微积分/一些重要定理/解答

罗尔定理

1. 证明罗尔定理在函数 $f(x)=x^{2}-3x$ 的 x 轴截距之间成立。

均值定理

2. 证明 $h(a)=h(b)$，其中 $h(x)$ 是柯西均值定理证明中定义的函数。

3. 证明中值定理可以由柯西中值定理推导出来。

4. 对于函数 $f(x)=x^{3}$，端点为 $x=0$ 和 $x=2$，求满足中值定理的 $x=c$。

1: 使用中值定理的表达式

${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

代入值。我们选择的区间是 $[0,2]$。所以，我们有

${\frac {f(2)-f(0)}{2-0}}={\frac {8}{2}}=4$

2: 根据中值定理，我们知道在区间内存在一个点，其斜率与该点相同。因此，让我们求导数来找到这个点 $x=c$.

${\frac {dy}{dx}}=3x^{2}$

现在，我们知道该点的斜率是 4。所以，该点 $c$ 的导数是 4。因此，$4=3x^{2}$。所以 $x={\sqrt {4/3}}=\mathbf {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$

5. 在函数 $f(x)=\sin(x)$ 和区间 $[0,\pi ]$ 上，找到满足中值定理的点。

1: 我们从表达式开始

${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

所以，

${\frac {\sin(\pi )-\sin(0)}{\pi -0}}=0$

(记住，sin(π) 和 sin(0) 都是 0。)

2: 现在我们有了直线的斜率，我们必须找到具有相同斜率的点 x = c。我们现在必须求导数！

${\frac {d\sin(x)}{dx}}=\cos(x)=0$

余弦函数在 $\pi /2+\pi n$ (其中 $n$ 是一个整数) 为 0。记住，我们受区间 $[0,\pi ]$ 的限制，所以 $\mathbf {\pi /2}$ 是满足中值定理的点 $c$。