微积分/极限/练习

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基本极限练习

1.

\lim _{x\to 2}{\Big [}4x^{2}-3x-1{\Big ]}

9

9

2.

\lim _{x\to 5}{\Big [}x^{2}{\Big ]}

25

25

3.

\lim _{x\to {\frac {\pi }{4}}}{\Big [}\cos ^{2}(x){\Big ]}

1/2

1/2

4.

\lim _{x\to 1}{\Big [}5e^{x-1}-5{\Big ]}

0

0

解答

单边极限

求下列极限的值，或说明极限不存在。

5.

\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {x^{3}+x^{2}}{x^{3}+2x^{2}}}

{\frac {1}{2}}

{\frac {1}{2}}

6.

\lim _{x\to 7^{-}}{\Big [}|x^{2}+x|-x{\Big ]}

49

49

7.

\lim _{x\to -1^{+}}{\sqrt {1-x^{2}}}

0

0

8.

\lim _{x\to -1^{-}}{\sqrt {1-x^{2}}}

极限不存在。

9.

\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {|x|}{x}}

-1

-1

10.

\lim _{x\to 1^{-}}\arcsin(x)

{\frac {\pi }{2}}

{\frac {\pi }{2}}

解答

双边极限

求下列极限的值，或说明极限不存在。

11.

\lim _{x\to -1}{\frac {1}{x-1}}

-{\frac {1}{2}}

-{\frac {1}{2}}

12.

\lim _{x\to 4}{\frac {1}{x-4}}

极限不存在。

13.

\lim _{x\to 2}{\frac {1}{x-2}}

极限不存在。

14.

\lim _{x\to -3}{\frac {x^{2}-9}{x+3}}

-6

-6

15.

\lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-9}{x-3}}

6

6

16.

\lim _{x\to -1}{\frac {x^{2}+2x+1}{x+1}}

0

0

17.

\lim _{x\to -1}{\frac {x^{3}+1}{x+1}}

3

3

18.

\lim _{x\to 4}{\frac {x^{2}+5x-36}{x^{2}-16}}

{\frac {13}{8}}

{\frac {13}{8}}

19.

\lim _{x\to 25}{\frac {x-25}{{\sqrt {x}}-5}}

10

10

20.

\lim _{x\to 0}{\frac {|x|}{x}}

极限不存在。

21.

\lim _{x\to 2}{\frac {1}{(x-2)^{2}}}

\infty

\infty

22.

\lim _{x\to 3}{\frac {\sqrt {x^{2}+16}}{x-3}}

极限不存在。

23.

\lim _{x\to -2}{\frac {3x^{2}-8x-3}{2x^{2}-18}}

-{\frac {5}{2}}

-{\frac {5}{2}}

24.

\lim _{x\to 2}{\frac {x^{2}+2x+1}{x^{2}-2x+1}}

9

9

25.

\lim _{x\to 3}{\frac {x+3}{x^{2}-9}}

极限不存在。

26.

\lim _{x\to -1}{\frac {x+1}{x^{2}+x}}

-1

-1

27.

\lim _{x\to 1}{\frac {1}{x^{2}+1}}

{\frac {1}{2}}

{\frac {1}{2}}

28.

\lim _{x\to 1}\left[x^{2}+5x-{\frac {1}{2-x}}\right]

5

5

29.

\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+2x-3}}

0

0

30.

\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x^{2}+2x-3}}

{\frac {1}{2}}

{\frac {1}{2}}

31.

\lim _{x\to 1}{\frac {5x}{x^{2}+2x-3}}

极限不存在。

32.

\lim _{x\to -1}\ln({\sqrt {x^{2}-1}})

极限不存在。

33.

\lim _{x\to 1}\arcsin(x)

极限不存在。

解答

无穷大极限

求下列极限的值，或说明极限不存在。

34.

\lim _{x\to \infty }{\frac {-x+\pi }{x^{2}+3x+2}}

0

0

35.

\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}+2x+1}{3x^{2}+1}}

{\frac {1}{3}}

{\frac {1}{3}}

36.

\lim _{x\to -\infty }{\frac {3x^{2}+x}{2x^{2}-15}}

{\frac {3}{2}}

{\frac {3}{2}}

37.

\lim _{x\to -\infty }{\Big [}3x^{2}-2x+1{\Big ]}

\infty

\infty

38.

\lim _{x\to \infty }{\frac {2x^{2}-32}{x^{3}-64}}

0

0

39.

\lim _{x\to \infty }6

6

6

40.

\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}+4x}{x^{4}+2}}

0

0

41.

\lim _{x\to -\infty }{\frac {2x+3x^{2}+1}{2x^{2}+3}}

{\frac {3}{2}}

{\frac {3}{2}}

42.

\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{3}-3x^{2}+1}{3x^{2}+x+5}}

-\infty

-\infty

43.

\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}+2}{x^{3}-2}}

0

0

44.

\lim _{x\to \infty }{\frac {\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}{x}}

0

0

45.

\lim _{x\to -\infty }x^{2}\cos \left({\frac {1}{x}}\right)

\infty

\infty

46.

\lim _{x\to \infty }{\frac {\sin(\arctan(x))}{\arctan(-x)}}

-{\frac {2}{\pi }}

-{\frac {2}{\pi }}

解答

分段函数的极限

求下列极限的值，或说明极限不存在。

48. 考虑以下函数

f(x)={\begin{cases}(x-2)^{2}&{\text{if }}x<2\\x-3&{\text{if }}x\geq 2\end{cases}}

a.

