微积分/空间中的曲线和曲面

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对于许多实际应用，您需要使用三维空间中 **直线**、**平面**、**曲线** 和 **曲面** 的数学描述。这需要一些关于向量的知识，以及在不使用计算器的情况下构建三维图形的能力。

三维空间中的直线

虽然直线方程在之前的章节中讨论过（参见第 7.1 章），但本章将更详细地解释直线的性质和重要方面，以及扩展到三维空间中的一般曲线。

参数方程的回顾

回想一下，在第 5.1 章中，参数方程使用不同的变量来表示两个变量之间的关系。例如，看下面的圆的方程

$x^{2}+y^{2}=1$

如果我们用新的变量 $t$ 来表示变量 $x$ 和 $y$ ，并且我们知道 $\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1$ ，我们可以将原始方程改写为

$x=\cos t$

$y=\sin t$

上面的方程是半径为 $1$ 的圆的参数形式。

现在，我们来谈谈三维空间中的直线。

三维空间中直线的方程

空间中的一条直线由空间中的两个点定义，我将它们称为 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 。设 $\mathbf {r} _{0}$ 为从原点到 $P_{1}$ 的向量， $\mathbf {r} _{2}$ 为从原点到 $P_{2}$ 的向量。给定这两个点，直线上所有其他点 $P$ 都可以通过以下方式到达：

\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} t

其中 $\mathbf {v}$ 是从 $P_{1}$ 到 $P_{2}$ 的向量

\mathbf {v} =\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{2}

为了直观地理解直线方程，想象有一条直线穿过向量 $\mathbf {r} _{0}$ 的端点，并沿着向量 $\mathbf {v}$ 的方向延伸。只需将其视为点斜式的一个向量版本。例如，假设空间中存在一条直线，其方程为：

$\mathbf {r} =\langle 2,5,4\rangle +\langle 1,1,1\rangle t$

我们可以通过先找到点 $(2,5,4)$ 来绘制这条直线。然后，我们将直线沿着平行于向量 $\langle 1,1,1\rangle$ 的方向拉伸。最终的图形是直线 $\mathbf {r} =\langle 2,5,4\rangle +\langle 1,1,1\rangle t$ 的图形。有时方向向量 $\mathbf {v}$ 是未知的。但是，通过找到直线上另一个点，可以很容易地解决这个问题。在本例中，点 $(5,8,7)$ 在直线上。通过计算这两个点之间的向量，我们可以发现方向向量是 $\langle 3,3,3\rangle$ 。因此，直线的方程可以写成

$\mathbf {r} =\langle 2,5,4\rangle +\langle 3,3,3\rangle t_{1}$

它与原始方程 $\mathbf {r} =\langle 2,5,4\rangle +\langle 1,1,1\rangle t$ 等效，因为如果我们令 $t=3t_{1}$ ，原始方程将变为上面的方程。因此，在三维空间中，可以使用向量形式以无限多种方式编写直线的方程。现在，有一种表达直线的参数形式。回想一下，还有另一种写向量的方法： $a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k}$ 。所以，我们可以将原始方程 $\mathbf {r} =\langle 2,5,4\rangle +\langle 1,1,1\rangle t$ 重写为

$\mathbf {r} =\langle 2+t,5+t,4+t\rangle =(2+t)\mathbf {i} +(5+t)\mathbf {j} +(4+t)\mathbf {k}$

然后，我们将各个部分分配给相应的 $x,y,z$ 轴

$x=2+t$
$y=5+t$
$z=4+t$

这是直线方程的参数形式。

最后一种常用的表示直线的方式是对称方程，它只是参数形式的另一种微小变换。

$x-2=y-5=z-4$

总之，有三种基本方法可以写出通过点 $(x_{0},y_{0},z_{0})$ 且方向为 $\langle a,b,c\rangle$ 的直线方程。

向量方程	参数方程	对称方程
$\mathbf {r} =\langle x_{0},y_{0},z_{0}\rangle +\langle a,b,c\rangle t$	$x=x_{0}+at$ $y=y_{0}+bt$ $z=z_{0}+ct$	${\frac {x-x_{0}}{a}}={\frac {y-y_{0}}{b}}={\frac {z-z_{0}}{c}}$

