微积分/积分技术/部分分式分解

假设我们要找到 $\int {\frac {3x+1}{x^{2}+x}}dx$ 。一种方法是通过找到常数 $A$ 和 $B$ 来简化被积函数，使得

${\frac {3x+1}{x^{2}+x}}={\frac {3x+1}{x(x+1)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x+1}}$ .

这可以通过交叉相乘分数来完成，得到

${\frac {3x+1}{x(x+1)}}={\frac {A(x+1)+Bx}{x(x+1)}}$

由于两边具有相同的分母，我们必须有

$3x+1=A(x+1)+Bx$

这是一个关于 $x$ 的方程，因此无论 $x$ 是什么值，它都必须成立。如果我们将 $x=0$ 代入，我们得到 $A=1$ ，并将 $x=-1$ 代入得到 $=-B=-2$ ，所以 $B=2$ 。因此，我们看到

${\frac {3x+1}{x^{2}+x}}={\frac {1}{x}}+{\frac {2}{x+1}}$

回到原始积分

$\int {\frac {3x+1}{x^{2}+x}}dx$	$=\int {\frac {dx}{x}}+\int {\frac {2}{x+1}}dx$
	$=\int {\frac {dx}{x}}+2\int {\frac {dx}{x+1}}$
	$=\ln |x|+2\ln {\Big |}x+1{\Big |}+C$

将被积函数重写为更简单的分数之和，使我们能够将初始积分简化为更简单的积分之和。事实上，这种方法适用于任何有理函数的积分。

部分分式法

为了将有理函数 ${\frac {P(x)}{Q(x)}}$ 进行分解

• 步骤 1 使用长除法（如果需要）确保 $P(x)$ 的次数小于 $Q(x)$ 的次数（参见第 1.1 节的 分解有理函数）。
• 步骤 2 尽可能地分解 Q(x)。
• 步骤 3 写下部分分式分解的正确形式（见下文）并求解常数。

为了分解 Q(x)，我们必须将其写成线性因子（形如 $ax+b$）和不可约二次因子（形如 $ax^{2}+bx+c$，其中 $b^{2}-4ac<0$）的乘积。

某些因子可能是重复的。例如，如果 $Q(x)=x^{3}-6x^{2}+9x$，我们将 $Q(x)$ 分解为

$Q(x)=x(x^{2}-6x+9)=x(x-3)(x-3)=x(x-3)^{2}$

重要的是，在每个二次因子中，我们都有 $b^{2}-4ac<0$，否则可以进一步分解该二次部分。例如，如果 $Q(x)=x^{3}-3x^{2}+2x$，那么我们可以写成

$Q(x)=x(x^{2}-3x+2)=x(x-1)(x-2)$

现在我们将展示如何将 ${\frac {P(x)}{Q(x)}}$ 写成以下形式的项的和

${\frac {A}{(ax+b)^{k}}}$ 和 ${\frac {Ax+B}{(ax^{2}+bx+c)^{k}}}$

具体怎么做取决于 $Q(x)$ 的因式分解，现在我们给出可能出现的四种情况。

Q(x) 是线性因式的乘积，没有重复

这意味着 $Q(x)=(a_{1}x+b_{1})(a_{2}x+b_{2})\cdots (a_{n}x+b_{n})$，其中没有因式重复，也没有因式是另一个因式的倍数。

对于每个线性项，我们写下类似于 ${\frac {A}{(ax+b)}}$ 的东西，因此，我们总共写下了

${\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {A_{1}}{a_{1}x+b_{1}}}+{\frac {A_{2}}{a_{2}x+b_{2}}}+\cdots +{\frac {A_{n}}{a_{n}x+b_{n}}}$

