微积分/积分技巧/利用复数积分

此方法需要理解和识别复数。特别是欧拉公式

$\cos(\theta )+i\sin(\theta )=e^{\theta i}$

例如，识别实部

${\text{Re}}\left\{e^{\theta i}\right\}=\cos(\theta )$

给定一个一般形式的积分

$\int e^{x}\cos(2x)dx$

我们可以将其复数化

$\int {\text{Re}}{\Big \{}e^{x}{\big (}\cos(2x)+i\sin(2x){\big )}{\Big \}}dx$

$\int {\text{Re}}{\big \{}e^{x}(e^{2xi}){\big \}}dx$

根据指数的基本法则

$\int {\text{Re}}\{e^{x+2ix}\}dx$

可以证明，“实部”运算符可以移到积分符号之外

${\text{Re}}\left\{\int e^{x(1+2i)}dx\right\}$

积分很容易求解

${\text{Re}}\left\{{\frac {e^{x(1+2i)}}{1+2i}}\right\}$

用$1-2i$ 乘以和除以

${\text{Re}}\left\{{\frac {1-2i}{5}}e^{x(1+2i)}\right\}$

可以改写为

${\text{Re}}\left\{{\frac {1-2i}{5}}e^{x}e^{2ix}\right\}$

应用欧拉公式

${\text{Re}}\left\{{\frac {1-2i}{5}}e^{x}{\big (}\cos(2x)+i\sin(2x){\big )}\right\}$

展开

${\text{Re}}\left\{{\frac {e^{x}}{5}}{\big (}\cos(2x)+2\sin(2x){\big )}+i\cdot {\frac {e^{x}}{5}}{\big (}\sin(2x)-2\cos(2x){\big )}\right\}$

取该表达式的实部

${\frac {e^{x}}{5}}{\big (}\cos(2x)+2\sin(2x){\big )}$

所以

$\int e^{x}\cos(2x)dx={\frac {e^{x}}{5}}{\big (}\cos(2x)+2\sin(2x){\big )}+C$