微积分/复数

复数

在数学中，复数是一个形如

$a+bi$ 的数

其中 $a,b$ 是实数，而 $i$ 是虚数单位，具有性质 $i^{2}=-1$ 。实数 $a$ 被称为复数的实部，实数 $b$ 是虚部。实数可以被视为虚部为零的复数；也就是说，实数 $a$ 等同于复数 $a+0i$ 。

例如，$3+2i$ 是一个复数，实部为 3，虚部为 2。如果 $z=a+bi$ ，则实部 $a$ 用 ${\text{Re}}(z)$ 或 $\Re (z)$ 表示，虚部 $b$ 用 ${\text{Im}}(z)$ 或 $\Im (z)$ 表示。

复数可以像实数一样进行加减乘除，并具有其他优雅的性质。例如，仅用实数无法为每个具有实系数的多项式代数方程提供解，而复数可以（这是代数基本定理）。

相等

两个复数相等当且仅当它们的实部相等且它们的虚部相等。也就是说，$a+bi=c+di$ 当且仅当 $a=c$ 且 $b=d$ 。

符号和运算

所有复数的集合通常用 ${\rm {C}}$ 表示，或者用黑板粗体表示为 $\mathbb {C}$ （Unicode ℂ）。实数 $\mathbb {R}$ 可以被看作是“位于” $\mathbb {C}$ 中，通过将每个实数视为复数：$a=a+0i$ 。

复数的加法、减法和乘法通过正式应用代数的结合律、交换律和分配律，以及方程 $i^{2}=-1$ 来实现。

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$

$(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i$

复数的除法也可以定义（见下文）。因此，复数的集合构成一个域，与实数不同，它在代数上是封闭的。

在数学中，形容词“复数”意味着复数域是考虑的底层数域，例如复分析、复矩阵、复多项式和复李代数。

复数域

形式上，复数可以定义为实数对 $(a,b)$ ，以及运算

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)$

这样定义的复数构成一个域，称为复数域，记为 $\mathbb {C}$ （域是一个代数结构，其中定义了加法、减法、乘法和除法，并满足一定的代数定律。例如，实数构成一个域）。

实数 $a$ 与复数 $(a,0)$ 等价，这样实数域 $\mathbb {R}$ 就成为了 $\mathbb {C}$ 的一个子域。虚数单位 $i$ 可以定义为复数 $(0,1)$ ，这验证了

$(a,b)=a\cdot (1,0)+b\cdot (0,1)=a+bi\quad {\text{and}}\quad i^{2}=(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1$

在 $\mathbb {C}$ 中，我们有

• 加法单位（“零”）： $(0,0)$
• 乘法单位（“一”）： $(1,0)$
• $(a,b)$ 的加法逆元： $(-a,-b)$
• 非零 $(a,b)$ 的乘法逆元（倒数）： $\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\right)$

由于复数 $a+bi$ 由实数的有序对 $(a,b)$ 唯一确定，所以复数与平面上的点一一对应，该平面称为复平面。

复平面

复数 $z$ 可以看作二维笛卡尔坐标系中的一点或一个位置向量，该坐标系称为复平面或阿根图。该点以及复数 $z$ 可以用笛卡尔坐标（直角坐标）指定。复数的笛卡尔坐标分别是实部 $x={\text{Re}}(z)$ 和虚部 $y={\text{Im}}(z)$ 。用笛卡尔坐标表示复数称为该复数的笛卡尔形式或直角形式或代数形式。

极坐标形式

或者，复数 $z$ 可以用极坐标来表示。极坐标为 $r=|z|\geq 0$ ，称为绝对值或模数，以及 $\phi =\arg(z)$ ，称为 $z$ 的幅角。对于 $r=0$ ，任何 $\varphi$ 都表示同一个数字。为了得到唯一的表示，通常的选择是设置 $\arg(0)=0$ 。对于 $r>0$ ，幅角 $\varphi$ 在模 $2\pi$ 下是唯一的；也就是说，如果复数幅角的两个值相差 $2\pi$ 的整数倍，则它们被认为是等价的。为了得到唯一的表示，通常的选择是将 $\varphi$ 限制在区间 $(-\pi ,\pi ]$ 内，即 $-\pi <\varphi \leq \pi$ 。用极坐标表示复数的形式称为复数的极坐标形式。

从极坐标形式到直角坐标形式的转换

$x=r\cos(\varphi )$

$y=r\sin(\varphi )$

从直角坐标形式到极坐标形式的转换

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

$\varphi ={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{if }}x<0,y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{if }}x<0,y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0,y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0,y<0\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0,y=0\end{cases}}$

上述公式需要相当繁琐的分类讨论。然而，许多编程语言提供了反正切函数的变体。使用反余弦函数的公式需要更少的分类讨论。

$\varphi ={\begin{cases}\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\text{if }}y\geq 0,r\neq 0\\-\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\text{if }}y<0\\{\text{undefined}}&{\text{if }}r=0\end{cases}}$