两条直线之间的关系

直线之间有相交的，也有不相交的。直线可以是平行、垂直或异面的，这些将在本部分进行讨论。

交点

假设有两条直线，其方程分别为：

$L_{1}:\langle 2,5,4\rangle +\langle 1,1,1\rangle t$ 或参数形式 $L_{1}:{\begin{cases}x=2+t\\y=5+t\\z=4+t\end{cases}}$

$L_{2}:\langle 5,-1,0\rangle +\langle -{\frac {1}{2}},4,3\rangle s$ 或参数形式 $L_{2}:{\begin{cases}x=5-{\frac {1}{2}}s\\y=-1+4s\\z=3s\end{cases}}$

要确定它们是否相交，我们只需要解以下方程组：

${\begin{cases}2+t=5-{\frac {1}{2}}s\\5+t=-1+4s\\4+t=3s\end{cases}}$

如果方程组只有一个解，那么两条直线在一个点上相交。如果方程组有无限多个解，那么两条直线是相同的。如果方程组没有解，那么两条直线根本不相交。在这种情况下，有一个解

${\begin{cases}t=2\\s=2\end{cases}}$

因此，两条直线在点 $(4,7,6)$ 相交。如果我们想进一步了解两条直线之间的夹角，我们可以应用点积公式。两条直线之间的夹角应该是

$\theta =\arccos({\frac {\mathbf {v_{1}} \,\cdot \,\mathbf {v_{2}} }{\|\mathbf {v_{1}} \|\|\mathbf {v_{2}} \|}})$

平行

要在三维空间中发现两条平行线，我们只需要查看方向向量 $\mathbf {v}$ 。如果两条直线的方向向量 $\mathbf {v_{1}} ,\mathbf {v_{2}}$ 之间存在这样的关系： $\mathbf {v_{2}} =k\mathbf {v_{1}} ,k\in \mathbb {R}$ ，那么这两条直线相互平行。例如，两条直线 $L_{1}:\langle 2,5,4\rangle +\langle 1,1,1\rangle t$ 和 $L_{2}:\langle 5,-1,0\rangle +\langle -3,-3,-3\rangle s$ 彼此平行，因为 ${\frac {\langle -3,-3,-3\rangle }{-3}}=\langle 1,1,1\rangle$ 。

垂直

为了使两条直线相互垂直，这两条直线首先必须相交。如果它们确实相交，请回忆一下向量的点积。点积指出

$\mathbf {a} \,\cdot \,\mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\cos \theta$

如果两条直线相互垂直， $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ ，这导致 $\mathbf {a} \,\cdot \,\mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\cos {\frac {\pi }{2}}=0$ 。

所以，如果我们继续这种思路，我们可以发现，如果我们在每条直线上选择两个向量，对它们进行点积，结果为零，那么我们可以肯定地说这两条直线相互垂直。但是，有一种更方便的方法来简化这个过程。我们不需要在每条直线上找到两个向量，而只需要对两个方向向量应用点积，因为方向向量是从各自直线上的点计算出来的。

因此，如果我们有两条直线

$L_{1}:\langle 2,5,4\rangle +\langle 1,1,1\rangle t$ 和 $L_{2}:\langle 6,6,5\rangle +\langle -2,1,1\rangle s$

它们相互垂直，因为

${\begin{cases}2+t=6-2s\\5+t=6+s\\4+t=5+s\end{cases}}$ 只有一个解： ${\begin{cases}t=2\\s=1\end{cases}}$ ，这意味着它们相交。而且 $\langle 1,1,1\rangle \,\cdot \,\langle -2,1,1\rangle =0$

因此证明结束。

异面直线

异面直线是不相交且不平行的直线。例如，直线 $L_{1}:\langle 2,5,4\rangle +\langle 1,1,1\rangle t$ 和 $L_{2}:\langle 5,-1,0\rangle +\langle 3,-3,-3\rangle s$ 是异面直线。

