微积分/定积分/解答

1. 使用 5 个细分的左黎曼和和右黎曼和，求函数 $f(x)=x^{6}$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 的曲线下的面积的上限和下限。

$\left|{\begin{array}{ccccccc}i&x_{i}&x_{i}^{6}&0.2\times x_{i-1}^{6}&\sum \limits _{k=1}^{i}0.2\times x_{i-1}^{6}&0.2\times x_{i}^{6}&\sum \limits _{k=1}^{i}0.2\times x_{i}^{6}\\0&0.0&0&\,&\,&0&\,\\1&0.2&0.000064&0&0&0.0000128&0.0000128\\2&0.4&0.004096&0.0000128&0.0000128&0.0008192&0.000832\\3&0.6&0.046656&0.0008192&0.000832&0.0093312&0.0101632\\4&0.8&0.262144&0.0093312&0.0101632&0.0524288&0.062592\\5&1.0&1&0.0524288&0.062592&.2&0.262592\end{array}}\right|$
下限: $0.062592$
上限: $0.262592$

2. 使用 5 个细分的左黎曼和和右黎曼和，求函数 $f(x)=x^{6}$ 从 $x=1$ 到 $x=2$ 的曲线下的面积的上限和下限。

$\left|{\begin{array}{ccccccc}i&x_{i}&x_{i}^{6}&0.2\times x_{i-1}^{6}&\sum \limits _{k=1}^{i}0.2\times x_{i-1}^{6}&0.2\times x_{i}^{6}&\sum \limits _{k=1}^{i}0.2\times x_{i}^{6}\\0&1.0&1&\,&\,&.2&\,\\1&1.2&2.985984&.2&.2&0.5971968&0.5971968\\2&1.4&7.529536&0.5971968&0.7971968&1.5059072&2.103104\\3&1.6&16.777216&1.5059072&2.303104&3.3554432&5.4585472\\4&1.8&34.012224&3.3554432&5.6585472&6.8024448&12.260992\\5&2.0&64&6.8024448&12.460992&12.8&25.060992\end{array}}\right|$
下限: $12.460992$
上限: $25.060992$

3. 使用减法规则来求 $f(x)=x$ 和 $g(x)=x^{2}$ 在 $x=0$ 和 $x=1$ 之间的面积。

从前面的例子我们知道 $\int _{0}^{1}xdx={\frac {1}{2}}$ 以及 $\int _{a}^{b}x^{2}dx={\frac {b^{3}}{3}}-{\frac {a^{3}}{3}}$。由此我们可以推断出
$\int _{0}^{1}(x-x^{2})dx={\frac {1}{2}}-({\frac {1^{3}}{3}}-{\frac {0^{3}}{3}})={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}=\mathbf {\frac {1}{6}}$

4. 利用练习 1 和 2 的结果以及关于端点的线性性质，确定 $\int _{0}^{2}x^{6}dx$ 的上限和下限。

在练习 1 中我们发现

$0.062592<\int _{0}^{1}x^{6}dx<0.262592$

在练习 2 中我们发现

$12.460992<\int _{1}^{2}x^{6}dx<25.060992$

由此我们可以推断出

$0.062592+12.460992<\int _{0}^{1}x^{6}dx+\int _{1}^{2}x^{6}dx<0.262592+25.060992$

$\mathbf {12.523584<\int _{0}^{2}x^{6}dx<25.323584}$

5. 证明如果 $f$ 是一个连续偶函数，则对于任意 $a$,

$\int _{-a}^{a}f(x)dx=2\int _{0}^{a}f(x)dx.$

根据端点的线性性质，我们有

$\int _{-a}^{a}f(x)dx=\int _{-a}^{0}f(x)dx+\int _{0}^{a}f(x)dx$

进行替换 $u=-x;du=-dx$。当 $x=-a$ 时，$u=a$，当 $x=0$ 时，$u=0$。那么

$\int _{-a}^{0}f(x)dx=\int _{a}^{0}f(-u)(-du)=-\int _{a}^{0}f(-u)du=\int _{0}^{a}f(-u)du=\int _{0}^{a}f(u)du$

其中最后一步使用了 $f$ 的偶函数性质。因为 $u$ 只是一个哑变量，我们可以用 $x$ 代替它。那么

$\int _{-a}^{a}f(x)dx=\int _{0}^{a}f(x)dx+\int _{0}^{a}f(x)dx=2\int _{0}^{a}f(x)dx$