微积分/广义积分

定积分的定义

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$

要求区间 $[a,b]$ 是有限的。微积分基本定理要求 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续。在本节中，你将学习一种评估不满足这些要求的积分的方法——要么是积分限为无穷大，要么是在区间 $[a,b]$ 上存在有限个间断点。不满足上述要求的积分称为广义积分。（如果你不熟悉洛必达法则，建议在阅读本节之前先复习一下。）

具有无限积分上限的广义积分

考虑积分

$\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}$

将有限的上限 $b$ 替换无穷大，得到

$\lim _{b\to \infty }\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{b}}\right)=\lim _{b\to \infty }\left(1-{\frac {1}{b}}\right)=1$

这个广义积分可以解释为 $f(x)={\frac {1}{x^{2}}}$、$y=0$（即 $x$ 轴）和 $x=1$ 之间的无界区域的面积。

定义

1. 假设 $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ 对所有 $b\geq a$ 都存在。 那么我们定义

$\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=\lim _{b\to \infty }\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ ，只要这个极限存在且有限。

如果它确实存在，我们说该积分是收敛的，否则我们说它是发散的。

2. 同样，如果 $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ 对所有 $a\leq b$ 都存在，我们定义

$\int \limits _{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim _{a\to -\infty }\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$

3. 最后假设 $c$ 是一个固定的实数，并且 $\int \limits _{-\infty }^{c}f(x)dx$ 和 $\int \limits _{c}^{\infty }f(x)dx$ 都是收敛的。 那么我们定义

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=\int \limits _{-\infty }^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{\infty }f(x)dx$

示例：收敛的广义积分 我们声称 $\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x}dx=1$ 为此，我们计算 $\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x}dx$ $=\lim _{b\to \infty }\int \limits _{0}^{b}e^{-x}dx$ $=\lim _{b\to \infty }(-e^{-x}){\Bigr |}_{0}^{b}$ $=\lim _{b\to \infty }\left(-e^{-b}+1\right)$ $=1$

示例：发散的瑕积分 我们断言积分 $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}$ 发散。 这是因为 $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}$ $=\lim _{b\to \infty }\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}$ $=\lim _{b\to \infty }\ln(x){\Bigr |}_{1}^{b}$ $=\lim _{b\to \infty }\left(\ln(b)-0\right)$ $=\infty$ 因此 $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}$ 发散。

示例：瑕积分 求 $\int \limits _{0}^{\infty }x^{2}e^{-x}dx$ 。 为了计算该积分，我们使用分部积分法两次，得到 $\int \limits _{0}^{b}x^{2}e^{-x}dx$ $=(-x^{2}e^{-x}){\Bigr |}_{0}^{b}+2\int \limits _{0}^{b}xe^{-x}dx$ $=-b^{2}e^{-b}+2\left((-xe^{-x}){\Bigr |}_{0}^{b}+\int \limits _{0}^{b}e^{-x}dx\right)$ $=-b^{2}e^{-b}+2\left(-be^{-b}-(e^{-x}){\Bigr |}_{0}^{b}\right)$ $=-b^{2}e^{-b}+2(-be^{-b}-e^{-b}+1)$ 现在，$\lim _{b\to \infty }e^{-b}=0$，由于指数函数比多项式函数增长更快，因此我们看到$\lim _{b\to \infty }b^{2}e^{-b}=0$ 以及 $\lim _{b\to \infty }be^{-b}=0$。因此， $\int \limits _{0}^{\infty }x^{2}e^{-x}dx=\lim _{b\to \infty }\int \limits _{0}^{b}x^{2}e^{-x}dx=0+2(0-0+1)=2$

示例：幂函数 证明$\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{p}}}={\begin{cases}{\frac {1}{p-1}},&{\text{if }}p>1\\{\text{diverges}},&{\text{if }}p\leq 1\end{cases}}$ 如果$p\neq 1$，则 $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{p}}}$ $=\lim _{b\to \infty }\int \limits _{1}^{b}x^{-p}dx$ $=\lim _{b\to \infty }\left({\frac {x^{-p+1}}{-p+1}}\right){\Bigg |}_{1}^{b}$ $=-{\frac {1}{1-p}}\lim _{b\to \infty }\left(b^{-p+1}-1\right)$ $={\begin{cases}{\frac {1}{p-1}},&{\text{if }}p>1\\{\text{diverges}},&{\text{if }}p<1\end{cases}}$ 请注意，我们必须假设 $p\neq 1$ 以避免除以 0。但是 $p=1$ 的情况已经在前面的例子中进行了讨论。