两条异面直线之间的距离

为了解决这个问题，我们需要了解三维空间中的平面，这将在下面讨论。

三维空间中的平面

介绍

同样的方法可以用来描述三维空间中的平面，它由空间中三个点（不在一条线上）唯一确定 ( $P_{1},P_{2},P_{3}$ )。令 $\mathbf {x} _{i}$ 为从原点到 $P_{i}$ 的向量。那么

\mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}+\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b}

其中

\mathbf {a} =\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\,\,{\text{and}}\,\,\mathbf {b} =\mathbf {x} _{3}-\mathbf {x} _{1}

需要注意的是，起点不一定是 $\mathbf {x} _{1}$ ，可以是平面上的任何点。类似地，向量 $\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$ 唯一的限制是它们必须是我们平面中的两个非共线向量。

回想一下，在二维向量中，如果有两个向量 $\mathbf {i} ,\mathbf {j}$ ，笛卡尔平面上的任何向量都可以用向量 $\mathbf {i} ,\mathbf {j}$ 来表示，方法是 $a\mathbf {i} +b\mathbf {j} \quad (a,b\in \mathbb {R} )$ 。用同样的方法，我们可以推断出

$\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b}$ 部分告诉我们图形应该是一个平面，而 $\mathbf {x} -\mathbf {x} _{1}$ 部分描述了“斜率”和轴的交点

然而，还有另外两种方法可以表达三维空间中的平面：向量方程和标量方程。

平面向量方程和标量方程

平面向量方程需要我们理解点积的力量。我们已经知道，当两个向量的点积为零时，这两个向量应该是相互垂直的。现在，想象一个三维空间中的向量 $\mathbf {n}$ 。如果我们绘制出所有与 $\mathbf {n}$ 垂直的向量 $\Delta \mathbf {r}$ ，结果会是什么？

结果应该是一个平面，其法向量垂直于该平面。因此，平面的向量方程很简单，即 $\mathbf {n} \,\cdot \,\Delta \mathbf {r} =0$ .

向量 $\mathbf {n}$ 是法向量，它垂直于平面。

向量 $\Delta \mathbf {r} =\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}}$ 是变量向量，其中 $\mathbf {r} =\langle x,y,z\rangle$ （平面上的未知点）和 $\mathbf {r_{0}} =\langle x_{0},y_{0},z_{0}\rangle$ （平面上的给定点）。这个表达式只是表示平面上的所有向量。

当然，平面的向量方程可以改写为 $\mathbf {n} \,\cdot \,(\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} )=0$ 或 $\mathbf {n} \,\cdot \,\mathbf {r} =\mathbf {n} \,\cdot \,\mathbf {r_{0}}$ ，这取决于写作者。

要找出标量方程，我们只需要计算点积并进行一些简化。因此，我们假设

$\mathbf {n} =\langle a,b,c\rangle$ ， $\mathbf {r} =\langle x,y,z\rangle$ ，和 $\mathbf {r_{0}} =\langle x_{0},y_{0},z_{0}\rangle$ 根据向量方程
$\mathbf {n} \,\cdot \,(\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} )=0$
因此，我们有
$\langle a,b,c\rangle \,\cdot \,\langle x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0}\rangle =0$
经过一些代数运算，我们可以得到
$ax+by+cz-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0})=0$
由于 $ax_{0}+by_{0}+cz_{0}$ 是一个常数，我们令 $ax_{0}+by_{0}+cz_{0}=-d$ 。因此，平面的标量方程为 $ax+by+cz+d=0$

注意，常数 $a,b,c$ 与法向量的 $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ 分量相同。当讨论两个平面之间的关系时，此性质将非常有用。此外， $-d=\mathbf {n} \,\cdot \,\mathbf {r_{0}}$ .

