微积分/无限极限/无穷大不是一个数字

大多数人在第一次接触微积分，特别是极限时，似乎对这个事实感到困惑。

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=\infty$

但 $\infty$ 是不同的。 $\infty$ 不是一个数字。

数学基于支配该学科的正式规则。当一组正式规则适用于某类对象（例如，“一个数字”）时，这些规则必须始终适用 - 绝无例外！

使 $\infty$ 不同的原因是：“没有比无穷大的数字更大”。您可以用很多不同的方式写下公式，但这里有一种方法：$1+\infty =\infty$。如果您将 1 加到无穷大，您仍然有无穷大；您没有得到一个更大的数字。如果您相信这一点，那么无穷大就不是一个数字。

由于 $\infty$ 不遵循为数字制定的规则，因此它不能是一个数字。每次您在公式中使用符号 $\infty$ 来代替您通常使用的数字时，您都必须以不同的方式解释该公式。让我们看看 $\infty$ 如何不遵循每个实际数字都遵循的规则

加法失效

每个数字都有一个负数，加法是结合律。对于 $\infty$，我们可以写 $-\infty$ 并注意到 $\infty -\infty =0$。这是一件好事，因为它意味着我们可以证明，如果你从无穷大中减去 1，你仍然有无穷大：$\infty -1=(\infty +1)-1=\infty +(1-1)=\infty +0=\infty$。但这同时也意味着我们可以证明 1 = 0，这不是一件好事。

${\begin{aligned}&1+\infty =\infty \\&(1+\infty )-\infty =\infty -\infty \\&1+(\infty -\infty )=\infty -\infty \\&1=0\end{aligned}}$

因此，$\infty -\infty ={\text{indeterminate}}$ .

重新解释使用$\infty$的公式

我们从一个公式开始，即使它使用了$\infty$ 和 $\infty$ 而不是数字，它仍然“意味着”一些东西。

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=\infty$

与我们使用常规数字而不是无穷大符号相比，这意味着什么？

$\lim _{x\to 2}{\frac {1}{x}}={\frac {1}{2}}$

这个公式说明我可以确保 ${\frac {1}{x}}$ 的值与 ${\tfrac {1}{2}}$ 不会相差太大，只要我能控制 $x$ 偏离 2 的程度。我不需要让 ${\frac {1}{x}}$ 严格等于 ${\tfrac {1}{2}}$ ，但我也不能将 $x$ 控制得太严格。我必须给你一个范围来改变 $x$。如果你想要让 ${\frac {1}{x}}$ 非常接近 ${\tfrac {1}{2}}$，这个范围（可能）就会非常非常小。顺便说一下，当 $x=2$ 时发生了什么完全不重要。

如果我们将这段文字作为模板应用到我的原始公式上，我们会发现一些问题。将 0 代入 2，将 $\infty$ 代入 ${\frac {1}{2}}$。

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=\infty$

这个公式表明，只要我能控制 ${\frac {1}{x}}$ 与 $\infty$ 的差异不会太大，我就能确保 ${\frac {1}{x}}$ 的值。只要我控制 $x$ 远离 0 的变化范围。我不需要让 ${\frac {1}{x}}$ 完全等于 $\infty$，但我也不能对 $x$ 进行过于严格的控制。我必须给你一个范围来变化 $x$。如果你想看到 ${\frac {1}{x}}$ 变得非常非常接近 $\infty$，这个范围（可能）会非常非常小。顺便说一下，当 $x=0$ 时发生了什么根本不重要。

它接近于有意义，但还没有完全达到。说某个实数真的“接近” $\infty$ 并没有意义。例如，当 $x=0.001$ 且 ${\frac {1}{x}}=1000$ 时，说 1000 比 1 更接近 $\infty$ 真的有意义吗？求解以下关于 $\delta$ 的方程。

${\begin{aligned}&1000+\delta =\infty \\&\delta =\infty -1000\\&\delta =\infty \end{aligned}}$

${\begin{aligned}&1+\delta =\infty \\&\delta =\infty -1\\&\delta =\infty \end{aligned}}$

没有一个实数能无限接近于$\infty$；这正是$\infty$如此特殊的原因！因此，我们需要重新解释这句话。

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=\infty$

这个公式说，只要我能控制$x$远离 0 的变化程度，我就可以确保${\frac {1}{x}}$ **变得像你选择的任何数字一样大**。我不需要让${\frac {1}{x}}$ **大于所有数字**，但我也不能将$x$ 控制得太紧。我必须给你一个范围来改变$x$。如果你想看到${\frac {1}{x}}$变得非常非常 **大**，这个范围可能就非常非常小。顺便说一下，当$x=0$时发生的事情根本不重要。

你可以看到，这个公式的基本性质没有改变，但确切的细节需要一些人类的解读。虽然严谨的定义和清晰的区分对于数学研究至关重要，但有时一些非正式的改写也是可以的。你只需要确保你理解一个公式的真正含义，这样才能得出正确的结论。

练习

写出以下包含$\infty$ 的极限的解释性段落。请记住，你必须将实数与$\infty$ 之间的任何大小比较改为不同的短语。在第二种情况下，你将不得不自己弄清楚这个公式的含义。

1. $\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x^{2}}}=0$

2. $\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =2$