微积分/一些基本极限规则的证明

现在我们有了极限的正式定义，我们可以着手证明本章前面关于极限的一些性质。

极限的常数规则

如果 $a,b$ 是常数，那么 $\lim _{x\to a}b=b$ 。

极限的常数规则证明

我们需要找到一个 $\delta >0$ ，使得对于每个 $\varepsilon >0$ ，$|b-b|<\varepsilon$ 当且仅当 $0<|x-a|<\delta$ 。$|b-b|=0$ 并且 $\varepsilon >0$ ，因此 $|b-b|<\varepsilon$ 独立于任何 $\delta$ 的值都满足；也就是说，我们可以选择任何我们喜欢的 $\delta$ ，$\varepsilon$ 条件都成立。

极限的恒等式规则

如果 $a$ 是一个常数，那么 $\lim _{x\to a}x=a$ 。

证明

为了证明 $\lim _{x\to a}x=a$ ，我们需要找到一个 $\delta >0$ ，使得对于任何 $\varepsilon >0$ ，只要 $0<|x-a|<\delta$ ，就有 $|x-a|<\varepsilon$ 。选择 $\delta =\varepsilon$ 满足这个条件。

极限的标量积法则

假设对于有限的 $L$ ， $\lim _{x\to a}f(x)=L$ ，并且 $c$ 是一个常数。那么 $\lim _{x\to a}c\cdot f(x)=c\cdot \lim _{x\to a}f(x)=c\cdot L$

证明

根据上面的极限，特别地，存在一个 $\delta >0$ ，使得只要 $0<|x-a|<\delta$ ，就有 ${\Big |}f(x)-L{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{k}}$ ，对于某个 $k>0$ ，使得 $|c|<k$ 。因此

${\Big |}c\cdot f(x)-c\cdot L{\Big |}=|c|\cdot {\Big |}f(x)-L{\Big |}<k\cdot {\frac {\varepsilon }{k}}=\varepsilon$

极限的和法则

假设 $\lim _{x\to c}f(x)=L$ 且 $\lim _{x\to c}g(x)=M$ 。那么

$\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x)=L+M$

证明

由于我们知道 $\lim _{x\to c}f(x)=L$ 和 $\lim _{x\to c}g(x)=M$，一定存在函数（分别称为 $\delta _{f}(\varepsilon )$ 和 $\delta _{g}(\varepsilon )$），使得对于所有 $\varepsilon >0$，${\Big |}f(x)-L{\Big |}<\varepsilon$，只要 $|x-c|<\delta _{f}(\varepsilon )$，并且 ${\Big |}g(x)-M{\Big |}<\varepsilon$，只要 $|x-c|<\delta _{g}(\varepsilon )$。
将两个不等式相加得到 ${\Big |}f(x)-L{\Big |}+{\big |}g(x)-M{\big |}<2\varepsilon$。根据三角不等式，我们有${\bigg |}(f(x)-L)+(g(x)-M){\bigg |}={\bigg |}(f(x)+g(x))-(L+M){\bigg |}\leq {\Big |}f(x)-L{\Big |}+{\Big |}g(x)-M{\Big |}$，所以我们有 ${\bigg |}(f(x)+g(x))-(L+M){\bigg |}<2\varepsilon$，只要$|x-c|<\delta _{f}(\varepsilon )$ 且$|x-c|<\delta _{g}(\varepsilon )$。设$\delta _{fg}(\varepsilon )$ 为 $\delta _{f}({\tfrac {\varepsilon }{2}})$ 和 $\delta _{g}({\tfrac {\varepsilon }{2}})$ 中较小的那个。那么这个 $\delta$ 满足 $\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}$ 极限为 $L+M$ 的定义。

极限的差值法则

假设 $\lim _{x\to c}f(x)=L$ 且 $\lim _{x\to c}g(x)=M$ 。那么

$\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)-g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)-\lim _{x\to c}g(x)=L-M$

证明

定义 $h(x)=-g(x)$。根据极限的标量积法则，$\lim _{x\to c}h(x)=-M$。然后根据极限的和法则，$\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)-g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)+h(x){\Big ]}=L-M$。

极限的积法则

假设 $\lim _{x\to c}f(x)=L$ 且 $\lim _{x\to c}g(x)=M$。那么 $\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)\cdot \lim _{x\to c}g(x)=L\cdot M$

证明

令 $\varepsilon$ 为任意正数。假设意味着存在正数 $\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}$ 使得

$(1)\qquad {\Big |}f(x)-L{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2(1+|M|)}}$ 当 $0<|x-c|<\delta _{1}$

$(2)\qquad {\Big |}g(x)-M{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2(1+|L|)}}$ 当 $0<|x-c|<\delta _{2}$