具有有限数量间断点的广义积分

首先，我们给出在一点处不连续的函数的积分定义。

具有单个间断点的广义积分的定义

如果 $f$ 在区间 $[a,b)$ 上连续，并在 $b$ 处不连续，我们定义

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{c\to b^{-}}\int \limits _{a}^{c}f(x)dx$

如果上述极限存在，我们说积分收敛，否则我们说它发散。

类似地，如果 $f$ 在区间 $(a,b]$ 上连续，并在 $a$ 处不连续，我们定义

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{c\to a^{+}}\int \limits _{c}^{b}f(x)dx$

最后假设 $f$ 在点 $c\in (a,b)$ 处不连续，并在 $[a,b]$ 中的所有其他点处连续。如果 $\int \limits _{a}^{c}f(x)dx$ 和 $\int \limits _{c}^{b}f(x)dx$ 收敛，我们定义

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$=$\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx$

示例 1 证明 $\int \limits _{0}^{1}{\frac {dx}{x^{p}}}={\begin{cases}{\frac {1}{1-p}},&{\text{if }}p<1\\{\text{diverges}},&{\text{if }}p\geq 1\end{cases}}$ 如果$p\neq 1$，则 $\int \limits _{0}^{1}{\frac {dx}{x^{p}}}$ $=\lim _{a\to 0^{+}}\int \limits _{a}^{1}x^{-p}dx$ $=\lim _{a\to 0^{+}}\left({\frac {x^{-p+1}}{-p+1}}\right){\Bigg |}_{a}^{1}$ $=-{\frac {1}{1-p}}\lim _{a\to 0^{+}}\left(1-a^{-p+1}\right)$ $={\begin{cases}{\frac {1}{1-p}},&{\mbox{if }}p<1\\{\text{diverges}},&{\text{if }}p>1\end{cases}}$ 注意我们假设了 $p\neq 1$ 避免除以零，因此我们单独处理 $p=1$ 的情况， $\int \limits _{0}^{1}{\frac {dx}{x}}=\lim _{a\to 0^{+}}\left[\ln {\big (}|x|{\big )}{\Big |}_{a}^{1}\right]=\lim _{a\to 0^{+}}{\Big [}-\ln(a){\Big ]}$ 它发散。

示例 2 积分 $\int \limits _{-1}^{3}{\frac {dx}{x-2}}$ 是不正确的，因为被积函数在 $x=2$ 处不连续。然而，如果我们没有注意到这一点，我们可能会想要应用微积分基本定理，并得出结论，它等于 $\ln {\big (}|x-2|{\big )}{\Big |}_{-1}^{3}=\ln(5)-\ln(3)=\ln \left({\tfrac {5}{3}}\right)$ 这是不正确的。事实上，积分是发散的，因为 ${\begin{aligned}\int \limits _{-1}^{3}{\frac {dx}{x-2}}&=\lim _{b\to 2^{-}}\int \limits _{-1}^{b}{\frac {dx}{x-2}}+\lim _{a\to 2^{+}}\int \limits _{a}^{3}{\frac {dx}{x-2}}\\&=\lim _{b\to 2^{-}}\ln {\big (}|x-2|{\big )}{\Big |}_{-1}^{b}+\lim _{a\to 2^{+}}\ln {\big (}|x-2|{\big )}{\Big |}_{a}^{3}\\&=\lim _{b\to 2^{-}}{\Big [}\ln(2-b)-\ln(3){\Big ]}+\lim _{a\to 2^{+}}{\Big [}\ln(1)-\ln(a-2){\Big ]}\\&=\lim _{b\to 2^{-}}{\Big [}\ln(2-b){\Big ]}-\ln(3)+\lim _{a\to 2^{+}}{\Big [}-\ln(a-2){\Big ]}\\\end{aligned}}$ 并且 $\lim _{b\to 2^{-}}{\Big [}\ln(2-b){\Big ]}$ 以及 $\lim _{a\to 2^{+}}{\Big [}-\ln(a-2){\Big ]}$ 都发散。

我们也可以给出具有有限个间断点的函数的积分的定义。

定义：具有有限个间断点的反常积分

假设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，除了点 $c_{1}<c_{2}<\ldots <c_{n}$ 在 $[a,b]$ 中。我们定义 ${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{c_{1}}f(x)dx+\int \limits _{c_{1}}^{c_{2}}f(x)dx+\int \limits _{c_{2}}^{c_{3}}f(x)dx+\cdots +\int \limits _{c_{n-1}}^{c_{n}}f(x)dx+\int \limits _{c_{n}}^{b}f(x)dx\end{aligned}}$ 只要右边的每个积分收敛。