\lim _{x\to 2^{-}}f(x)

0

0

b.

\lim _{x\to 2^{+}}f(x)

-1

-1

c.

\lim _{x\to 2}f(x)

极限不存在

考虑函数

g(x)={\begin{cases}-2x+1&{\text{if }}x\leq 0\\x+1&{\text{if }}0<x<4\\x^{2}+2&{\text{if }}x\geq 4\end{cases}}

a.

\lim _{x\to 4^{+}}g(x)

18

18

b.

\lim _{x\to 4^{-}}g(x)

5

5

c.

\lim _{x\to 0^{+}}g(x)

1

1

d.

\lim _{x\to 0^{-}}g(x)

1

1

e.

\lim _{x\to 0}g(x)

1

1

f.

\lim _{x\to 1}g(x)

2

2

考虑函数

h(x)={\begin{cases}2x-3&{\text{if }}x<2\\8&{\text{if }}x=2\\-x+3&{\text{if }}x>2\end{cases}}

a.

\lim _{x\to 0}h(x)

-3

-3

b.

\lim _{x\to 2^{-}}h(x)

1

1

c.

\lim _{x\to 2^{+}}h(x)

1

1

d.

\lim _{x\to 2}h(x)

1

1

解答

介值定理

51. 使用介值定理证明存在一个值

f(x)=3

对于

f(x)={\sqrt {x}}+{\frac {1}{\sqrt {x}}}

从

1\leq x\leq 9

。如果你不能使用介值定理来证明这一点，请说明原因。

注意

f(x)

在

x\in \left[1,9\right]

是连续的。因此，介值定理适用。对于所有

y\in \left[2,{\frac {10}{3}}\right]

，存在一个

c\in (1,9)

使得

f(c)=3

。

\blacksquare

注意

f(x)

在

x\in \left[1,9\right]

是连续的。因此，介值定理适用。对于所有

y\in \left[2,{\frac {10}{3}}\right]

，存在一个

c\in (1,9)

使得

f(c)=3

。

\blacksquare

52. 使用介值定理证明存在一个

x=\mu

使得

f(\mu )={\frac {\pi }{4}}

对于

f(x)={\frac {\sin(x)-\cos(x)}{\ln {x}}}

在

\pi \leq x\leq {\frac {9}{4}}\pi

上成立。如果你不能使用介值定理来证明这一点，请解释原因。

注意到

f(x)

在

x\in \left[\pi ,{\frac {9}{4}}\pi \right]

上是连续的。因此，介值定理适用。

f(\pi )={\frac {1}{\ln(\pi )}}

f\left({\frac {9}{4}}\pi \right)=0

众所周知，以下结论是正确的： $1\geq {\frac {\pi }{4}}\geq 0$ 。从那里，我们可以直接推导出以下结论

{\begin{aligned}{\frac {1}{\ln(\pi )}}\geq 1&\Rightarrow {\frac {1}{\ln(\pi )}}\geq 1\geq {\frac {\pi }{4}}\geq 0\\&\Rightarrow {\frac {1}{\ln(\pi )}}\geq {\frac {\pi }{4}}\geq 0\end{aligned}}

根据介值定理，如果

f(x)

在

x\in \left[\pi ,{\frac {9}{4}}\pi \right]

上连续，则存在一个

x=\mu

，使得

f\left({\frac {9}{4}}\pi \right)\leq f(\mu )\leq f(\pi )

，其中

\mu \in \left[\pi ,{\frac {9}{4}}\pi \right]

。

\blacksquare

注意到

f(x)

在

x\in \left[\pi ,{\frac {9}{4}}\pi \right]

上是连续的。因此，介值定理适用。

f(\pi )={\frac {1}{\ln(\pi )}}

f\left({\frac {9}{4}}\pi \right)=0

众所周知，以下结论是正确的： $1\geq {\frac {\pi }{4}}\geq 0$ 。从那里，我们可以直接推导出以下结论

{\begin{aligned}{\frac {1}{\ln(\pi )}}\geq 1&\Rightarrow {\frac {1}{\ln(\pi )}}\geq 1\geq {\frac {\pi }{4}}\geq 0\\&\Rightarrow {\frac {1}{\ln(\pi )}}\geq {\frac {\pi }{4}}\geq 0\end{aligned}}

根据介值定理，如果

f(x)

在

x\in \left[\pi ,{\frac {9}{4}}\pi \right]

上连续，则存在一个

x=\mu

，使得

f\left({\frac {9}{4}}\pi \right)\leq f(\mu )\leq f(\pi )

，其中

\mu \in \left[\pi ,{\frac {9}{4}}\pi \right]

。

\blacksquare

53. 利用介值定理证明存在一个值

x=\Gamma

，使得

f(\Gamma )=2

，对于

f(x)={\sqrt {-2x+4}}+5\ln \left(x^{2}\right)

在

-1\leq x\leq 1

上。如果不能利用介值定理证明，请说明原因。

注意，

f(x)

在

x=0

处不连续，因为

\lim _{x\to 0}f(x)

是无界的。因此，不能利用介值定理解决这个问题。

注意，

f(x)

在

x=0

处不连续，因为

\lim _{x\to 0}f(x)

是无界的。因此，不能利用介值定理解决这个问题。

解答

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