微积分/旋转体的体积/解答

1. 计算半径为 $r$，高为 $h$ 的圆锥的体积，该圆锥是由曲线 $y=r-{\frac {r}{h}}x$，直线 $y=0$ 和 $x=0$ 所围成的区域绕 $x$-轴旋转生成的。

该区域在 $x$-方向上从 $x=0$ 延伸到 $x=h$。旋转体的体积由以下公式给出：

${\begin{aligned}\int _{0}^{h}\pi \left(r-{\frac {r}{h}}x\right)^{2}dx&=\pi \int _{0}^{h}\left(r^{2}-{\frac {2r^{2}}{h}}x+{\frac {r^{2}}{h^{2}}}x^{2}\right)dx\\&=\pi r^{2}\left(\int _{0}^{h}dx-{\frac {2}{h}}\int _{0}^{h}xdx+{\frac {1}{h^{2}}}\int _{0}^{h}x^{2}dx\right)\\&=\pi r^{2}\left(x{\bigr |}_{0}^{h}-{\frac {x^{2}}{h}}{\Bigr |}_{0}^{h}+{\frac {x^{3}}{3h^{2}}}{\Bigr |}_{0}^{h}\right)\\&=\pi r^{2}\left(h-h+{\frac {h}{3}}\right)\\&=\mathbf {\frac {\pi r^{2}h}{3}} \end{aligned}}$

2. 计算曲线 $y=x^{2}$，直线 $x=1$ 和 $y=0$ 所围成的区域绕 $x$-轴旋转生成的旋转体的体积。

该区域在 $x$-方向上从 $x=0$ 扩展到 $x=1$。旋转体的体积由下式给出：

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}\pi \left(x^{2}\right)^{2}dx&=\pi \int _{0}^{1}x^{4}dx\\&=\pi {\frac {x^{5}}{5}}{\biggr |}_{0}^{1}\\&=\mathbf {\frac {\pi }{5}} \end{aligned}}$

3. 使用圆环法求以 $y=R-{\frac {R}{h}}x$ 和直线 $y=r$ 以及 $x=0$ 为边界围成的区域绕 $x$-轴旋转形成的圆锥体（中心有一个孔）的体积。

该区域的 $x$ 值从 $x=0$ 扩展到 $x=h$。体积为

${\begin{aligned}V&=\int _{0}^{h}\pi \left(\left(R-{\frac {R}{h}}x\right)^{2}-r^{2}\right)dx\\&=\int _{0}^{h}\pi \left(R^{2}-2{\frac {R^{2}}{h}}x+{\frac {R^{2}}{h^{2}}}x^{2}-r^{2}\right)dx\\&=\pi \left(R^{2}x-{\frac {R^{2}}{h}}x^{2}+{\frac {R^{2}}{3h^{2}}}x^{3}-r^{2}x\right){\biggr |}_{0}^{h}\\&=\pi \left(R^{2}h-R^{2}h+{\frac {R^{2}h}{3}}-r^{2}h\right)\\&=\mathbf {\pi h\left({\frac {R^{2}}{3}}-r^{2}\right)} \end{aligned}}$

4. 计算由曲线 $y=x^{2}$ 和 $y=x^{3}$ 以及直线 $x=1$ 和 $y=0$ 所围成的区域绕 $x$-轴旋转生成的旋转体的体积。

:${\begin{aligned}V&=\int _{0}^{1}\pi \left(\left(x^{2}\right){}^{2}-\left(x^{3}\right){}^{2}\right)dx\\&=\int _{0}^{1}\pi \left(x^{4}-x^{6}\right)dx\\&=\pi \left({\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}\right){\biggr |}_{0}^{1}\\&=\pi \left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\right)\\&=\pi {\frac {7-5}{35}}\\&=\mathbf {\frac {2\pi }{35}} \end{aligned}}$

5. 使用壳层法，求一个半径为 $R$，高为 $h$ 的圆锥的体积。该圆锥是由绕 $y$-轴旋转的相应区域产生的。

您可以将适当的区域设置在四个象限中的任何一个。这里我们在第一象限设置它。由于我们围绕 $y$-轴旋转，$y$ 方向将是高度，半径将沿 $x$ 方向。所以我们需要一条经过点 $(0,h)$ 和 $(R,0)$ 的直线。这条线的斜率为

$m={\frac {0-h}{R-0}}=-{\frac {h}{R}}$

并且 $y$-截距为 $h$。因此，直线的方程为

$y=-{\frac {h}{R}}x+h$

区域的 $x$-值从 $x=0$ 延伸到 $x=R$。由于函数在整个区域内都为正，我们可以去掉绝对值符号。体积将为

${\begin{aligned}V&=\int _{0}^{R}2\pi x(-{\frac {h}{R}}x+h)dx\\&=\int _{0}^{R}2\pi (-{\frac {h}{R}}x^{2}+hx)dx\\&=2\pi (-{\frac {h}{3R}}x^{3}+{\frac {h}{2}}x^{2}){\biggr |}_{0}^{R}\\&=2\pi (-{\frac {hR^{2}}{3}}+{\frac {hR^{2}}{2}})\\&=2\pi {\frac {-2hR^{2}+3hR^{2}}{6}}\\&=\mathbf {\frac {\pi hR^{2}}{3}} \end{aligned}}$

6. 计算由曲线 $y=x^{2}$ 和直线 $x=1$ 和 $y=0$ 所包围的区域绕 $y$-轴旋转而产生的旋转体的体积。

:${\begin{aligned}V&=\int _{0}^{1}2\pi xx^{2}dx\\&=\int _{0}^{1}2\pi x^{3}dx\\&=2\pi {\frac {x^{4}}{4}}{\biggr |}_{0}^{1}\\&=\mathbf {\frac {\pi }{2}} \end{aligned}}$