微积分/旋转体体积

在本节中，我们将介绍 **旋转体** 以及如何计算它们的体积。旋转体是由二维区域绕轴旋转形成的立体图形。例如，将由曲线 $y={\sqrt {1-x^{2}}}$ 和直线 $y=0$ 所包围的半圆形区域绕 $x$ 轴旋转会产生一个球体。利用微积分计算旋转体体积主要有两种方法：圆盘法和壳层法。

圆盘法

图 1：旋转此区域绕 x 轴会生成一个旋转体。

图 2：对图 1 中生成区域的近似。

考虑由曲线 $y=f(x)$，在 $[a,b]$ 上连续，以及直线 $x=a$，$x=b$ 和 $y=0$ 所包围的区域绕 $x$ 轴旋转形成的立体图形。我们可以想象用 图 2 中所示的阶梯函数 $g(x)$ 来近似 $f(x)$，该函数使用函数的右端近似。现在，当区域旋转时，每个阶梯下的区域会扫出一个圆柱体，我们知道如何计算它的体积，即

$V_{\rm {cylinder}}=\pi r^{2}h$

其中 $r$ 是圆柱体的半径，$h$ 是圆柱体的高度。这个过程让人想起我们之前用来计算面积的黎曼过程。让我们尝试将体积写成黎曼和，并通过取细分无限小的极限，将体积等同于一个积分。

考虑近似中一个圆柱体的体积，例如从左边数的第 $k$ 个。圆柱的半径是阶梯函数的高度，厚度是细分的长度。当有 $n$ 个细分，并且区域总长度为 $b-a$ 时，每个细分的宽度为

$\Delta x={\frac {b-a}{n}}$

由于我们使用的是右手近似，因此第 $k$ 个样本点将是

$x_{k}=k\Delta x$

因此，第 $k$ 个圆柱的体积为

$V_{k}=\pi f(x_{k})^{2}\Delta x$

将区域中从 $a$ 到 $b$ 的所有圆柱体加起来，我们得到

$V_{\rm {approx}}=\sum _{k=1}^{n}\pi f(x_{k})^{2}\Delta x$

当 $n$ 趋于无穷大时取极限，我们得到精确的体积

$V=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\pi f(x_{k})^{2}\Delta x$

这等价于积分

$V=\int \limits _{a}^{b}\pi f(x)^{2}dx$

示例：球体体积 让我们使用圆盘法计算球体的体积。我们的生成区域将是被曲线 $f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ 和直线 $y=0$ 所包围的区域。我们的积分限将是曲线与直线 $y=0$ 相交处的 $x$ 值，即 $x=\pm r$ 。我们有 ${\begin{aligned}V_{\rm {sphere}}&=\int \limits _{-r}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})dx\\&=\pi \left(\int \limits _{-r}^{r}r^{2}dx-\int \limits _{-r}^{r}x^{2}dx\right)\\&=\pi \left(r^{2}x{\bigg |}_{-r}^{r}-{\frac {x^{3}}{3}}{\bigg |}_{-r}^{r}\right)\\&=\pi {\Big (}r^{2}{\bigl (}r-(-r){\bigr )}-{\tfrac {1}{3}}{\bigl (}r^{3}-(-r)^{3}{\bigr )}{\Big )}\\&=\pi \left(2r^{3}-{\frac {2r^{3}}{3}}\right)\\&=\pi {\frac {6r^{3}-2r^{3}}{3}}\\&={\frac {4\pi }{3}}r^{3}\end{aligned}}$

练习

1. 计算半径为 $r$，高度为 $h$ 的圆锥的体积，该圆锥是由直线 $y=r-{\frac {r}{h}}x$ 与直线 $y=0$ 和 $x=0$ 围成的区域绕 $x$ 轴旋转而成的。

2. 计算曲线 $y=x^{2}$ 与直线 $x=1$ 和 $y=0$ 围成的区域绕 $x$ 轴旋转而成的旋转体的体积。

圆环法

图 3：将该区域绕 x 轴旋转而成的旋转体，其中心有一个不规则形状的孔。

图 4：对图 3 中的生成区域进行近似。

圆盘法的一种延伸，适用于旋转区域绕 $x$ 轴旋转而成的旋转体。考虑 图 3 中区域绕 $x$ 轴旋转而成的旋转体。曲线 $f(x)$ 与 图 1 中的相同，但现在我们的旋转体中心有一个形状不规则的孔，其体积是由曲线 $g(x)$ 绕 $x$ 轴旋转而成的旋转体形成的。我们近似区域的上边界相同， $f_{\rm {step}}(x)$，与 图 2 中的相同，但现在我们只延伸到 $g_{\rm {step}}(x)$，而不是一直延伸到 $x$ 轴。将每个块绕 $x$ 轴旋转，形成一个圆环形实体，外半径为 $f_{\rm {step}}(x)$，内半径为 $g_{\rm {step}}(x)$。第 $k$ 个空心圆柱的体积为

${\begin{aligned}V_{k}&=\pi \cdot f(x_{k})^{2}\Delta x-\pi \cdot g(x_{k})^{2}\Delta x\\&=\pi {\bigl (}f(x_{k})^{2}-g(x_{k})^{2}{\bigr )}\Delta x\end{aligned}}$

