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为了使求导规则反转以用于积分，我们继续沿着这条路走，反转乘积法则。

分部积分法

维基百科有相关信息在 分部积分法

如果 $y=uv$ 其中 $u$ 和 $v$ 是 $x$ 的函数，那么

y'=(uv)'=u'v+uv'

重新排列，

uv'=(uv)'-u'v

因此，

\int uv'dx=\int (uv)'\ dx-\int u'v\ dx

因此，

\int uv'\ dx=uv-\int vu'\ dx

或者

\int u\ dv=uv-\int v\ du

这是分部积分公式。它在许多涉及函数乘积的积分和其他积分中非常有用。

例如，为了处理

\int x\sin(x)dx

我们选择 $u=x$ 和 $dv=\sin(x)dx$ 。有了这些选择，我们有 $du=dx$ 和 $v=-\cos(x)$ ，我们有

\int x\sin(x)dx=-x\cos(x)-\int {\big (}-\cos(x){\big )}dx=-x\cos(x)+\int \cos(x)dx=\sin(x)-x\cos(x)+C

请注意，选择 $u$ 和 $dv$ 至关重要。如果我们选择相反的方式，使得 $u=\sin(x)$ 和 $dv=x\ dx$ ，结果将是

{\frac {x^{2}\sin(x)}{2}}-\int {\frac {x^{2}\cos(x)}{2}}dx

由此产生的积分并不比原来的积分更容易处理；我们可以说，这种分部积分的应用把我们引向了错误的方向。

因此，选择很重要。一个普遍的指导原则可以帮助我们做出选择，即尽可能地选择 $u$ 作为被积函数的因子，该因子在求导时会变得更简单。在最后一个例子中，我们看到 $\sin(x)$ 在求导时不会变得更简单： $\cos(x)$ 与 $\sin(x)$ 一样直观。

分部积分方法的一个重要特点是，我们通常需要不止一次地使用它。例如，为了积分

\int x^{2}e^{x}dx

我们首先选择 $u=x^{2}$ 和 $dv=e^{x}dx$ 来得到

\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx

请注意，我们仍然需要处理一个积分，我们通过再次使用分部积分来处理，其中 $u=x$ 和 $dv=e^{x}dx$ ，这将给我们

\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx=x^{2}e^{x}-2(xe^{x}-e^{x})+C=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+C

因此，由于被积函数中 $x^{2}$ 的幂，需要进行两次分部积分。

请注意，任何 x 的幂在求导时都会变得更简单，因此当我们看到一个形如

\int x^{n}f(x)dx

我们的第一个想法应该是考虑使用分部积分，其中 $u=x^{n}$ 。当然，为了使其有效，我们需要能够写出 $dv$ 的反导数。

示例

使用分部积分计算以下积分

\int e^{x}\sin(x)dx

解：如果我们令 $u=\sin(x)$ 和 $v'=e^{x}dx$ ，则我们有 $u'=\cos(x)dx$ 和 $v=e^{x}$ 。使用我们分部积分的规则得到

\int e^{x}\sin(x)dx=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)dx

我们似乎没有取得什么进展。

但是，如果我们再次使用分部积分，其中 $u=\cos(x)$ 和 $v'=e^{x}dx$ ，因此 $u'=-\sin(x)dx$ 和 $v=e^{x}$ ，我们得到

\int e^{x}\sin(x)dx=e^{x}\sin(x)-e^{x}\cos(x)-\int e^{x}\sin(x)dx

我们可以解这个恒等式来找到 $\sin(x)e^{x}$ 的反导数，得到

\int e^{x}\sin(x)dx={\frac {e^{x}{\big (}\sin(x)-\cos(x){\big )}}{2}}+C

对于定积分

只要保留端点，定积分的规则本质上与不定积分相同。

定积分的分部积分法 假设f 和g 可微，且它们的导数是连续的。那么

$\int \limits _{a}^{b}f(x)g'(x)dx={\big (}f(x)g(x){\big )}{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx$

$=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx$ .