电路理论/相量/示例/示例 8

用于示例 8的串联 RL 电路

假设电流源定义为$I_{s}(t)=120{\sqrt {2}}cos(377t+120^{\circ })$，求出所有其他电压、电流并检查功率。

标记回路结点

标记用于分析的串联 RL 电路

关键点在于，即使源在振荡，也不会改变任何东西。 + 和 - 仍然必须捕获电路拓扑结构并融入方程式中。

已知量，未知量和方程式

已知量：$I_{s},R,L$

未知量：$V_{s},v_{R},v_{L}$

方程式：$v_{R}(t)=R*i(t),v_{L}=L*{d \over dt}i(t),v_{R}(t)+v_{L}(t)-V_{s}(t)=0$

微积分符号

按此顺序评估端子关系

$v_{R}(t)=R*i(t)$

$v_{L}=L*{d \over dt}i(t)$

$V_{s}(t)=v_{R}(t)+v_{L}(t)$

微积分数值

RL 电路的相量 MATLAB 解决方案 .... m 文件

$v_{R}(t)=10*120{\sqrt {2}}cos(377t+{\frac {2\pi }{3}})=1700.0*cos(377.0*t+2.09)$

$v_{L}=.01*{d \over dt}120{\sqrt {2}}cos(377t+{\frac {2\pi }{3}})=-640.0*sin(377.0*t+2.09)$

$V_{s}(t)=v_{R}(t)+v_{L}(t)=1700.0*cos(377.0*t+2.09)-640.0*sin(377.0*t+2.09)$

相量数学避免三角函数！m文件

现在问题是如何将上面的答案转换成一种形式，以便与其他答案进行比较，并建立我们的直觉。有三种可能的方法

欧拉

三角函数

相量（从欧拉推导而来）。

这是相量方法。注意数学是在相量域中进行的...使用复数。

$1700cos(377t+2.09)\Leftrightarrow 1700cos(2.09)+j1700sin(2.09)$

$-640sin(377t+2.09)\Leftrightarrow -640*sin(2.09)+j640*cos(2.09)$

现在数字已经在相量世界中了。下一步是将它们全部加起来。

$\mathbb {V} _{s}=1814\angle 2.45$

现在将它放回时域

$V_{s}=1814cos(377t+2.45)$

相量也是微积分的替代方法。

由于在这个微积分解中没有计算积分，所以没有积分常数！

相量符号

这个问题可以用拉普拉斯变换来解决，但微积分函数并不复杂。它也可以用相量来解决。问题是“应该使用哪种数学工具？”上面的微积分将答案留在了需要一些三角函数才能恢复到形式的形式

$V_{s}=V_{m}cos(\omega t+\phi )$

相量解使我们能够接近上述解的形式。

相量解为解决所有电感和电容问题提供了一种统一的方法（一种工具）。我们将在本课程的剩余部分使用它。

时域

$v_{R}(t)=R*i(t)$

$v_{L}=L*{d \over dt}i(t)$

$v_{R}(t)+v_{L}(t)-V_{s}(t)=0$

相量域

$i(t)\rightarrow \mathbb {I}$

$\mathbb {I} =I_{m}\angle \phi$

$\mathbb {V} _{R}=R*\mathbb {I} =R*I_{m}\angle \phi$

${d \over dt}i(t)\rightarrow j\omega \mathbb {I} =\omega \mathbb {I} \angle {\frac {\pi }{2}}=\omega I_{m}\angle ({\frac {\pi }{2}}+\phi )$

$\mathbb {V} _{L}=jL\omega \mathbb {I} =L*\omega I_{m}\angle ({\frac {\pi }{2}}+\phi )$

$\mathbb {V} _{S}=jL\omega \mathbb {I} +R*\mathbb {I} =(R+jL\omega )\mathbb {I} ={\sqrt {R^{2}+(L\omega )^{2}}}\angle arctan({\frac {L\omega }{R}})*I_{m}\angle \phi$

$\mathbb {V} _{S}=I_{m}*{\sqrt {R^{2}+(L\omega )^{2}}}\angle (arctan({\frac {L\omega }{R}})+\phi )$

回到时域

$V_{s}(t)=\operatorname {Re} (\mathbb {V} _{s}e^{j\omega t})=I_{m}{\sqrt {R^{2}+(L\omega )^{2}}}cos(\omega t+\phi +arctan({\frac {L\omega }{R}}))$

$v_{L}(t)=\operatorname {Re} (\mathbb {V} _{L}e^{j\omega t})=I_{m}*L*\omega *cos(\omega t+\phi +{\frac {\pi }{2}})$

$v_{R}(t)=\operatorname {Re} (\mathbb {V} _{R}e^{j\omega t})=R*I_{m}cos(\omega t+\phi )$

