电路理论/卷积积分/示例/example49/Vc

串联LRC电路...求电阻两端的电压

已知电源电压为 (2t-3t²)，求电阻两端的电压。

这是V_c的解。

概述

传递函数

$H(s)={\frac {V_{C}}{V_{S}}}={\frac {\frac {1}{0.25s}}{4+s+{\frac {1}{0.25s}}}}$

simplify((1/(s*0.25))/(4 + s + 1/(0.25*s)))

$H(s)={\frac {4}{s^{2}+4s+4}}$

齐次解

solve(s^2 + 4.0*s + 4.0,s)

在s = -2处有两个相等的根，因此解的形式为

$V_{C_{h}}(t)=Ae^{-2t}+Bte^{-2t}+C_{1}$

特解

长时间连接到单位阶跃函数源后，电感器短路，电容器开路。所有压降都出现在电容器上。电流为零。

$V_{C_{p}}=1$

这也意味着C₁仍然未知。

初始条件

到目前为止，完整的方程为

$V_{C}(t)=1+Ae^{-2t}+Bte^{-2t}+C_{1}$

在 t = ∞ 时，B 项的值是多少？

limit(B*t*exp(-t),t = infinity)

Mupad 说 0。这意味着在 t = ∞ 时

$1=1+C_{1}$

$C_{1}=0$

电容器两端的初始电压为 0，因此

$0=1+A+C_{1}$

$A=-1$

串联支路的初始电流为零，因为假设电感器的初始条件。这意味着 i(0) = 0，因此

$i(t)=C*{dV_{C}(t) \over dt}={\frac {1}{4}}((-2A+B)e^{-2t}-2Bte^{-2t})$

$0={\frac {1}{4}}(-2A+B)$

$B=2A$

$B=-2$

这意味着 i(t) =

$i(t)={\frac {1}{4}}((-2(-1)+(-2))e^{-2t}-2(-2)te^{-2t})=te^{-2t}$

$V_{R}(t)=4*i(t)=4te^{-2t}$

脉冲解

对上述公式求导得到

$V_{R}\delta (t)=4e^{-2t}-8te^{-2t}$

卷积积分

$V_{R}(t)=\int _{0}^{t}(4e^{-2(t-x)}-8(t-x)e^{-2(t-x)})(2x-3x^{2})dx$

f := (4*exp(-2*(t-x)) - 8*(t-x)exp(-2*(t-x)))*(2*x-3*x^2);
S :=int(f,x=0..t)

$V_{R}(t)=8-8e^{-2t}-10te^{-2t}-6t$

由于长时间后 V_R(t) = 0 ... 并且电容打开，因此不会有任何常数。