电路理论/单电源激励/例7

例7的RL串联电路

已知

$V_{s}(t)=120{\sqrt {2}}cos(377t+120^{\circ })$

先前工作计算稳态/特解

已经找到了稳态/特解

$i(t)=I_{m}cos(\omega t+\alpha )$

其中

$I_{m}={\frac {V_{m}}{\sqrt {R^{2}+(L\omega )^{2}}}}$

$\alpha =\phi -\angle arctan({\frac {L\omega }{R}})$

或者数值表示

$i(t)_{s_{P}}=15.9cos(377t+1.73)$

计算瞬态/齐次解

需要找到以下方程的瞬态/齐次解：

$R*i(t)+L*{d \over dt}i(t)=0$

没有V_S... 这使得齐次解变得很简单！

猜测

$i(t)_{s_{H}}=A*e^{\frac {-t}{\tau }}$

寻找时间常数

$R*A*e^{\frac {-t}{\tau }}+{\frac {LA}{-\tau }}e^{\frac {-t}{\tau }}=0$

$R-{\frac {L}{\tau }}=0$

$\tau =L/R=.001$

现在看看它是否有效

$RAe^{\frac {-t}{L/R}}+LA(-{\frac {R}{L}})*e^{\frac {-t}{L/R}}{\overset {\underset {\mathrm {???} }{}}{=}}0$

用A除，消去L

$Re^{\frac {-t}{L/R}}-Re^{\frac {-t}{L/R}}{\overset {\underset {\mathrm {???} }{}}{=}}0$

它有效，因此它一定是解

$i(t)=i(t)_{s_{P}}+i(t)_{s_{H}}=599\cos(377t+3.30)+Ae^{\frac {-t}{0.0001}}$

现在必须找到初始条件。

确定常数

有两个常数。 $A$ 和 $C$ 来自非齐次微分方程的任何齐次解。 这些在早期的稳态相量解中没有被忽略，事实上，它们没有被计算出来，这一点已经被指出。

$i(t)_{s}=i(t)_{s_{P}}+i(t)_{s_{H}}$

$i(t)_{s}=15.9cos(377t+1.73)+A*e^{\frac {-t}{.001}}+C$

有两个初始条件必须为真

1. 初始电源电压在 t=0 时有一个值: $120*{\sqrt {2}}\cos({\frac {2\pi }{3}})$
2. 电感器中的初始电流在 t=0 时必须为 0，因此整个串联电路中的电流在 t=0 时为 0。

寻找两个初始条件

mupad 和 matlab 代码用于查找常数 A 和 C .. code

需要两个方程来找到 A 和 C。

最初，电感器和整个电路中的电流将为零

$i(0_{-})=0$，因此 $i(0_{+})=0$.

这意味着将 t 设置为 0，有一个方程

$i(t)_{s}=15.9cos(377t+1.73)+A*e^{\frac {-t}{.001}}+C=0$

在 t=0 处评估此值

$A+C-2.58=0$

第二个方程来自循环

$v_{r}(t)+v_{L}(t)-V_{s}=0$

$R*i(t)_{s}+L*{di(t)_{s} \over dt}-V_{s}=0$

用 i(t)_S 和 V(t)_S 替换，求微分，然后在 t=0 处评估，得到

$1.86*10^{-9}-10.0*C=0$

所以解得

$C=0$

$A=2.5781$

总结

$i(t)=15.9cos(377t+1.73)+2.58*e^{\frac {-t}{.001}}$

这与拉普拉斯解和仿真一致。