$\blacksquare$

总而言之，有三种方式表示三维空间中的平面，后两种更为常用

从直线方程扩展	向量方程	标量方程
$\mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}+\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b}$	$\mathbf {n} \,\cdot \,(\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} )=0$	$ax+by+cz+d=0$

两个平面之间的关系

平行

法向量很重要，因为它决定了平面的形状。因此，当我们讨论两个平面之间的关系时，实际上是在试图找出两个平面法向量之间的联系。在这种情况下，假设三维空间中有两个平面： $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ 和 $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$ 。平面的法向量应该是

$\mathbf {n_{1}} =\langle a_{1},b_{1},c_{1}\rangle ,\,\mathbf {n_{2}} =\langle a_{2},b_{2},c_{2}\rangle$

由于法向量与其对应平面垂直，如果法向量彼此平行，则相应的平面也应该彼此平行。因此，

如果 $\mathbf {n_{1}} =k\mathbf {n_{2}} \quad (k\in \mathbb {R} )$ ，那么 $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ 和 $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$ 平行。

垂直

如果法向量相互垂直，那么相应的平面将相互垂直。换句话说，如果 $\mathbf {n_{1}} \perp \mathbf {n_{2}}$ ，那么这些平面相互垂直。

交点

要完全理解如何找到两条直线的交点，我们应该熟悉法向量及其潜力。如果两个平面不平行并且不是同一个平面，那么它们必须相互相交。交点应该形成一条直线。想象有两个平面 $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ 和 $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$ ，以及它们各自的法向量 $\mathbf {n_{1}} \neq k\mathbf {n_{2}} \quad (k\in \mathbb {R} )$ （这意味着它们不平行）。

因为法向量完全垂直于平面上的所有向量，所以反之亦然：平面上的所有向量都垂直于它们各自的法向量。这就是为什么 $\mathbf {n} \,\cdot \,(\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} )=0$ 是平面的向量方程。由于两个平面的交点是一条直线，我们可以说方向向量 $\mathbf {v}$ 应该在这两个平面上。

因为 $\mathbf {v}$ 在两个平面上， $\mathbf {v}$ 应该垂直于两个法向量
$\mathbf {v} \perp \mathbf {n_{1}} ,\,\mathbf {v} \perp \mathbf {n_{2}}$
回想一下，两个向量的叉积将产生一个垂直于两个原始向量的新的向量。我们可以计算 $\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{2}}$ 的叉积来创建 $\mathbf {v}$ 。
$\mathbf {n_{1}} \times \mathbf {n_{2}} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{vmatrix}}=(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})\mathbf {i} -(a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k}$
因此，这条直线的方向向量为 $\mathbf {v} =\mathbf {n_{1}} \times \mathbf {n_{2}} =\langle b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1},a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\rangle$

我们还需要知道直线上的一点来完成直线方程，因为 $\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} t$ 。为了找到一个点，只需令 $z=0$ ，然后在以下方程组中求解 $x,y$
${\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y+d_{1}=0\\a_{2}x+b_{2}y+d_{2}=0\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}x={\frac {b_{1}d_{2}-b_{2}d_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}\\y={\frac {a_{1}d_{2}-a_{2}d_{1}}{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}}\end{cases}}$
由于解过于复杂无法写出，我们将令 $x={\frac {b_{1}d_{2}-b_{2}d_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}=x_{0}$ 以及 $y={\frac {a_{1}d_{2}-a_{2}d_{1}}{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}}=y_{0}$ 。因此，点 $(x_{0},y_{0},0)$ 在两个平面上（回想一下，我们令 $z=0$ ）并且 $\mathbf {P_{0}} =\langle x_{0},y_{0},0\rangle$ .

现在，我们知道直线上一点 $(x_{0},y_{0},0)$ 以及方向向量 $\mathbf {v} =\mathbf {n_{1}} \times \mathbf {n_{2}} =\langle b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1},a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\rangle$ ，两平面的交线为： $L:\langle {\frac {b_{1}d_{2}-b_{2}d_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}},{\frac {a_{1}d_{2}-a_{2}d_{1}}{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}},0\rangle +\langle b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1},a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\rangle t$

对于那些喜欢更简洁表达的人来说

$L:\langle x_{0},y_{0},0\rangle +\langle b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1},a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\rangle t$

$L:\mathbf {P_{0}} +(\mathbf {n_{1}} \times \mathbf {n_{2}} )t$

如果我们想要知道两个平面的夹角，类似于我们如何找出两条直线的夹角，我们应用点积。

$\theta =\arccos({\frac {\mathbf {n_{1}} \,\cdot \,\mathbf {n_{2}} }{\|\mathbf {n_{1}} \|\|\mathbf {n_{2}} \|}})$

$\blacksquare$

两个平行平面的距离

两个非平行平面的距离为零，因为它们相交。因此，我们应该关注平行平面之间的距离。在我们这样做之前，如果我们知道从点到平面的距离，会更方便。

设距离为 $D$ ，点为 $P=(x_{1},y_{1},z_{1})$ ，平面为 $ax+by+cz+d=0$ .

