微积分/双曲对数和角度

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在欧拉的预备微积分之后，对数导数的答案出乎意料，但当提供关于双曲线求积的信息时，答案却如预期的那样。类似地，当变量的倒数被积分，并且只提供欧拉的预备微积分时，积分的答案似乎是偶然的。了解到双曲对数是求积，答案就可以从对数的定义中立即得出。

双曲扇形和凹梯形

标准位置双曲扇形有一条边穿过 (1,1)，另一条边穿过 (t, 1/t)，其中 t > 1。

考虑三角形 T = {(0,0), (1,0), (1,1)} 和 S = {(0,0), (t,0), (t,1/t)}。那么面积 T = 面积 S = 1/2。对于 t > 1，通过添加 S 并减去 T 可以从双曲扇形得到凹梯形。

对于 0 < t < 1，通过添加 T 并减去 S 可以从双曲扇形得到凹梯形。凹梯形的面积在每种情况下都等于双曲扇形的面积，因为添加的面积与减去的面积相同。

对于正实数 p，平面上的双曲旋转将 (x,y) 映射到 (px, y/p)。对于任何常数 c，双曲线 xy = c 在双曲旋转下被映射到自身，类似于圆形圆盘的边缘如何被圆形旋转移动或置换。但是圆形旋转保留了点之间的距离；双曲旋转保留了面积。

圆形角在 (-π, π) 范围内包括第三和第四象限的负角。假设 x 轴下方的面积被认为是负的，而上面的面积是正的。那么，以半径为 √2 的圆的圆形扇形，其圆心在 x 轴上，就能给出该范围内任何角的大小，通常用指向轴右侧的零角来表示。

直线 y = x 被用来将平面分成正半平面和负半平面，用于有向双曲角的定义。如果 x > y，则点 (x, y) 位于正半平面。双曲角首先在第一象限定义，零角由 (1,1) 设置，角度的范围由双曲线 y = 1/x 描述。

标准位置的双曲角有一条边穿过 (1,1)，另一条边穿过 (p, 1/p)，其中 p 是一个正实数。当 p > 1 时，角度的大小为正，而 0<p<1 给出一个负角，因为大小由扇形面积给出，在 y = x 上侧取为负值。

与 (p, 1/p) 对应的标准位置的双曲角，其面积称为 log p。因此，相应的凹梯形的面积也是 log p。

对于正实数中的任意区间 [a, b]，存在与 (a, 1/a) 和 (b, 1/b) 对应的标准位置的双曲角。从第二个角中减去第一个角，得到一个双曲角，该角对应于区间上的凹梯形，并且具有面积 log b – log a。

此外，p = 1/a 产生一个双曲旋转，将双曲角移动到标准位置，其一边位于 (b/a, a/b)。这个旋转后的角度的面积是 log (b/a)，并且由于双曲旋转保留了面积，所以双曲对数具有性质 log b – log a = log (b/a)。

双曲对数和双曲旋转是由格雷瓜尔·德·圣-文森特在 1647 年描述的。通过利用数字 p = e = 2.71828... 莱昂哈德·欧拉在 1748 年通过调用指数函数 e^x 的逆函数绕过了双曲对数。在欧拉之后，这个函数被称为“自然对数”。

双曲角在运动学中的应用将在本维基教科书的后面章节中描述：双曲角。