极坐标形式的表示法

极坐标形式的表示法为

$z=r{\big (}\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ){\big )}$

被称为三角形式。表示法 ${\text{cis}}(\varphi )$ 有时用作 $\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )$ 的缩写。利用 欧拉公式，它也可以写成

$z=re^{i\varphi }$

被称为指数形式。

极坐标形式的乘法、除法、乘方和开方

在极坐标形式下，乘法、除法、乘方和开方比在直角坐标系中要容易得多。

利用 和差公式 可以得到

$r_{1}e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\varphi _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}$

以及

${\frac {r_{1}e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\cdot e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}$

整数指数的乘方；根据 棣莫弗定理，

${\big (}re^{i\varphi }{\big )}^{n}=r^{n}e^{ni\varphi }$

任意复数的指数运算在指数运算的文章中有所讨论。

两个复数的加法就是两个向量的加法，而乘以一个固定的复数可以看作同时进行旋转和拉伸。

乘以$i$ 相当于逆时针旋转 90° 或 ${\frac {\pi }{2}}$ 弧度。方程 $i^{2}=-1$ 的几何含义是，两次 90° 旋转的结果是 180° ($\pi$ 弧度) 旋转。即使是算术中的事实 $(-1)\cdot (-1)=1$，也可以从几何上理解为两次 180° 旋转的组合。

任何数（实数或复数）的所有根都可以用一个简单的算法找到。$n$ 次根由以下公式给出：

${\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}\,e^{i\left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)}$

对于 $k=0,1,2,\ldots ,n-1$，其中 ${\sqrt[{n}]{r}}$ 表示 $r$ 的主 $n$ 次根。

绝对值、共轭和距离

复数 $z=re^{i\varphi }$ 的绝对值（或模数或幅度）定义为 $|z|=r$。

代数上，如果 $z=a+bi$，那么 $|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

可以很容易地验证绝对值具有三个重要性质

$|z|=0$ 当且仅当 $z=0$

$|z+w|\leq |z|+|w|$（三角不等式）

$|z\cdot w|=|z|\cdot |w|$

对于所有复数 $z,w$ 。例如，由此可以得出 $|1|=1$ 和 $\left|{\frac {z}{w}}\right|={\frac {|z|}{|w|}}$ 。通过定义 **距离** 函数 $d(z,w)=|z-w|$，我们将复数集合转换为一个 度量空间，因此我们可以谈论极限和连续性。

复数 $z=a+bi$ 的 **共轭复数** 被定义为 $a-bi$，记为 ${\bar {z}}$ 或 $z^{*}$。如图所示， ${\bar {z}}$ 是 $z$ 关于实轴的“反射”。可以验证以下关系

${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$

${\overline {z\cdot w}}={\bar {z}}\cdot {\bar {w}}$

${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}$

${\bar {\bar {z}}}=z$

${\bar {z}}=z$ 当且仅当 $z$ 是实数。

$|z|=|{\bar {z}}|$

$|z|^{2}=z\cdot {\bar {z}}$

$z^{-1}={\bar {z}}\cdot |z|^{-2}$ 如果 $z$ 非零。

当复数以直角坐标给出时，后一个公式是计算复数逆的最佳方法。

共轭与所有代数运算（以及许多函数；例如 $\sin({\bar {z}})={\overline {\sin(z)}}$）的交换性源于对 $i$ 的选择具有模糊性（−1 有两个平方根）。然而，重要的是要注意，函数 $f(z)={\bar {z}}$ 不是复可微的。

欧拉公式

让我们回顾一下给定函数 $y=f(x)$ 

$y=f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+{\frac {f''(0)\cdot x^{2}}{2!}}+{\frac {f'''(0)\cdot x^{3}}{3!}}+\cdots$

这里，$n!$ 是 阶乘 的 $n$ 。

为了写出麦克劳林展开式，我们需要知道给定函数的一阶导数、二阶导数、三阶导数等。我们知道的导数阶数越高，展开式就越精确。因此，理想情况下，如果我们能够知道所有阶数的导数，那么展开式将是绝对精确的。幸运的是，有一些函数的所有导数都是已知的：正弦、余弦和指数函数 $y=e^{x}$ 是这样三个函数的例子。

$e^{x}$ 的导数是它本身，因此 $e^{x}$ 的所有导数都是 $e^{x}$ 。

$e^{x}$ 的麦克劳林展开式是

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$

它对所有实数有效，因为它始终是收敛的。

$\sin(x)$ 的导数是

${\begin{aligned}&y=\sin(x)\\&y'=\cos(x)\\&y''=-\sin(x)\\&y'''=-\cos(x)\\&y^{(4)}=\sin(x)\\&y^{(5)}=\cos(x)\end{aligned}}$