知道平面的方程可以帮助我们知道法向量，因为法向量垂直于平面，是我们需要的精确方向。 $\mathbf {n} =\langle a,b,c\rangle$ .

现在，我们开始求解。首先，假设有一个点 $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ 在平面 $ax+by+cz+d=0$ 上。然后，我们创建从 $P_{0}$ 到 $P$ 的向量： ${\overrightarrow {P_{0}P}}=\langle x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0}\rangle$ 。我们还将向量 ${\overrightarrow {P_{0}P}}$ 和 $\mathbf {n}$ 之间的角度为 $\theta$ 。如果我们绘制出它的样子，我们可以很容易地理解距离是如何推导出来的。

$D=|\|{\overrightarrow {P_{0}P}}\|\ \cos \theta |$ （需要使用绝对值，因为距离总是大于零）

但是，我们不知道 $\theta$ 。我们可以通过应用点积来计算 $\theta$ 。但是，有一个更简单的方法。

使用一些非常有趣的推导，我们可以得到
$D={\frac {|\|\mathbf {n} \|\|{\overrightarrow {P_{0}P}}\|\cos \theta |}{\|\mathbf {n} \|}}$
正如我们所见，分子实际上是表达两个向量点积的另一种方式。因此，我们可以不再担心不知道 $\theta$ 的值。
$D={\frac {|\mathbf {n} \ \cdot \ {\overrightarrow {P_{0}P}}|}{\|\mathbf {n} \|}}$
现在我们可以用它们的坐标代替这些向量。经过一些代数运算，我们得到
$D={\frac {|\mathbf {n} \ \cdot \ {\overrightarrow {P_{0}P}}|}{\|\mathbf {n} \|}}={\frac {|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$
由于 $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ 在平面上， $ax_{0}+by_{0}+cz_{0}=-d$ 。我们可以进一步简化公式为 $D={\frac {|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ ，从而完成我们的推导。

还有其他方法可以写下这个公式。对于喜欢更简单表示的人来说，以下公式也是表达距离的方式

$D={\frac {|\mathbf {n} \ \cdot \ {\overrightarrow {P_{0}P}}|}{\|\mathbf {n} \|}}$ 或 $D=\mathrm {comp} _{\mathbf {n} }{\overrightarrow {P_{0}P}}$

$\blacksquare$

对距离公式进行进一步“研究”后，我们可以发现，只需要平面的方程和一个点就可以计算出它们之间的距离，这非常方便，因为我们需要解决的问题越少，问题就越方便。当我们试图找到两个平行平面之间的距离时，我们只需要一个平面上的一点和另一个平面的方程来解决。

两条异面直线之间的距离（续）

假设直线 $L_{1},L_{2}$ 是异面直线，我们可以通过假设这些直线属于两个平行平面 $P_{1},P_{2}$ 来计算距离。然后，问题从解决两条异面直线之间的距离变为解决两个平行平面之间的距离。

我们仍然需要知道两个平面的法向量。我们可以简单地将两个直线的两个方向向量进行叉积运算： $\mathbf {n} =\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}}$ 。 $\mathbf {n} \neq 0$ 因为 $\mathbf {v_{1}} ,\mathbf {v_{2}}$ 方向不一致。现在我们可以将新推导出的距离公式应用于两条异面直线。

