin(\omega t){\bigr )}\cdot {\frac {d}{dt}}(\omega t)$	对外部函数（余弦）求导
$=-A\sin(\omega t)\cdot {\frac {d}{dt}}(\omega t)$	将负号移到前面
$=-A\sin(\omega t)\omega$	计算剩下的导数
$v(t)=-\omega A\sin(\omega t)$	化简。

加速度是位置的二阶导数，或者简称为 ${\frac {dv}{dt}}$ .

$a(t)={\frac {dv}{dt}}$	一维加速度的定义
$={\frac {d}{dt}}{\bigl (}-\omega A\sin(\omega t){\bigr )}$	代入 $v(t)$
$=-\omega A\cdot {\frac {d}{dt}}\sin(\omega t)$	将常数项移到导数的外面
$=-\omega A\cos(\omega t)\cdot {\frac {d}{dt}}(\omega t)$	对外部函数（正弦）求导
$=-\omega A\cos(\omega t)\omega$	计算剩下的导数
$a(t)=-\omega ^{2}A\cos(\omega t)$	化简。

根据牛顿第二定律， ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ ，其中 ${\vec {F}}$ 是合力， $m$ 是物体的质量。

${\vec {F}}=m{\vec {a}}$	牛顿第二定律
$=m{\bigl (}-\omega ^{2}A\cos(\omega t){\bigr )}$	将 $a(t)$ 代入
$=-m\omega ^{2}A\cos(\omega t)$	化简
${\vec {F}}=-m\omega ^{2}x(t)$	将原始 $x(t)$ 代入。

因此可以看出，这些结果与对简单谐振子施加的力是位移负常数倍的观测结果一致。

化学中的链式法则

链式法则在化学中有许多应用，因为化学中的许多方程描述了某个物理量如何依赖于另一个量，而另一个量又依赖于另一个量。例如，理想气体定律描述了压力、体积、温度和摩尔数之间的关系，所有这些量也可能随时间变化。

化学示例 I：理想气体定律

理想气体的等温线。曲线表示理想气体在不同温度下压力和体积之间的关系：离原点越远的曲线（即靠近图表右上角的曲线）代表更高的温度。

假设一个 $n$ 摩尔的理想气体被保存在一个等温（恒温，$T$）容器中，初始体积为 $V_{0}$ 。理想气体被活塞压缩，使其体积以恒定速率变化，使得 $V(t)=V_{0}-kt$ ，其中 $t$ 是时间。链式法则可以用来求压力的变化率。 理想气体定律可以求解压力， $P$ ，得到

$P(t)={\frac {nRT}{V(t)}}$

其中 $P(t)$ 和 $V(t)$ 已被写成时间的显式函数，其他符号为常数。对两边求导得到

${\frac {dP(t)}{dt}}=nRT\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{V(t)}}\right)$

其中常数项 $n,R,T$ 已经移到了导数运算符的左侧。应用链式法则得到

${\frac {dP}{dt}}=nRT\cdot {\frac {d}{dV}}\left({\frac {1}{V(t)}}\right){\frac {dV}{dt}}=nRT\left(-{\frac {1}{V^{2}}}\right){\frac {dV}{dt}}$

其中，已使用幂法则对 ${\frac {1}{V}}$ 进行求导。由于 $V(t)=V_{0}-kt$，${\frac {dV}{dt}}=-k$。将 $V$ 和 ${\frac {dV}{dt}}$ 代入，得到 ${\frac {dP}{dt}}$。

${\frac {dP}{dt}}=-{\frac {nRTk}{(V_{0}-kt)^{2}}}$

化学例子二：气体动理论

理想单原子气体的温度是其原子平均动能的量度。在 1950 个大气压下，氦原子的大小相对于其间距按比例显示。原子具有特定的平均速度，这里比室温降低了 2 万亿倍。

链式法则在化学中的另一个应用是求理想气体中平均分子速度 $v$ 随绝对温度 $T$ 以恒定速率增加时的变化率，使得 $T=T_{0}+at$ ，其中 $T_{0}$ 是初始温度，而 $t$ 是时间。^[3] 气体动理论将分子速度的 均方根 与温度相关联，因此如果 $v(t)$ 和 $T(t)$ 是时间的函数，

$v(t)={\sqrt {\frac {3R\cdot T(t)}{M}}}$

其中 $R$ 是理想气体常数，而 $M$ 是分子量。

对等式两边关于时间求导得到

${\frac {d}{dt}}v(t)={\frac {d}{dt}}\left({\sqrt {\frac {3R\cdot T(t)}{M}}}\right)$

使用链式法则，以关于温度 $T$ 和时间 $t$ 分别表示右侧，得到

${\frac {dv}{dt}}={\frac {d}{dT}}\left({\sqrt {\frac {3RT}{M}}}\right)\cdot {\frac {dT}{dt}}$

计算关于温度 $T$ 的导数得到

${\frac {dv}{dt}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {M}{3RT}}}\cdot {\frac {d}{dT}}\left({\frac {3RT}{M}}\right)\cdot {\frac {dT}{dt}}$

对剩余的关于$T$ 的导数进行求解，取负次幂的倒数，并将$T=T_{0}+at$ 代入，得到

${\frac {dv}{dt}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {M}{3R(T_{0}+at)}}}\cdot {\frac {3R}{M}}\cdot {\frac {d}{dt}}\left(T_{0}+at\right)$

对关于$t$ 的导数进行求解，得到

${\frac {dv}{dt}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {M}{3R(T_{0}+at)}}}\cdot {\frac {3R}{M}}a$

简化为

${\frac {dv}{dt}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {\frac {3R}{M(T_{0}+at)}}}$

链式法则证明

假设 $y$ 是 $u$ 的函数，而 $u$ 又 是 $x$ 的函数（假设 $y$ 在 $u$ 和 $x$ 处可微分，而 $u$ 在 $x$ 处可微分）。为了证明链式法则，我们使用导数的定义。

${\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

现在，我们将 ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ 乘以 ${\frac {\Delta u}{\Delta u}}$ ，并进行一些代数运算。

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}\cdot {\frac {\Delta u}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta u}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}\cdot {\frac {du}{dx}}$

请注意，当 $\Delta x$ 趋近于 $0$ 时，$\Delta u$ 也趋近于 $0$ 。因此，当 $\Delta x$ 趋近于 $0$ 时，对一个函数求极限与当 $\Delta u$ 趋近于 $0$ 时，对这个函数求极限是一样的。因此

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}=\lim _{\Delta u\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}={\frac {dy}{du}}$

所以我们有

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$

练习

1. 求 $f'(x)$ 的值，如果 $f(x)=(x^{2}+5)^{2}$ ，首先通过展开和直接求导，然后通过对 $f{\bigl (}u(x){\bigr )}=u^{2}$ 应用链式法则，其中 $u=x^{2}+5$ 。比较答案。

2. 使用链式法则求导数 $y={\sqrt {1+x^{2}}}$， 令 $y={\sqrt {u}}$ 和 $u=1+x^{2}$。

解答

外部链接

• http://calculusapplets.com/chainrule.html