微积分/序列
序列是指按一定顺序排列的对象(或事件)列表。类似于集合,它包含成员(也称为元素或项),项的数量(可能是无限的)称为序列的长度。与集合不同,顺序很重要,并且完全相同的元素可以在序列的不同位置出现多次。
例如,(C, R, Y) 是一个字母序列,它与 (Y, C, R) 不同,因为顺序很重要。序列可以是有限的,如本例所示,也可以是无限的,例如所有偶正整数的序列 (2, 4, 6, ...)。
在数学中,存在各种各样且截然不同的序列概念,其中一些(例如,精确序列)不在下面介绍的符号中。
一个序列可以用 (a1, a2, ...) 表示。为了简洁起见,也使用符号 (an)。
有限序列的更正式定义是在集合 S 中的项,是一个从 {1, 2, ..., n} 到 S 的函数,其中 n ≥ 0。S 中的无限序列是从 {1, 2, ...}(自然数集,不包括 0)到 S 的函数。
序列也可以从 0 开始,因此序列中的第一项是 a0。
有限序列也称为 n 元组。有限序列包括空序列 ( ),它没有元素。
从所有整数到集合的函数有时被称为双无限序列,因为它可以被认为是由负整数索引的序列嫁接到由正整数索引的序列上。
序列 称为调和序列。
如果 c 和 d 是给定的数字,那么序列 是一个等差数列。
如果 b 和 r ≠ 0 是给定的,那么序列 是一个等比数列。
给定序列的子序列是指通过删除一些元素(如引言中所述,这些元素也可以称为“项”),而不改变剩余元素的相对位置,从给定序列形成的序列。
如果序列的项是某个有序集合的子集,则单调递增序列是指每个项都大于或等于它前面的项的序列;如果每个项都严格大于它前面的项,则该序列称为严格单调递增。单调递减序列的定义类似。满足单调性性质的任何序列都称为单调的或单调的。这是更一般的单调函数概念的一个特例。既递增又递减(在序列的不同位置)的序列被称为非单调的或非单调的。
术语非递减和非递增通常用于避免与严格递增和严格递减的任何可能的混淆。如果序列的项是整数,则该序列是整数序列。如果序列的项是多项式,则该序列是多项式序列。
如果 S 被赋予一个拓扑(例如,与实数一样),那么就可以考虑 S 中无限序列的收敛。这些考虑涉及序列极限的概念。
可以证明,有界单调序列必须收敛。
在分析中,当谈到序列时,通常会考虑以下形式的序列
- 或
也就是说,由自然数索引的无限序列元素。(让序列从 1 或 0 以外的索引开始可能很方便。例如,由 xn = 1/log(n) 定义的序列仅在 n ≥ 2 时定义。当谈论这些无限序列时,通常足够(并且对于大多数考虑因素而言没有太大区别)假设序列的成员至少在所有足够大的索引处定义,也就是说,大于某个给定的 N。)
最基本类型的序列是数字序列,即实数或复数序列。