示例 1 求 $\int {\frac {1+x^{2}}{(x+3)(x+5)(x+7)}}dx$ 这里我们有 $P(x)=1+x^{2}\ ,\ Q(x)=(x+3)(x+5)(x+7)$，并且 *Q(x)* 是线性因式的乘积。因此，我们写下 ${\frac {1+x^{2}}{(x+3)(x+5)(x+7)}}={\frac {A}{x+3}}+{\frac {B}{x+5}}+{\frac {C}{x+7}}$ 将等式两边乘以分母 $1+x^{2}=A(x+5)(x+7)+B(x+3)(x+7)+C(x+3)(x+5)$ 代入三个不同的x值，得到三个关于未知常数的方程 ${\begin{matrix}x=-3&1+3^{2}=2\cdot 4A\\x=-5&1+5^{2}=-2\cdot 2B\\x=-7&1+7^{2}=(-4)\cdot (-2)C\end{matrix}}$ 所以 $A={\tfrac {5}{4}}\ ,\ B=-{\tfrac {13}{2}}\ ,\ C={\tfrac {25}{4}}$， 以及 ${\frac {1+x^{2}}{(x+3)(x+5)(x+7)}}={\frac {5}{4x+12}}-{\frac {13}{2x+10}}+{\frac {25}{4x+28}}$ 现在可以对等式左侧进行积分。 $\int {\frac {1+x^{2}}{(x+3)(x+5)(x+7)}}dx={\tfrac {5}{4}}\ln {\Big |}x+3{\Big |}-{\tfrac {13}{2}}\ln {\Big |}x+5{\Big |}+{\tfrac {25}{4}}\ln {\Big |}x+7{\Big |}+C$

练习

使用部分分式分解的方法求解以下积分：

1. $\int {\frac {2x+11}{(x+6)(x+5)}}dx$

2. $\int {\frac {7x^{2}-5x+6}{(x-1)(x-3)(x-7)}}dx$

Q(x) 是线性因子的乘积，其中一些是重复的

如果 $(ax+b)$ 出现在 $Q(x)$ 的因式分解中 k 次，那么不要写 ${\frac {A}{ax+b}}$，而是使用更复杂的表达式

${\frac {A_{1}}{ax+b}}+{\frac {A_{2}}{(ax+b)^{2}}}+{\frac {A_{3}}{(ax+b)^{3}}}+\cdots +{\frac {A_{k}}{(ax+b)^{k}}}$

例 2 求 $\int {\frac {dx}{(x+1)(x+2)^{2}}}$ 这里 $P(x)=1$ 和 $Q(x)=(x+1)(x+2)^{2}$ 我们写 ${\frac {1}{(x+1)(x+2)^{2}}}={\frac {A}{x+1}}+{\frac {B}{x+2}}+{\frac {C}{(x+2)^{2}}}$ 将等式两边乘以分母 $1=A(x+2)^{2}+B(x+1)(x+2)+C(x+1)$ 代入三个 $x$ 的值，得到未知常数的三个方程， ${\begin{matrix}x=0&1=2^{2}A+2B+C\\x=-1&1=A\\x=-2&1=-C\end{matrix}}$ 因此 $A=1\ ,\ B=-1\ ,\ C=-1$，并且 ${\frac {1}{(x+1)(x+2)^{2}}}={\frac {1}{x+1}}-{\frac {1}{x+2}}-{\frac {1}{(x+2)^{2}}}$ 现在可以对等式左侧进行积分。 $\int {\frac {dx}{(x+1)(x+2)^{2}}}=\ln \left|x+1\right|-\ln \left|x+2\right|+{\frac {1}{x+2}}+C$ 现在我们利用对数的性质简化函数。 $\ln \left|x+1\right|-\ln \left|x+2\right|+{\frac {1}{x+2}}+C=\ln \left|{\frac {x+1}{x+2}}\right|+{\frac {1}{x+2}}+C$

练习

3. 使用部分分式法求解 $\int {\frac {x^{2}-x+2}{x(x+2)^{2}}}dx$。

Q(x) 包含一些未重复的二次项

如果 $ax^{2}+bx+c$ 出现，我们使用 ${\frac {Ax+B}{ax^{2}+bx+c}}$ 。

练习

使用部分分式法求解以下积分。

4. $\int {\frac {2}{(x+2)(x^{2}+3)}}dx$

5. $\int {\frac {dx}{(x+2)(x^{2}+2)}}$

Q(x) 包含一些重复的二次因子

如果 $ax^{2}+bx+c$ 出现了 k 次，则使用

${\frac {A_{1}x+B_{1}}{ax^{2}+bx+c}}+{\frac {A_{2}x+B_{2}}{(ax^{2}+bx+c)^{2}}}+{\frac {A_{3}x+B_{3}}{(ax^{2}+bx+c)^{3}}}+\cdots +{\frac {A_{k}x+B_{k}}{(ax^{2}+bx+c)^{k}}}$

练习

使用部分分式法求解以下积分。

6. $\int {\frac {dx}{(x-1)(x^{2}+1)^{2}}}$