$(3)\qquad {\Big |}g(x)-M{\Big |}<1$ 当 $0<|x-c|<\delta _{3}$

根据条件 (3)，我们看到

${\Big |}g(x){\Big |}={\bigg |}g(x)-M+M{\bigg |}\leq {\Big |}g(x)-M{\Big |}+|M|<1+|M|$ 当 $0<|x-c|<\delta _{3}$

假设 $0<|x-c|<\min\{\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}\}$，并使用 (1) 和 (2)，我们得到

${\begin{aligned}{\bigg |}f(x)g(x)-LM{\bigg |}&={\bigg |}f(x)g(x)-Lg(x)+Lg(x)-LM{\bigg |}\\&\leq {\bigg |}f(x)g(x)-Lg(x){\bigg |}+{\bigg |}Lg(x)-LM{\bigg |}\\&={\Big |}g(x){\Big |}\cdot {\Big |}f(x)-L{\Big |}+|L|\cdot {\Big |}g(x)-M{\Big |}\\&<(1+|M|){\frac {\varepsilon }{2(1+|M|)}}+(1+|L|){\frac {\varepsilon }{2(1+|L|)}}\\&=\varepsilon \end{aligned}}$

极限的商法则

假设$\lim _{x\to c}f(x)=L$ 且 $\lim _{x\to c}g(x)=M$ 且 $M\neq 0$ 。 则 $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to c}f(x)}{\lim \limits _{x\to c}g(x)}}={\frac {L}{M}}$

证明

如果我们能证明$\lim _{x\to c}{\frac {1}{g(x)}}={\frac {1}{M}}$ ， 那么我们可以定义一个函数， $h(x)$ 为 $h(x)={\frac {1}{g(x)}}$ 并利用极限的乘积法则来证明定理。 所以我们只需要证明$\lim _{x\to c}{\frac {1}{g(x)}}={\frac {1}{M}}$ 。

设$\varepsilon$ 为任意正数。 假设意味着存在正数$\delta _{1},\delta _{2}$ 使得

$(1)\qquad {\Big |}g(x)-M{\Big |}<{\frac {\varepsilon |M|^{2}}{2}}$ 当 $0<|x-c|<\delta _{1}$

$(2)\qquad {\Big |}g(x)-M{\Big |}<{\frac {|M|}{2}}$ 当 $0<|x-c|<\delta _{2}$

根据条件 (2) 我们看到

$|M|=|M-g(x)+g(x)|\leq |M-g(x)|+|g(x)|<{\frac {|M|}{2}}+|g(x)|$ 所以 $|g(x)|>{\frac {|M|}{2}}$ 当 $0<|x-c|<\delta _{2}$

这意味着

$(3)\qquad \left|{\frac {1}{g(x)}}\right|<{\frac {2}{|M|}}$ 当 $0<|x-c|<\delta _{2}$

假设 $0<|x-c|<\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$ 并使用 (1) 和 (3) 我们得到

${\begin{aligned}\left|{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{M}}\right|&=\left|{\frac {M-g(x)}{Mg(x)}}\right|\\&=\left|{\frac {g(x)-M}{Mg(x)}}\right|\\&=\left|{\frac {1}{g(x)}}\right|\cdot \left|{\frac {1}{M}}\right|\cdot |g(x)-M|\\&<{\frac {2}{|M|}}\cdot {\frac {1}{|M|}}\cdot |g(x)-M|\\&<{\frac {2}{|M|}}\cdot {\frac {1}{|M|}}\cdot {\frac {\varepsilon |M|^{2}}{2}}\\&=\varepsilon \end{aligned}}$

定理：（夹逼定理）

假设对于包含 $c$ 的某个开区间中的所有 $x$（可能除了 $x=c$ 本身），$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ 成立。同时假设 $\lim _{x\to c}g(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L$。那么，$\lim _{x\to c}f(x)=L$ 也成立。

证明

根据假设，我们知道存在一个 $\delta$ 使得当 $0<|x-c|<\delta$ 时，${\Big |}g(x)-L{\Big |}<\varepsilon$ 且 ${\Big |}h(x)-L{\Big |}<\varepsilon$。
这些不等式等价于当 $0<|x-c|<\delta$ 时，$L-\varepsilon <g(x)<L+\varepsilon$ 且 $L-\varepsilon <h(x)<L+\varepsilon$。
利用我们对 $f(x),g(x)$ 和 $h(x)$ 相对顺序的了解，我们有
当 $0<|x-c|<\delta$ 时，$L-\varepsilon <g(x)\leq f(x)\leq h(x)<L+\varepsilon$。
那么
当 $0<|x-c|<\delta$ 时，$-\varepsilon <f(x)-L<\varepsilon$。
所以
${\Big |}f(x)-L{\Big |}<\varepsilon$ 当 $0<|x-c|<\delta$ 。