相量数值

时域

$v_{R}(t)=10*120{\sqrt {2}}cos(377t+{\frac {2*\pi }{3}})=1700cos(377t+2.09)$

相量域

与上次不同，这次不进行时域代入，而是通过代入相量域来展示相量（虚数数学）。

$i(t)\rightarrow {\mathbb {I} }=120{\sqrt {2}}\angle {\frac {2*\pi }{3}}$

$R+jL\omega =10+.01*377j=10.6870\angle 0.3605$

${\mathbb {V} _{s}}=\mathbb {I} *(R+jL\omega )=120{\sqrt {2}}*10.6870\angle ({\frac {2*\pi }{3}}+0.3605)=1814\angle 2.45$

$\mathbb {V} _{L}=I_{m}*\omega *L\angle (\phi +{\frac {\pi }{2}})=120{\sqrt {2}}*377*.01\angle ({\frac {2*\pi }{3}}+{\frac {\pi }{2}})=640\angle 3.67$

使用相量而不是微积分来解决问题 m-filec

回到时域

$V_{s}(t)=1811cos(377t+2.45)$

$v_{L}(t)=640cos(377t+3.67)$

$v_{R}(t)=1700cos(377t+2.09)$

比较

仅 $V_{s}$ 是用相量 $1811$ 和微积分/相量 $1814$ 方法计算得出的。 $1814$ 这个数字可以在微积分方法和相量方法的相量数学中找到。 但是这两个部分的相量数学在相量域中都有一个中间计算 R + jLw。 为相量解编写了一个 matlab 脚本，它只是插入了时域符号解。 这不允许由重复使用数字引起的 matlab 中的误差累积......并得出了 $1811$。

目标是将数字输入计算器一次，或者输入 matLab 一次，并直接从给定数字计算答案，而无需任何中间计算。

模拟

上面图示的 模拟 中的 Vs、VL 和 I。

周期检查

上面的周期似乎介于 16ms 和 17ms 之间，更接近 17ms。 这与公式一致

$\omega =2\pi *f$

$f={\frac {\omega }{2\pi }}$

$T={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\omega }}={\frac {2\pi }{377}}=16.7ms$

幅度检查

上面的 Vs 的幅度似乎接近 2000 伏。 这接近数学中的 1811/1814。

i(t) 的幅度似乎是 $120*{\sqrt {2}}$。

VL 的幅度似乎高于 500 伏，可能是数学中的 640 伏。

由于接地选择的缘故，Vr 无法绘制。 注意 Vr 和 VL 共享相同的 -。 它们可以用示波器或上面的模拟器测量。 Vr 无法测量。

瞬态响应检查

瞬态响应不同。 直线和从 0 以上开始看起来很奇怪。 由于这是一个稳态分析，因此要保存直到以后再深入研究。 否则，一切都与由电压源驱动时相同。

相位检查

电压始终领先电感中的电流（想想端点关系或 ELI）$90^{\circ },{\frac {\pi }{2}}$ 或 ${\frac {1}{4}}$ 周期，无论电流源还是电压源驱动电路。

电压检查

可以再次进行相量数学以确保它们检查，但这是最初产生值的数学。 这里的目标是进行快速现场检查。 此检查不好，但很快。 它可以检测到许多错误。 至少它增强了我们对答案的信心。 需要插入

$v_{L}=L*{d \over dt}i(t),v_{R}(t)+v_{L}(t)-V_{s}(t)=0$

并确保它们的和为零。

$V_{s}(t)=1811cos(377t+2.45)$

$v_{L}(t)=640cos(377t+3.67)$

$v_{R}(t)=1700cos(377t+2.09)$

选择 t = 1

$V_{s}(t)=1811cos(377+2.45)=-1410$

$v_{L}(t)=640cos(377+3.67)=-560$

$v_{R}(t)=1700cos(377+2.09)=-857$

上面的等式成立。上面的实际数字需要更高的精度（小数位数）才能更接近于零。

功率分析

功率分析植根于相量域！

$\mathbb {V} _{s}=1814\angle 2.45$

$\mathbb {I} =120{\sqrt {2}}\angle 2.09$

$\mathbb {I} ^{*}=120{\sqrt {2}}\angle -2.09$

如果 :$\mathbb {V} =M_{v}\angle \phi _{v}\quad$，并且 $\quad \mathbb {I} =M_{i}\angle \phi _{i}$，那么

$\mathbb {S} =\mathbb {V} \mathbb {I} ^{*}={\frac {M_{v}M_{i}}{2}}\angle (\phi _{v}-\phi _{i})={\frac {120{\sqrt {2}}*1814}{2}}\angle (2.45-2.09)=15400\angle 0.36=14400+5420j$

并且

$cos(.36)=.936$

功率更大……由于电阻的存在，功率提高了 100 倍，但相位角保持不变。这意味着功率因数也保持不变。

值	单位	描述
$15400$	伏安 va	视在功率，电力公司管理的指标：设计和供应的峰值功率
$.936$	无量纲	功率因数，有功功率与视在功率之比，理想值为 1
$14400$	瓦 W	有功功率、平均功率、有功功率……消费者愿意支付的功率（瓦特小时）
$5420$	无功功率 var	无功功率 ... 为什么一个房间里并非所有插座都连接到同一个断路器

直觉

ELI ... 电压领先电感中的电流

导数导致滞后 ... 时间延迟 ... 在正弦波中为正角度。