微积分/幂级数

幂级数 的研究旨在研究可以在一定区间内逼近某个函数的级数。

动机

初等微积分 (微分) 用于获取关于在一点（即切线）与曲线相切的直线的信息。 这是通过计算曲线的梯度或斜率来完成的，在单个点上。 但是，这并没有为我们在更广泛的区间内给定点上曲线的实际值提供可靠的信息。 这就是幂级数概念变得有用的地方。

一个例子

考虑曲线 $y=\cos(x)$ ，关于点 $x=0$ 。 一个天真的近似值将是直线 $y=1$ 。 但是，为了获得更准确的近似值，请观察 $\cos(x)$ 在 $x=0$ 附近看起来像一个倒置的抛物线 - 因此，我们可能想知道哪个抛物线可以近似于 $\cos(x)$ 在此点附近。 这条曲线可能会想到

$y=1-{\frac {x^{2}}{2}}$

事实上，这是对 $\cos(x)$ 使用 2 次多项式（即 $x^{2}$ 的最高项）的最佳估计 - 但我们如何知道这是真的？ 这就是幂级数的研究：使用多项式找到函数的最佳近似值。

定义

一个幂级数（在一个变量中）是以下形式的无穷 级数

$f(x)=a_{0}(x-c)^{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+\cdots$ （其中 $c$ 是一个常数）

或者，等效地，

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$

收敛半径

当使用幂级数作为计算函数值的一种替代方法时，方程

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$

只能用于研究 $f(x)$ 幂级数收敛的地方 - 这可能发生在一个有限的范围内，或者对于所有 实数。

幂级数收敛到函数的区间大小（围绕其中心）被称为收敛半径。

一个例子

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$ （一个几何级数）

当 $|x|<1$ 时，它收敛，范围为 $f(x)-1<x<1$ ，因此，以 0 为中心的收敛半径为 1。还应该注意到，在收敛半径的端点处，即 $x=1$ 和 $x=-1$ 处，幂级数不收敛。

另一个例子

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

使用 比率检验，当连续项的比率小于 1 时，此级数收敛

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac {n!}{x^{n}}}\right|<1$

$=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x^{n}x^{1}}{n!(n+1)}}{\frac {n!}{x^{n}}}\right|<1$

$=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x}{n+1}}\right|<1$

这总是成立的 - 因此，此幂级数具有无限的收敛半径。实际上，这意味着幂级数始终可以用作原始函数 $e^{x}$ 的有效替代。

抽象

如果我们对任意幂级数使用比率检验，我们会发现它在以下情况下收敛

$\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}x|}{|a_{n}|}}<1$

当

$\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}x|}{|a_{n}|}}>1$

时，级数发散。

因此，收敛半径为

$r=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n}|}{|a_{n+1}|}}$$r=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n}|}{|a_{n+1}|}}$

如果此极限发散到无穷大，则级数具有无穷大的收敛半径。

[edit | edit source]

在收敛半径内，幂级数可以逐项微分和积分。

${\frac {d}{dx}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}(n+1)(x-c)^{n}$

$\int \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}(x-c)^{n}}{n}}+k$$\int \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}(x-c)^{n}}{n}}+k$

微分和积分的收敛半径与原始级数相同。

这使我们能够精确地求和合适的幂级数。例如，

${\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}\pm \cdots$${\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}\pm \cdots$

这是一个几何级数，当 $|x|<1$ 时收敛。两边积分，我们得到

这也会在 $|x|<1$ 时收敛。当 $x=-1$ 时，这是一个发散的调和级数；当 $x=1$ 时，这是一个收敛到 $\ln(2)$ 的交替级数，项数逐渐减小 - 这是在测试极值。

它也允许我们为无法精确计算的积分（例如误差函数）写出级数

$e^{-x^{2}}=\sum (-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{n!}}$

左侧无法精确积分，但右侧可以。

$\int \limits _{0}^{z}e^{-x^{2}}dx=\sum {\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)n!}}$

这为我们提供了该和的级数表示，该级数具有无限的收敛半径，使我们能够根据需要尽可能地逼近该积分。

请注意，这不是一个幂级数，因为 $z$ 的幂不是索引。

进一步阅读

• "解码罗塞塔石碑"，作者杰克·W·克伦肖，2005 年 10 月 12 日