微积分/积分技巧/降阶公式

降阶公式 是一种允许我们通过降阶将积分问题简化为解决更简单的积分问题的公式，然后进一步降阶，如此反复。

例如，如果我们令

$I_{n}=\int x^{n}e^{x}dx$

分部积分法可以将它简化为

$I_{n}=x^{n}e^{x}-n\int x^{n-1}e^{x}dx=$

$I_{n}=x^{n}e^{x}-nI_{n-1}$

这就是我们想要的降阶公式。注意，我们停在

$I_{0}=e^{x}$ .

类似地，如果我们令

$I_{n}=\int \sec ^{n}(\theta )d\theta$

那么分部积分法可以将它简化为

$I_{n}=\sec ^{n-2}(\theta )\tan(\theta )-(n-2)\int \sec ^{n-2}(\theta )\tan ^{2}(\theta )d\theta$

使用三角恒等式，$\tan ^{2}(\theta )=\sec ^{2}(\theta )-1$，我们现在可以写成

$I_{n}$	$=\sec ^{n-2}(\theta )\tan(\theta )+(n-2)\left(\int \sec ^{n-2}(\theta )d\theta -\int \sec ^{n}(\theta )d\theta \right)$
	$=\sec ^{n-2}(\theta )\tan(\theta )+(n-2)\left(I_{n-2}-I_{n}\right)$

重新排列，我们得到

$I_{n}={\frac {\sec ^{n-2}(\theta )\tan(\theta )}{n-1}}+{\frac {n-2}{n-1}}I_{n-2}$

注意，我们停在 $n=1$ 或者 2，分别取决于 $n$ 是奇数还是偶数。

正如这两个例子所示，当被积函数包含一个幂时，分部积分法通常会产生降阶公式。