微积分/积分技巧/无理函数

无理函数的积分比有理函数更难，而且许多积分无法进行。然而，有一些特定的类型可以通过适当的替换简化为有理函数的形式。

类型 1

被积函数包含 ${\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}$

使用替换 $u={\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}$ 。

示例

求 $\int {\frac {1}{x}}{\sqrt {\frac {1-x}{x}}}\,dx$ 。

求 $\int {\frac {x}{\sqrt[{3}]{ax+b}}}\,dx$ 。

类型 2

积分形式为 $\int {\frac {Px+Q}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}\,dx$

将 $Px+Q$ 写成 $Px+Q=p\cdot {\frac {d[ax^{2}+bx+c]}{dx}}+q$ 。

示例

求 $\int {\frac {4x-1}{\sqrt {5-4x-x^{2}}}}\,dx$ 。

类型 3

被积函数包含 ${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$ , ${\sqrt {a^{2}+x^{2}}}$ 或 ${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$

这在上面的“三角替换”中讨论过。以下是总结

1. 对于 ${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$ ，使用 $x=a\sin(\theta )$ 。
2. 对于 ${\sqrt {a^{2}+x^{2}}}$ ，使用 $x=a\tan(\theta )$ 。
3. 对于 ${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$ ，使用 $x=a\sec(\theta )$ 。

类型 4

积分的形式为 $\int {\frac {dx}{(px+q){\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}}$

使用替换 $u={\frac {1}{px+q}}$ 。

示例

找到 $\int {\frac {dx}{(1+x){\sqrt {3+6x+x^{2}}}}}$ 。

类型 5

其他包含无理函数的有理表达式 ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$

1. 如果 $a>0$ ，我们可以使用 $u={\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\pm {\sqrt {a}}x$ 。
2. 如果 $c>0$ ，我们可以使用 $u={\frac {{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\pm {\sqrt {c}}}{x}}$ 。
3. 如果 $ax^{2}+bx+c$ 可以分解为 $a(x-\alpha )(x-\beta )$ ，我们可以使用 $u={\sqrt {\frac {a(x-\alpha )}{x-\beta }}}$ 。
4. 如果 $a<0$ 且 $ax^{2}+bx+c$ 可以因式分解为 $-a(\alpha -x)(x-\beta )$，我们可以使用 $x=\alpha \cos ^{2}(\theta )+\beta \sin ^{2}(\theta )$