微积分/无穷极限

非正式的无穷极限

另一种类型的极限涉及观察 $f(x)$ 当 $x$ 变得很大的时候会发生什么。例如，考虑函数 $f(x)={\frac {1}{x}}$。当 $x$ 变得很大的时候，${\frac {1}{x}}$ 变得很小。事实上，${\frac {1}{x}}$ 随着 $x$ 变大而越来越接近 0。如果没有极限，谈论这个事实非常困难，因为 $x$ 可以不断变大，而 ${\frac {1}{x}}$ 永远不会真正达到 0；但极限语言的存在正是为了让我们谈论函数在接近某个东西时的行为，而不必关心它永远不会到达那里。然而，在这种情况下，我们遇到了与之前相同的问题：$x$ 需要多大才能确保 $f(x)$ 真的在趋近于 0？

在这种情况下，我们想说，无论我们想要 $f(x)$ 接近 0 多近，对于足够大的 $x$，$f(x)$ 都保证能达到那个接近程度。因此，我们又有了另一个定义。

定义：（无穷极限的定义）

我们称 $L$ 为 $f(x)$ 当 $x$ 趋近于无穷时的 极限，如果 $f(x)$ 任意接近 $L$ 只要 $x$ 足够大。

当这种情况成立时，我们写成

$\lim _{x\to \infty }f(x)=L$

或

$f(x)\to L\quad {\mbox{as}}\quad x\to \infty$

类似地，如果$f(x)$ 任意接近 $L$ 只要 $x$ 足够负， 我们称$L$ 为$f(x)$ 当$x$ 趋近负无穷时的 极限。

当这种情况成立时，我们写成

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=L$

或

$f(x)\to L\quad {\mbox{as}}\quad x\to -\infty$

所以，在这种情况下，我们写道

$\quad \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}=0$

并说“当$x$ 趋近无穷时，极限等于$0$”，或者“当$x$ 趋近无穷时，函数趋近于0”。

我们也可以写

$\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x}}=0$

因为使$x$ 非常负也会迫使${\frac {1}{x}}$ 接近$0$。

注意，然而，无穷大不是一个数字；它只是“无论多大”的简写。因此，这与我们在前两章中学到的常规极限不同。

有理函数的无穷大极限

一个经常出现的特殊情况是我们想要找到有理函数在$\infty$（或$-\infty$）的极限。有理函数就是通过将两个多项式相互除以得到的函数。例如，$f(x)={\frac {x^{3}+x-6}{x^{2}-4x+3}}$ 是一个有理函数。此外，任何多项式都是有理函数，因为$1$ 只是一个（非常简单的）多项式，所以我们可以把函数$f(x)=x^{2}-3$ 写成$f(x)={\frac {x^{2}-3}{1}}$，两个多项式的商。

当我们让变量变得非常大（正向或负向）时，考虑有理函数的分子。变量的最高指数项将支配分子，而其他项与支配项相比变得越来越不重要。分母也是如此。在极限情况下，其他项变得可以忽略不计，我们只需要检查分子和分母中的支配项。

有一个简单的规则来确定有理函数的极限，当变量趋近于无穷大时。寻找分子中变量的最高指数项。在分母中寻找相同的项。该规则基于这些信息。

• 如果分子中最高项的指数与分母中最高项的指数相匹配，则极限（在$\infty$ 和$-\infty$ 处）是最高项系数的比率。

• 如果分子具有最高项，则该分数称为“分子重”。如果当你将分子除以分母时，得到的变量指数是偶数，那么极限（在$\infty$ 和$-\infty$ 处）是$\infty$。如果是奇数，那么$\infty$ 处的极限是$\infty$，而$-\infty$ 处的极限是$-\infty$。

• 如果分母具有最高项，则该分数称为“分母重”，并且$\pm \infty$ 处的极限为 0。

请注意，如果分子或分母是一个常数（包括上面的 1），那么这与 $x^{0}$ 一样。此外，$x$ 的直接幂，如 $x^{3}$，的系数为 1，因为它与 $1x^{3}$ 一样。

示例

示例 1

求 $\lim _{x\to \infty }{\frac {x-5}{x-3}}$ 。

函数 $f(x)={\frac {x-5}{x-3}}$ 是两个多项式 $x-5$ 和 $x-3$ 的商。根据我们的规则，我们寻找分子中指数最高的项；它是 $x$。分母中指数最高的项也是 $x$。因此，极限是它们的系数之比。由于 $x=1x$，两个系数都是 1，$\lim _{x\to \infty }{\frac {x-5}{x-3}}={\frac {1}{1}}=1$ 。

示例 2

求 $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{3}+x-6}{x^{2}-4x+3}}$。

使用洛必达法则， $d/dx(x^{3}+x-6)=3x^{2}+1$

和

$d/dx(x^{2}-4x+3)=2x-4$

我们查看指数最高的项；对于分子，它是 $x^{3}$，而对于分母，它是 $x^{2}$。由于分子上的指数更高，我们知道在 $\infty$ 处的极限将为 $\infty$。所以，

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{3}+x-6}{x^{2}-4x+3}}=\infty$ .