电路理论/卷积积分/示例/example49/电流

串联 LRC 电路... 找出电阻两端的电压

已知电源电压为 (2t-3t²)，求电阻两端的电压。

这里重点先求电流

传递函数

$H(s)={\frac {i}{V_{S}}}={\frac {1}{4+s+{\frac {1}{0.25s}}}}$

simplify(1/(4 + s + 1/(0.25*s)))

$H(s)={\frac {s}{s^{2}+4s+4}}$

齐次解

solve(s^2 + 4.0*s + 4.0,s)

在 s = -2 处有两个相等的根，因此解的形式为

$i_{h}(t)=Ae^{-2t}+Bte^{-2t}+C_{1}$

特解

经过长时间连接到单位阶跃函数电源后，电感器短路，电容器开路。所有压降都出现在电容器两端。电流为零。

$i_{p}=0$

初始条件

到目前为止，完整的方程是

$i(t)=Ae^{-2t}+Bte^{-2t}+C_{1}$

由于电感器的初始条件假设，串联支路的初始电流为零。这意味着

$i(0)=0=A+C_{1}$

假设电容器两端的初始电压为零，则初始压降必须出现在电感器两端。

$V_{L}(t)=L{di(t) \over dt}=(-2A+B)e^{-2t}-2Bte^{-2t}$

$V_{L}(0)=1=-2A+B$

经过长时间后，电流仍然必须为零，因此

$C_{1}=0$

这意味着

$A=0$

$B=1$

$i(t)=te^{-2t}$

$V_{r}(t)=4te^{-2t}$

如果一开始为 V_r 写传递函数，则传递函数的分子中会丢失 4。 4 不会出现在齐次解中。 在二阶分析中，永远不要为电阻写传递函数。

脉冲解

对上述式子求导，得到

$V_{R}\delta (t)=4e^{-2t}-8te^{-2t}$

卷积积分

$V_{R}(t)=\int _{0}^{t}(4e^{-2(t-x)}-8(t-x)e^{-2(t-x)})(2x-3x^{2})dx$

f := (4*exp(-2*(t-x)) - 8*(t-x)exp(-2*(t-x)))*(2*x-3*x^2);
S :=int(f,x=0..t)

$V_{R}(t)=8-8e^{-2t}-10te^{-2t}-6t$

由于长时间后 V_R(t) = 0 ... 并且电容打开，因此不会有任何常数。