请注意，通过将此定义与具有无限端点的反常积分的定义结合起来，我们可以定义具有有限个间断点和一个或多个无限端点的函数的积分。

比较检验

有些积分不容易计算。但是，仍然可以通过将它们与我们已经知道收敛的积分进行比较来证明它们收敛。

定理（比较检验） 令 $f,g$ 是为所有 $x\geq a$ 定义的连续函数。

1. 假设对于所有$x\geq a$，都有$g(x)\geq f(x)\geq 0$。那么如果$\int \limits _{a}^{\infty }g(x)dx$ 收敛，那么$\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx$ 也收敛。
2. 假设对于所有$x\geq a$，都有$f(x)\geq h(x)\geq 0$。那么如果$\int \limits _{a}^{\infty }h(x)dx$ 发散，那么$\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx$ 也发散。

类似的定理适用于形式为$\int \limits _{-\infty }^{b}f(x)dx$ 的广义积分以及具有间断点的广义积分。

示例：使用比较检验法证明收敛性 证明$\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\sin(x)+2}{x^{2}}}dx$ 收敛。 对于所有$x$，我们知道$-1\leq \sin(x)\leq 1$，所以$1\leq \sin(x)+2\leq 3$。这意味着 $0\leq {\frac {\sin(x)+2}{x^{2}}}\leq {\frac {3}{x^{2}}}$ . 我们已经看到 $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {3}{x^{2}}}dx=3\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}$ 收敛。因此，将 $f(x)={\frac {\sin(x)+2}{x^{2}}}$ 和 $g(x)={\frac {3}{x^{2}}}$ 代入比较检验，我们得到积分 $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\sin(x)+2}{x^{2}}}dx$ 也收敛。

示例：使用比较检验证明发散 证明 $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\sin(x)+2}{x}}dx$ 发散。 就像前面的例子一样，我们知道 $\sin(x)+2\geq 1$ 对于所有的 $x$ 。因此 ${\frac {\sin(x)+2}{x}}\geq {\frac {1}{x}}\geq 0$ 我们已经看到 $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}$ 发散。因此，将 $f(x)={\frac {\sin(x)+2}{x}}$ 和 $g(x)={\frac {1}{x}}$ 代入比较检验，我们得到 $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\sin(x)+2}{x}}dx$ 也发散。

比较定理的扩展

要应用比较定理，你并不真正需要 $g(x)\geq f(x)\geq 0$ 对所有 $x\geq a$ 成立。我们真正需要的是这个不等式对足够大的 $x$ 成立（即存在一个数 $c$ 使得 $g(x)\geq f(x)$ 对所有 $x\geq c$ 成立）。因为这样

$\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{\infty }f(x)dx$

因此第一个积分收敛当且仅当第三个积分收敛，我们可以将比较定理应用于 $\int \limits _{c}^{\infty }f(x)dx$ 部分。

示例 证明 $\int \limits _{1}^{\infty }{\sqrt {\frac {x^{7}}{e^{3x}}}}dx$ 收敛。 这个积分收敛的原因是，当 $x$ 很大时，被积函数中的 $e^{-x}$ 因子占主导地位。我们可以尝试比较 $x^{\frac {7}{2}}e^{-x}$ 与 $e^{-x}$ ，但由于 $x\geq 1$ ，不等式 $x^{\frac {7}{2}}e^{-x}\geq e^{-x}$ 的方向不对，无法证明收敛。 相反，我们将被积函数重写为$x^{\frac {7}{2}}e^{-{\frac {3x}{2}}}dx=x^{\frac {7}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}e^{-x}dx$ 。 由于极限$\lim _{x\to \infty }{\Big [}x^{\frac {7}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}{\Big ]}=0$ 我们知道当$x$ 足够大时，我们有$x^{\frac {7}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}\leq 1$ 。所以对于大的$x$ ， $x^{\frac {7}{2}}e^{-{\frac {7x}{2}}}=x^{\frac {7}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}e^{-x}\leq e^{-x}$ 由于积分$\int \limits _{1}^{\infty }e^{-x}dx$ 收敛，比较检验告诉我们$\int \limits _{1}^{\infty }{\sqrt {\frac {x^{7}}{e^{3x}}}}dx$ 也收敛。