柱面和二次曲面

本章节需要对圆锥曲线有一定的了解（参见第1.6 章）。

柱面

柱面是指所有平行于给定直线并穿过给定平面曲线的直线组成的曲面。有一些特殊的柱面，例如抛物柱面和圆柱面。例如，右边的图像是一个抛物柱面。抛物柱面通常具有方程

$z=x^{2}$ 等。

如果我们想在不旋转的情况下移动柱面，我们可以使用以下方程

$z-k=(x-h)^{2}$ ，其中 $h,k$ 是常数。

这与我们在第1.6 章中讨论过的抛物线类似，但多了一个维度。圆柱面类似于我们推导出抛物柱面的方法，看起来就像一个圆柱，它的“底面”是圆形，方程为

$x^{2}+y^{2}=1$ 等。

如果我们想让圆柱面更“椭圆”，就像我们推导出椭圆方程的方法一样，椭圆柱面具有方程

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ，其中 $a,b$ 是常数。

它就像在 $xy$ 平面上的椭圆，但沿着 $z$ 方向无限延伸。

二次曲面

二次曲面的通用方程

二次曲面的通用方程是

Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0

其中 $A,B,C,D,E,F,G,H,I,J$ 是常数。

它看起来类似于圆锥曲线的通用方程 ( $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$ )，除了它还有另一个变量 $z$ 。经过一些平移和旋转，我们可以将通用方程简化为标准方程

二次曲面的标准方程

二次曲面的标准方程是

Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+J=0\quad {\text{or}}\quad Ax^{2}+By^{2}+Iz=0

其中 $A,B,C,I,J$ 是常数。

当然，根据具体的二次曲面，标准方程有不同的形式，我们将在接下来的讨论中看到。

椭球

椭球的方程为

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

绘制二次曲面比较困难，因为除了两个变量，还有三个变量，这使得在没有计算器的帮助下，这个过程变得非常复杂。然而，有一个方法可以让我们更容易理解。我们可以分析每个平面，看看形状是什么样的，然后将我们从每个平面分析的结果结合起来，形成一个比较完整的曲面图形。以这个为例。

$x^{2}+{\frac {y^{2}}{9}}+{\frac {z^{2}}{4}}=1$

我们首先来考察 $xy$ -平面。要考察 $xy$ -平面，我们需要想象 $z$ 是一个常数。在这种情况下，想象 $z=k$ ，因此

$x^{2}+{\frac {y^{2}}{9}}=1-{\frac {k^{2}}{4}}$ ，其中 $-2\leq k\leq 2$ 。

我们可以看到，在 $xy$ -平面上，图形将类似于椭圆。我们称之为平面 $z=k$ 上的水平截面是一个椭圆。

让我们进一步分析平面 $x=k,y=k$ 上的垂直截面。

${\frac {y^{2}}{9}}+{\frac {z^{2}}{4}}=1-k^{2}\quad x=k$ ，其中 $-1\leq k\leq 1$ 。

$x^{2}+{\frac {z^{2}}{4}}=1-{\frac {k^{2}}{9}}\quad y=k$ ，其中 $-3\leq k\leq 3$ 。

我们可以看到，在平面 $x=k,y=k$ 上的两个垂直截面都是椭圆。换句话说，在 $xz$ 平面和 $yz$ 平面的图形都像椭圆。由于所有截面都是椭圆，因此该曲面是一个椭球，其顶点为 $(\pm 1,0,0),(0,\pm 3,0),(0,0,\pm 2)$ 。

椭圆抛物面

椭圆抛物面的方程为

${\frac {z}{c}}={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}$

根据哪个截面是椭圆，方程会有所不同。对于上面的方程，水平截面是一个椭圆，如右侧图像所示。

以 $z=x^{2}+y^{2}$ 为例。水平截面，意味着 $z=k$ ，是

$x^{2}+y^{2}=k$ ，其中 $k>0$ 。

对于两个垂直截面，我们可以看到它们都具有抛物线的形状。

$z=x^{2}+k^{2}\quad y=k$

$z=y^{2}+k^{2}\quad x=k$

该椭圆抛物面的顶点为 $(0,0,0)$ 。

双曲抛物面

双曲抛物面的方程为

${\frac {z}{c}}={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}$

各个截面分别为

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}={\frac {k}{c}}\quad z=k$ ，其中 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}={\frac {k}{c}}{\text{ when }}k>0\quad {\text{and}}\quad {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}={\frac {k}{c}}{\text{ when }}k<0$ 。水平截面是双曲线。

${\frac {z}{c}}={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {k^{2}}{b^{2}}}\quad y=k$ 。垂直截面是抛物线。

${\frac {z}{c}}={\frac {k^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\quad x=k$ 。垂直截面是抛物线。