复分析/链上的积分

定义（连续可微1链）:

一个连续可微1链是所有连续可微曲线集合上的自由$\mathbb {Z}$-模的一个元素$\gamma :[0,1]\to \mathbb {C}$.

定义（像）:

令$\Gamma$为一个连续可微1链。那么$\Gamma$的像定义为

$\bigcup _{k=1}^{n}\gamma _{k}([0,1])$,

其中$\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}$恰好是所有满足$\Gamma (\gamma )\neq 0$的连续可微曲线$\gamma :[0,1]\to \mathbb {C}$.

幅角和绕数

假设我们给定一个在$\mathbb {C}$中支撑的闭合轮廓，并假设我们是一个位于原点的观察者。假设我们想要测量一个运动物体绕我们旋转的次数（即，穿过一个与我们有固定角度的固定点的次数）。由此产生的数字被称为给定闭合轮廓的绕数。需要注意的是，它是有符号的；也就是说，如果轮廓在（关于角度距离）第一次绕过圆圈，然后再次绕过圆圈，但方向相反，那么绕数应该为零。

为了使之精确，

幅角定义到圆圈，并提升到标准覆盖

后者的同伦不变性

定理（柯西公式）:

令$U\subseteq \mathbb {C}$为开集，令$\Gamma$为一个包含在$U$内，并且在$U$中是零同调的循环。令$f:U\to \mathbb {C}$为一个全纯函数。那么我们有

$\int _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz=\operatorname {ind} _{\Gamma }(z_{0})f(z_{0})$

对所有不在 $\Gamma$ 轨迹上的 $z_{0}$

证明： 在 $U\times U$ 上定义一个函数

$G(z,w):={\begin{cases}{\frac {f(z)-f(w)}{z-w}}&z\neq w\\f'(z)&z=w.\end{cases}}$

当一个变量固定时，这个函数在另一个变量中是全纯的。因此，考虑函数

$g(w):={\begin{cases}\int _{\Gamma }G(z,w)dz&w\in U\\0&w\notin U\end{cases}}$,

我们发现 $g$ 在 $U$ 上是全纯的，因为 交换积分和微分。但事实上它在 $\mathbb {C}$ 上是全纯的，因为我们假设循环 $\Gamma$ 在 $U$ 上是零同调的。必要时缩小 $U$，我们可以假设 $U$ 是有界的，因为 曲线的像是一个紧集 并且 紧集的有限并集也是紧集。然后 $g$ 通过 一个魏尔斯特拉斯类型的定理 以及 刘维尔定理 变成了一个有界函数，因此它是常数，因此等于零。特别是，代入 $w=z_{0}$，我们得到

$\int _{\Gamma }{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}dz=0$,

也就是说，

$\int _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz=\int _{\Gamma }{\frac {f(z_{0})}{z-z_{0}}}dz=f(z_{0})\operatorname {ind} _{\Gamma }(z_{0})$. $\Box$

定义（链积分）:

令 $U\subseteq \mathbb {C}$ 为开集，并令 $f:U\to \mathbb {C}$ 为全纯函数。令 $\Gamma$ 为一个连续可微的 1-链，其像包含在 $U$ 中。那么在 $\Gamma$ 上的**积分**定义为

$\int _{\Gamma }f(z)dz:=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\int _{\gamma _{k}}f(z)dz$,

其中

$\Gamma =\sum _{k=1}^{n}a_{k}\gamma _{k}$.

命题（同调链产生相同的积分）:

令 $U\subseteq \mathbb {C}$ 为开集，并令 $f:U\to \mathbb {C}$ 为一个全纯函数。假设 $\Gamma _{1},\Gamma _{2}$ 是连续可微的 1 链，其像包含在 $U$ 中，使得 $\Gamma _{1}-\Gamma _{2}=\delta \Sigma$ 对于某个 2 链 $\Sigma$ 在 [[$\mathbb {Z}$ 上的奇异链复形]] 中。那么

$\int _{\Gamma _{1}}f(z)dz=\int _{\Gamma _{2}}f(z)dz$.

证明：根据链上的积分定义，只需证明当 $\Sigma$ 是一个 2 链时，

$\int _{\delta \Sigma }f(z)dz=0$.

此外，根据线性性，我们可以限制为 $\Sigma :\Delta ^{2}\to U$ 是单纯形的情况。但 $\delta \Sigma$ 是零同调的，因此

$\int _{\delta \Sigma }f(z)dz=0$

根据 柯西定理。 $\Box$

定理（留数定理）:

令 $U\subseteq \mathbb {C}$ 为一个开的有界子集。令 $\Gamma$ 为一个循环，其像包含在 $U$ 中，并令 $f:U\to \mathbb {C}$ 为亚纯函数，因此 $f$ 的任何奇点都不包含在 $\Gamma$ 的像中。那么

$\int _{\Gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {ind} _{\Gamma }(s_{k})\operatorname {res} _{s_{k}}(f)$,

其中 $s_{1},\ldots ,s_{n}\in U$ 是 $f$ 的奇点。

证明： 注意到任何 $\mathbb {C}$ 中连续的 1-链的像都是紧致的，因此由于 $\mathbb {C}$ 是 Hausdorff 空间，所以是闭集。因此，对于 $f$ 的每个奇点 $s_{j}$，选择一个半径 $r_{j}>0$，使得 $\Gamma$ 的像与 ${\overline {B_{r_{j}}(s_{j})}}$ 不相交，并且后者应该包含在 $U$ 中（毕竟，它是开集）。此外，设置 $\gamma _{j}:=\operatorname {ind} _{\Gamma }(s_{k})\partial B_{r_{j}}(s_{j})$，其中后者的边界路径被遍历一次，并且是逆时针方向（所以它的绕数为 1）。然后定义一个新的连续可微 1-链：

$\Delta :=\Gamma -\sum _{j=1}^{n}\gamma _{j}$.

那么 $\Delta$ 将是零同调的，因此根据柯西定理和柯西公式

$0=\int _{\Delta }f(z)dz=\int _{\Gamma }f(z)dz-2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {ind} _{\Gamma }(s_{k})\operatorname {res} _{s_{k}}(f)$. $\Box$