微积分/积分技巧/无穷级数
最基本，也可能最难的评估类型是使用黎曼积分的正式定义。
使用积分的定义，我们可以评估 趋于无穷时的极限。此技巧要求对求和恒等式相当熟悉。此技巧通常被称为“按定义”评估，可用于找到定积分，只要被积函数足够简单。我们从积分的定义开始
然后选择 为 ，我们得到
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {b-a}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k}^{*})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f40e7f31f18d3120cd5854df2694f3311235f55b)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {b-a}{n}}\sum _{k=1}^{n}f{\big (}a+k{\tfrac {b-a}{n}}{\big )}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b06290f59d25334cae6e3aed92ee16522f02e4)
在一些简单的情况下，此表达式可以简化为一个实数，如果 在 上为正，则此实数可以解释为曲线下的面积。
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
找到 ，方法是将积分写成黎曼和的极限。
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2}{n}}\sum _{k=1}^{n}f{\big (}{\tfrac {2k}{n}}{\big )}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8553f66ff312824e700fe689c3250cb6b09d949)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {2k}{n}}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce8f80fe79da631f23a6f06327f4de672f6612d)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {4k^{2}}{n^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f54bd303d439fc7c9bcbd25f2722da50eb20115)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {8}{n^{3}}}\sum _{k=1}^{n}k^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eed134e3685881ee42d7a595d5f4f32286b053bf)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {8}{n^{3}}}\cdot {\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50443b6c2a1c7ab40b46665298d8ed1fd1f470c)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {2n^{2}+3n+1}{n^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/218c41740e24249292060210168ee62f21cdec64)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a96db66ea4877d42fbf0c92253cb7b1be9c02b9)
在其他情况下，甚至可以使用形式定义来计算不定积分。我们可以将不定积分定义如下
![{\displaystyle =\int \limits _{0}^{x}f(t)dt=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {x-0}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(t_{k}^{*})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b23ebc6e0ba82339f10e3faa642d16f27e931f)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {x}{n}}\sum _{k=1}^{n}f{\big (}0+{\tfrac {k(x-0)}{n}}{\big )}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/518c03c44547cc62f59e6c7eb03c8ff4837f181c)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {x}{n}}\sum _{k=1}^{n}f{\big (}{\tfrac {kx}{n}}{\big )}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b9da80feed61c6f9468e4035bb9842e475ee56)
假设 ，则我们可以如下计算不定积分。
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {x}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {kx}{n}}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c07b77821541c872c1ab8143e45e40a6bd106e1)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {x}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {k^{2}\cdot x^{2}}{n^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48139ada49a79ad9fde8058eaf5532f1cd5cab02)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {x^{3}}{n^{3}}}\sum _{k=1}^{n}k^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d95b2b271bb3b4613e3da68589ab9ccb2e33e0)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {x^{3}}{n^{3}}}\cdot {\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8bb425da40536b03bad50620678a44fa8949b02)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {x^{3}}{n^{3}}}\cdot {\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736cb2ee176fb6a1b5aa882df8b6df53a270cf88)
![{\displaystyle =x^{3}\cdot \lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2n^{3}}{6n^{3}}}+{\frac {3n^{2}}{6n^{3}}}+{\frac {n}{6n^{3}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e542a61937ccfd11fdfe054680a08e47f9ea8da)
![{\displaystyle =x^{3}\cdot \lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95f05d13bb1bdc37fa98d99ff8e5ea8e3b46997)