其中 $\Delta x={\frac {b-a}{n}}$ 且 $x_{k}=k\Delta x$。整个近似实体的体积为

$V_{\rm {approx}}=\sum _{k=1}^{n}\pi {\bigl (}f(x_{k})^{2}-g(x_{k})^{2}{\bigr )}\Delta x$

当 $n$ 趋近于无穷大时，体积为

${\begin{aligned}V&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\pi {\bigl (}f(x_{k})^{2}-g(x_{k})^{2}{\bigr )}\Delta x\\&=\int \limits _{a}^{b}\pi {\bigl (}f(x)^{2}-g(x)^{2}{\bigr )}dx\end{aligned}}$

练习

3. 使用垫圈法求由 $y=R-{\frac {R}{h}}x$ 和直线 $y=r$ 以及 $x=0$ 所围成的区域绕 $x$ 轴旋转而成的圆锥体的体积。

4. 计算由曲线 $y=x^{2}$ 和 $y=x^{3}$ 以及直线 $x=1$ 和 $y=0$ 所围成的区域绕 $x$ 轴旋转生成的旋转体的体积。

壳层法

图 5：将该区域绕 y 轴旋转生成的旋转体。

图 6：图 5 中生成区域的近似图形。

壳层法是另一种求旋转体体积的方法。使用这种方法有时可以更容易地建立和计算积分。考虑将 图 5 中的区域绕 $y$ 轴旋转形成的旋转体。虽然生成区域与 图 1 中的相同，但旋转轴已更改，这使得圆盘法不适合解决此问题。然而，像以前一样将区域划分，暗示了一种类似的求体积方法，只是这次我们不是将许多近似圆盘的体积加起来，而是将许多圆柱形壳层的体积加起来。考虑将 图 6 中的区域绕 $y$ 轴旋转形成的实体。第 $k$ 个矩形会扫出一个空心圆柱体，其高度为 ${\Big |}f(x_{k}){\Big |}$，内半径为 $x_{k}$，外半径为 $x_{k}+\Delta x$，其中 $\Delta x={\frac {b-a}{n}}$ 且 $x_{k}=k\Delta x$，其体积为

$V_{k}$	$=\pi {\bigl (}(x_{k}+\Delta x)^{2}-x_{k}^{2}{\bigr )}{\Big |}f(x_{k}){\Big |}$
	$=\pi {\bigl (}(x_{k}^{2}+2x_{k}\Delta x+\Delta x^{2})-x_{k}^{2}{\bigr )}{\Big |}f(x_{k}){\Big |}$
	$=\pi (2x_{k}\Delta x+\Delta x^{2}){\Big |}f(x_{k}){\Big |}$

整个近似实体的体积是

$V_{\rm {approx}}=\sum _{k=1}^{n}\pi (2x_{k}\Delta x+\Delta x^{2}){\Big |}f(x_{k}){\Big |}$

当 $n$ 趋于无穷大时取极限，我们得到精确的体积

$V$	$=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\pi (2x_{k}\Delta x+\Delta x^{2}){\Big |}f(x_{k}){\Big |}$
	$=\pi \cdot \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}2x_{k}\Delta x{\Big |}f(x_{k}){\Big |}+\sum _{k=1}^{n}\Delta x^{2}{\Big |}f(x_{k}){\Big |}\right)$

由于$|f|$ 在$[a,b]$ 上是连续的，极值定理 意味着$|f|$ 在$[a,b]$ 上存在最大值$M$。利用这一点以及$\Delta x^{2}{\Big |}f(x_{k}){\Big |}>0$ ，我们有

${\sum _{k=1}^{n}2x_{k}\Delta x{\Big |}f(x_{k}){\Big |}\leq \sum _{k=1}^{n}2x_{k}\Delta x{\Big |}f(x_{k}){\Big |}+\sum _{k=1}^{n}\Delta x^{2}{\Big |}f(x_{k}){\Big |}\leq \sum _{k=1}^{n}2x_{k}\Delta x{\Big |}f(x_{k}){\Big |}+\sum _{k=1}^{n}\Delta x^{2}M}$

但是

$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\Delta x^{2}M$	$=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {b-a}{n}}\right)^{2}M$
	$=\lim _{n\to \infty }{\frac {(b-a)^{2}}{n}}M$
	$=0$

因此，根据夹逼定理

$\pi \cdot \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}2x_{k}\Delta x{\Big |}f(x_{k}){\Big |}+\sum _{k=1}^{n}\Delta x^{2}{\Big |}f(x_{k}){\Big |}\right)=\pi \cdot \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}2x_{k}\Delta x{\Big |}f(x_{k}){\Big |}$

这仅仅是积分

$\int \limits _{a}^{b}2\pi x{\Big |}f(x){\Big |}dx$

练习

5. 使用壳层法，求一个半径为 $r$，高度为 $h$ 的圆锥体的体积。该圆锥体是由一个合适的区域绕 $y$ 轴旋转得到的。

6. 计算由曲线 $y=x^{2}$ 和直线 $x=1$ 以及 $y=0$ 所围成的区域绕 $y$ 轴旋转而成的旋转体的体积。