微积分/参数方程简介

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简介

参数方程通常由两个方程定义，这两个方程使用参数指定图的 $x,y$ 坐标。它们使用参数（通常是 $t$ ）来确定 $x,y$ 坐标。

${\begin{aligned}x&=t\\y&=t^{2}\end{aligned}}$

注意：此参数方程等效于直角坐标方程 $y=x^{2}$ 。

${\begin{aligned}x&=\cos(t)\\y&=\sin(t)\end{aligned}}$

注意：此参数方程等效于直角坐标方程 $x^{2}+y^{2}=1$ 和极坐标方程 $r=1$ 。

参数方程可以通过使用 $t$ 表来显示每个 $t$ 值的 $x,y$ 值来绘制。也可以通过消去参数来绘制它们，尽管这种方法消除了参数的重要性。

参数方程可以通过三种方式描述

前两种形式使用频率更高，因为它们允许我们找到给定参数值下分量的值。最后一形式使用频率较低；它允许我们验证方程的解，或找到参数（或其某个常数倍数）。

参数方程可以通过参数形式来表示，方法是使用方程组来描述它。例如

${\begin{aligned}x&=t\\y&=t^{2}-1\end{aligned}}$

向量形式可以用来描述参数方程，类似于参数形式。在这种情况下，给出了位置向量

${\binom {x}{y}}={\binom {t}{t^{2}-1}}$

参数方程也可以用一组等式来描述。这是通过解出参数并使分量相等来完成的。例如

${\begin{aligned}x&=t\\y&=t^{2}-1\end{aligned}}$

从这里，我们可以解出 $t$

${\begin{aligned}t&=x\\t&=\pm {\sqrt {1+y}}\end{aligned}}$

因此，将两个等式的右侧相等

$x=\pm {\sqrt {1+y}}$

将参数方程转换为直角坐标方程，有几种常用的方法。第一种方法是解出其中一个方程的 $t$ ，然后将 $t$ 的新表达式替换到第二个方程中。

${\begin{aligned}x&=t-3\\y&=t^{3}\end{aligned}}$

$x=t-3$ 可以变成 $x+3=t$

$y=(x+3)^{3}$

${\begin{aligned}x&=3\cos(t)\\y&=4\sin(t)\end{aligned}}$

将三角函数分离出来

${\begin{aligned}\cos(t)&={\frac {x}{3}}\\\sin(t)&={\frac {y}{4}}\end{aligned}}$

使用恒等式

${\begin{aligned}&\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1\\&{\frac {x^{2}}{9}}+{\frac {y^{2}}{16}}=1\end{aligned}}$