五阶导数与一阶导数相同，因此六阶导数与二阶导数相同，以此类推。

$\cos(x)$ 也一样。一阶导数是 $-\sin(x)$ ，二阶导数是 $-\cos(x)$ ，以此类推。

$\sin(x)$ 的麦克劳林展开式是

$\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$

$\cos(x)$ 的麦克劳林展开式是

$\cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots$

这些公式对所有实数都有效，因为它们总是收敛的。

但是，如果有人代入一个虚数并计算 $e^{i\cdot x}$，其中 $x$ 是实数？这听起来可能很荒谬，无法想象，因为指数形式的虚数还没有定义。但是，如果我们真的这样做，我们会得到一个有趣的结果。

${\begin{aligned}e^{ix}&=1+i\cdot x+{\frac {(i\cdot x)^{2}}{2!}}+{\frac {(i\cdot x)^{3}}{3!}}+{\frac {(i\cdot x)^{4}}{4!}}+{\frac {(i\cdot x)^{5}}{5!}}+{\frac {(i\cdot x)^{6}}{6!}}+{\frac {(i\cdot x)^{7}}{7!}}+\cdots \\&=1+i\cdot x-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {i\cdot x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {i\cdot x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {i\cdot x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&=\cos(x)+i\sin(x)\end{aligned}}$

结果是 $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$。这个等式被称为 *欧拉公式*。

这是数学中最奇妙的公式，因为指数函数和三角函数通过虚数单位$i$ 以这种方式联系在一起。如前所述，$e^{ix}$ 没有定义，但为什么不这样定义呢？它不违反任何数学规则，而且可能会展示一些深层数学的性质。如果我们将$x=\pi$ 代入，方程将变为

$e^{\pi i}=-1$

被称为 *欧拉恒等式*。

许多人喜欢将欧拉恒等式写成

$e^{\pi i}+1=0$

因为在这个公式中，我们有五个最重要的数学常数，$0,1,i,e,\pi$ 全都在一个方程式中，没有其他任何东西。

根据同样的推理，我们得到以下恒等式

$e^{0i}=e^{0}=1$

$e^{{\frac {\pi }{2}}i}=i$

$e^{\pi i}=-1$

$e^{{\frac {3\pi }{2}}i}=-i$

$e^{2\pi i}=1$

$e^{{\frac {5\pi }{2}}i}=i$

等等。

复数分数

我们可以用两种方法将一个复数$a+bi$ 除以另一个复数$c+di\neq 0$。第一种方法已经暗示：将两个复数都转换为指数形式，从中可以很容易地得到它们的商。第二种方法是将除法表示为分数，然后用分母的复共轭乘以分子和分母。新的分母是一个实数。

${\begin{aligned}{\frac {a+bi}{c+di}}&={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}\\&=\left({\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}\right)+\left({\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\right)i\end{aligned}}$

复数的矩阵表示

虽然通常没有用，但复数域的替代表示可以让人们对其本质有所了解。一个特别优雅的表示将每个复数解释为具有实数项的 2×2 矩阵，该矩阵拉伸和旋转平面的点。每个这样的矩阵都具有以下形式

${\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}$

其中$a,b$ 是实数。两个此类矩阵的和与积仍然是这种形式。这种形式的每一个非零矩阵都是可逆的，它的逆矩阵也是这种形式。因此，这种形式的矩阵构成一个域。实际上，这正是复数域。每一个这样的矩阵可以写成

${\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}=a{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+b{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$

这表明我们应该将实数 1 与单位矩阵等同起来

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

以及虚数单位$i$ 与

${\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$

顺时针旋转 90 度。注意，后一个矩阵的平方确实等于表示 -1 的 2×2 矩阵。

以矩阵形式表示的复数的绝对值的平方等于该矩阵的行列式。

$|z|^{2}={\begin{vmatrix}a&-b\\b&a\end{vmatrix}}=(a^{2})-((-b)(b))=a^{2}+b^{2}$

如果将矩阵视为平面变换，那么变换将点绕一个等于复数幅角的角度旋转，并按一个等于复数绝对值的因子缩放。复数$z$的共轭对应于变换，该变换将绕与$z$相同角度但相反方向旋转，并以与$z$相同的方式缩放；这可以用对应于$z$的矩阵的转置来表示。

如果矩阵元素本身是复数，那么得到的代数就是四元数的代数。换句话说，这种矩阵表示是表达凯莱-迪克森代数构造的一种方式。

练习

1) 如果$z=\exp(i\theta )\ \ {\text{prove then that}}\ \ z+{\bar {z}}=2\cos \theta .$

2) 经过 0 和 z 的直线垂直于经过 0 和 w 的直线，当  $z{\bar {w}}+w{\bar {z}}=0.$

3) 考虑旋转变换 $T(z)\ =\ e^{i\theta }z.$。证明垂直线在变换T下仍然映射为垂直线。

4) 使用矩阵表示法计算以下两个复数的加法、减法和乘法：$z_{1}=3+5i,z_{2}=7-12i$