控制系统/框图

在设计或分析系统时，通常使用图形方法对系统进行建模非常有用。框图是一种对系统进行图形分析的有用且简单的方法。在纸上，一个“方块”的图形表示恰好对应于它在系统中的实际功能

串联系统

当两个或多个系统串联时，它们可以组合成一个单一的代表系统，其传递函数是各个系统的传递函数的乘积。

如果我们有两个系统，f(t)和g(t)，我们可以将它们串联起来，使得系统f(t)的输出作为系统g(t)的输入。现在，我们可以根据使用经典方法还是现代方法对它们进行分析。

如果我们将第一个系统的输出定义为h(t)，我们可以将h(t)定义为

$h(t)=x(t)*f(t)$

现在，我们可以用h(t)来定义系统输出y(t)

$y(t)=h(t)*g(t)$

我们可以扩展h(t)

$y(t)=[x(t)*f(t)]*g(t)$

但是，由于卷积是结合的，我们可以将其重写为

$y(t)=x(t)*[f(t)*g(t)]$

因此，我们的系统可以简化为

串联传递函数

如果两个或多个系统串联，则串联的总传递函数是所有单个系统传递函数的乘积。

在时域，我们知道

$y(t)=x(t)*[f(t)*g(t)]$

但是，在频域，我们知道卷积变成了乘法，所以我们可以将其重写为

$Y(s)=X(s)[F(s)G(s)]$

我们可以用频域来表示我们的系统

串联状态空间

如果我们有两个串联的系统（例如系统 F 和系统 G），其中 F 的输出是 G 的输入，我们可以写出每个单独系统的状态空间方程。

系统 1

$x_{F}'=A_{F}x_{F}+B_{F}u$

$y_{F}=C_{F}x_{F}+D_{F}u$

系统 2

$x_{G}'=A_{G}x_{G}+B_{G}y_{F}$

$y_{G}=C_{G}x_{G}+D_{G}y_{F}$

我们可以将这些方程式组合起来，形成具有输入 u 和输出 y_G 的系统 H 的完整响应。

[级联状态方程式]

${\begin{bmatrix}x_{G}'\\x_{F}'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{G}&B_{G}C_{F}\\0&A_{F}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{G}\\x_{F}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{G}D_{F}\\B_{F}\end{bmatrix}}u$

[级联输出方程式]

${\begin{bmatrix}y_{G}\\y_{F}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{G}&D_{G}C_{F}\\0&C_{F}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{G}\\x_{F}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}D_{G}D_{F}\\D_{F}\end{bmatrix}}u$

并联系统

方框不能直接并联，需要使用加法器。如上所示，通过加法器连接的方框的总传递函数为

$Y(s)=X(s)[F(s)+G(s)]$

由于拉普拉斯变换是线性的，我们可以很容易地将它转换为时域，将乘法转换为卷积

$y(t)=x(t)*[f(t)+g(t)]$

状态空间模型

状态空间方程式，当 A、B、C 和 D 矩阵不为零时，概念上模拟了以下系统

在这个图中，中间的奇怪方框要么是一个积分器，要么是一个理想延时，可以用传递域表示为

${\frac {1}{s}}$ 或 ${\frac {1}{z}}$

取决于系统的时域特性。如果我们只考虑连续时间系统，我们可以用积分器替换中间的奇怪方框。

在拉普拉斯域

如果 *A*、*B*、*C* 和 *D* 是各个子系统的传递函数 *A(s)*、*B(s)*、*C(s)* 和 *D(s)*，并且如果 *U(s)* 和 *Y(s)* 代表单个输入和输出，则上述系统的状态空间模型可以写成如下

${\frac {Y(s)}{U(s)}}=B(s)\left({\frac {1}{s-A(s)}}\right)C(s)+D(s)$

我们将在下一章解释如何得到这个结果，以及如何处理前馈和反馈回路结构。

加法器和乘法器

某些系统可能包含专门的求和或乘法设备，这些设备会自动将多个系统的传递函数加在一起或相乘。

简化方框图

方框图可以系统地简化。请注意，此表来自 Schaum's Outline: Feedback and Controls Systems by DiStefano et al

变换		方程式	方框图	等效方框图
1	级联方框	$Y=\left(P_{1}P_{2}\right)X$
2	串联组合模块	$Y=P_{1}X\pm P_{2}X$
3	从前向回路中移除模块	$Y=P_{1}X\pm P_{2}X$
4	消除反馈回路	$Y=P_{1}\left(X\mp P_{2}Y\right)$
5	从反馈回路中移除模块	$Y=P_{1}\left(X\mp P_{2}Y\right)$
6	重新排列求和节点	$Z=W\pm X\pm Y$
7	将求和节点移到模块前面	$Z=PX\pm Y$
8	将求和节点移到模块后面	$Z=P\left(X\pm Y\right)$
9	将取样点移到模块前面	$Y=PX\,$
10	将取样点移到模块后面	$Y=PX\,$
11	将取样点移到求和节点前面	$Z=W\pm X$
12	将取样点移到求和节点后面	$Z=X\pm Y$

外部链接

• ControlTheoryPro.com上的单输入单输出（SISO）框图，包含传递函数

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